vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-7-16vestifm-501Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSЗадача Римана – Гильберта для эллиптических систем ортогонального типа в R3The Riemann – Hilbert boundary value problem for elliptic systems of the orthogonal type in R3БасикА. И.BasikA. I.

Басик Александр Иванович – кандидат физико-математических наук

Aliaxandr I. Basik – Ph. D. (Physics and Mathematics)

alex-basik@yandex.ruГрицукЕ. В.HrytsukE. V.

Грицук Евгений Васильевич – кандидат физико-математических наук

Evgenij V. Hrytsuk – Ph. D. (Physics and Mathematics)

21, Kosmonavtov Boulevard, 224016, Brest

gricuk_e@tut.byГрицукТ. А.HrytsukT. A.

Грицук Татьяна Алексеевна – магистрант

Tatsiana A. Hrytsuk – Undergraduate Student

gritsuk_tanya@mail.ruБрестский государственный университет им. А. С. ПушкинаБеларусьBrest State A. S. Pushkin UniversityBelarus202003042020561716Copyright © Басик А.И., Грицук Е.В., Грицук Т.А., 20202020Басик А.И., Грицук Е.В., Грицук Т.А.Basik A.I., Hrytsuk E.V., Hrytsuk T.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/501

Рассматривается класс эллиптических систем четырех дифференциальных уравнений первого порядка ортогонального типа в R3. В произвольной ограниченной односвязной области с гладкой границей для систем этого класса изучается вопрос регуляризуемости краевой задачи Римана – Гильберта. По коэффициентам эллиптической системы и матрицы граничного оператора строится специальное векторное поле, невхождение которого в касательную плоскость в каждой точке границы области обеспечивает выполнимость условия Лопатинского регуляризуемости краевой задачи. Полученное условие позволяет доказать, что множество регуляризуемых краевых задач Римана – Гильберта для рассматриваемого класса систем имеет две компоненты гомотопической связности, а также что индекс произвольной регуляризуемой задачи равен минус единице.

In this paper, a class of elliptic systems of four 1st order differential equations of the orthogonal type in R3 is considered. For such systems we study the issue of regularizability of the Riemann – Hilbert boundary value problem in an arbitrary limited simply-connected region with a smooth boundary in R3. Using the coefficients of the elliptic system and the matrix of the boundary operator, a special vector field is constructed, and its not entering the tangent plane in any point of the boundary provides the Lopatinski condition of the regularizability of the boundary value problem. The obtained condition permits to prove that the set of regularizable Riemann – Hilbert boundary value problems for the considered class of systems has two components of homotopic connectedness, and the index of an arbitrary regularizable problem equals to minus one.

эллиптическая системарегуляризуемая краевая задачаусловие Лопатинскогогомотопическая классификацияиндексelliptic systemregularizable boundary value problemLopatinski conditionhomotopic classificationindexReferencesГельфанд, И. М. Об эллиптических уравнениях / И. М. Гельфанд // Успехи мат. наук. – 1960. – Т. 15, вып. 3. – С. 121–132.Gel’fand I. M. About elliptic equation. Uspekhi matematicheskikh nauk = Russian Mathematical Surveys, 1960, vol. 15, no. 3, pp. 121–132 (in Russian).Лопатинский, Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям / Я. Б. Лопатинский // Укр. мат. журн. – 1953. – Т. 5. – С. 123–151.Lopatinskii Ya. B. About one way of carrying out boundary problems for a system of differential equations of elliptic type to regular integral equations. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 1953, vol. 5, pp. 123–151.Агранович, М. С. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы / М. С. Агранович // Успехи мат. наук. – 1965. – Т. 20, вып. 5. – С. 3–120.Agranovich M. S. Elliptic Singular Integro-Differential Operators. Russian Mathematical Surveys, 1965, vol. 20, no. 5, pp. 1–121. https://doi.org/10.1070/rm1965v020n05abeh001190Шевченко, В. И