vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2019-55-4-467-478vestifm-483Research ArticleФИЗИКАPHYSICSСкалярная частица со структурой Дарвина – Кокса во внешнем кулоновском полеScalar particle with the Darwin – Cox intrinsic structure in the external Coulomb fieldВойноваЯ. А.VoynovaYa. A.

Войнова Янина Александровна – аспирант.

пр. Независимости, 68­2, 220072, г. Минск

Voynova Yanina Alexandrovna – Postgraduate.

68­-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

voinyuschka@mail.ruКоральковА. Д.KoralkovA. D.

Коральков Артем Дмитриевич – стажер младшего научного сотрудника.

ул. Студенческая, 28, 247760, г. Мозырь

Koralkov Artem Dmitrievich – Assistant Junior Researcher.

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr

artemkoralkov@gmail.comОвсиюкЕ. М.ОvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна – кандидат физико­ математических наук, доцент, заведующий кафедрой тео ретической физики и прикладной информатики.

ул. Студенческая, 28, 247760, г. Мозырь

Оvsiyuk Еlena Мikhailovna – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Theoretical Physics and Applied Informatics.

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr

Институт физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics, National Academy of Sciences of BelarusМозырский государственный педагогический университет им. И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. Shamyakin201907012020554467478Copyright © Войнова Я.А., Коральков А.Д., Овсиюк Е.М., 20202020Войнова Я.А., Коральков А.Д., Овсиюк Е.М.Voynova Y.A., Koralkov A.D., Оvsiyuk E.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/483

Обобщенное уравнение Клейна – Фока – Гордона для частицы со структурой Дарвина – Кокса, учитывающее распределение заряда частицы по сфере конечного радиуса, исследуется с учетом внешнего кулоновского поля. Проведено разделение переменных, полученное радиальное уравнение сложнее уравнения в случае обычной частицы – оно имеет существенно особые точки r = 0 ранга 3, r = ∞ ранга 2 и 4 регулярные особые точки. В случае минимального орбитального момента l = 0 структура сингулярностей упрощается: есть существенно особые точки r = 0, r = ∞ ранга 2 и 4 регулярные особые точки. Построены решения Фробениуса этого уравнения, исследована структура рекуррентных соотношений для коэффициентов возникающего 7-членного степенного ряда. В качестве аналитического условия квантования используется обобщенное требование трансцендентности решений, которое позволяет получить алгебраическое уравнение 4-й степени для уровней энергии. Уравнение имеет 4 множества корней, зависящих от орбитального момента l и главного квантового числа k = 1,2,3,… . Численный анализ показывает, что одно из множеств корней 0 < εl,k < mc2 может интерпретироваться как отвечающее некоторым связанным состояниям частицы в кулоновском поле.

The generalized Klein – Fock – Gordon equation for a particle with the Darwin–Cox structure allowing for a charge distribution of a particle over a sphere of finite radius is studied with regard to the external Coulomb field. The separation of variables is carried out, the obtained radial equation is significantly more complicated than the equation in the case of ordinary particles, it has essentially singular points r = 0 of rank 3, r = ∞ of rank 2 and 4 regular singular points. In the case of a minimum orbital momentum l = 0, the structure of singularities is simplified: there are essentially singular points r = 0, r = ∞ of rank 2 and 4 regular singular points. Frobenius solutions of this equation are constructed and the structure of the 7-term recurrence relations for the coefficients of the arising power series is investigated. As an analytical quantization condition, the generalized transcendence requirement of solutions is used; it allows one to obtain a fourth-degree algebraic equation for energy levels. The equation has 4 sets of roots depending on the orbital moment l and the main quantum number k = 1,2,3,… . The numerical analysis shows that one of the sets of the roots 0 < εl,k < mc2 can be interpreted as those corresponding to certain bound states of the particle in the Coulomb field.

скалярная частица со структурой Дарвина – Коксакулоновское полеуравнение Клейна – Фока – Гордонасущественно особые точкирешения Фробениусасвязанное состояниеscalar particle with the Darwin – Cox structureCoulomb fieldKlein – Fock – Gordon equationessentially singular pointsFrobenius solutionsbound stateReferencesCox, W. Higher-rank representations for zero-spin field theories / W. Cox // J. Phys. Math. Gen. – 1982. – Vol. 15, № 2. – P. 627–635. https://doi.org/10.1088/0305-4470/15/2/029Cox W. Higher-rank representations for zero-spin field theories. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1982, vol. 15, no. 2, pp. 627–635. https://doi.org/10.1088/0305-4470/15/2/029Ovsiyuk, E. M. Spin-zero Cox’s particle with an intrinsic structure: general analysis in external electromagnetic and gravitational fields / E. M. Ovsiyuk // Ukr. J. Phys. – 2015. – Vol. 60, № 6. – P. 485–496. https://doi.org/10.15407/ujpe60.06.0485Ovsiyuk E. M. Spin-zero Cox’s particle with an intrinsic structure: general analysis in external electromagnetic and gravitational fields. Ukrainian Journal of Physics, 2015, vol. 60, no. 6, pp. 485–496. https://doi.org/10.15407/ujpe60.06.0485Kazmerchuk, K. V. Cox’s particle in magnetic and electric field against the background of Euclidean and spherical geometries / K. V. Kazmerchuk, E. M. Ovsiyuk // Ukr. Phys. J. – 2015. – Vol. 60, № 5. – P. 389–400. https://doi.org/10.15407/ujpe60.05.0389Kazmerchuk K. V., Ovsiyuk E. M. Cox’s particle in magnetic and electric field against the background of Euclidean and spherical geometries. Ukrainian Journal of Physics, 2015, vol. 60, no. 5, pp. 389–400. https://doi.org/10.15407/ujpe60.05.0389Овсиюк, Е. М. Скалярная частица с внутренней структурой в электромагнитном поле в искривленном пространстве-времени / Е. М. Овсиюк, О. В. Веко, К. В. Казмерчук // Проблемы физики, математики и техники. – 2014. – № 3 (20). – С. 32–36.Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Kazmerchuk K. V. Scalar particle with internal structure in the electromagnetic field in the curved space-time. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2014, no. 3 (20), pp. 32–36 (in Russian).Veko, O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry / O. V. Veko // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2016. – Vol. 19, № 1. – P. 50–61.Veko O. V. Cox’s particle in magnetic and electric fields on the background of hyperbolic Lobachevsky geometry. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2016, vol. 19, no. 1, pp. 50–61.Частица Кокса во внешнем магнитном поле: анализ в пространстве Лобачевского / О. В. Веко [и др.] // Вес. Нац. акад. Навук Беларусi. Сер.фiз.-мат. навук. – 2017. – № 4. – C. 55–65.Veko O. V., VoynovaYa. A., Ovsiyuk E. M., Red’kov V. M.Nonrelativistic Cox particle with intrinsic structure in magnetic field, analysis in Lobachevsky space. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 4, pp. 55–65 (in Russian).Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol 1.General Theory / V. V. Kisel [et al.]. − New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. − 404 p.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Balan V., Veko O. V., Red’kov V. M. Elementary Particles with Internal Structure in External Field. Vol. 1. General Formalism. USA, Nova Science Publishers, Inc., 2018. 404 p.Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol 2. Physical Problems / V. V. Kisel [et al]. − New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. − 402 p.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Balan V., Veko O. V., Red’kov V. M. Elementary Particles with Internal Structure in External Field.Vol. 2. Physical Problems. USA, Nova Science Publishers, Inc., 2018. 402 p.Heun, K. Zur Theorie der Riemann'schen Functionen zweiter Ordnung mit vier Verzweigungspunkten / K. Heun // Math. Ann. – 1989. – Bd. 33, № 2. – S. 161–179. https://doi.org/10.1007/bf01443849ZurTheorie der Riemann'schenFunctionenzweiterOrdnungmitvierVerzweigungspunkten. Mathematische Annalen, 1989, vol. 33, no. 2, pp. 161–179. https://doi.org/10.1007/bf01443849Ronveaux, A. Heun’s Differential Equation / A. Ronveaux. – Oxford: Oxford University Press, 1995. – 354 p.Ronveaux A. Heun’s Differential Equations. Oxford, Oxford University Press, 1995. 354 p.Slavyanov, S. Yu. Special Functions. A Unified Theory Based on Singularities / S. Yu. Slavyanov, W. Lay. – Oxford: Oxford University Press, 2000. – 312 p.Slavyanov S.Yu., Lay W. Special Functions. A Unified Theory Based on Singularities. Oxford, OxfordUniversityPress, 2000. 312 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.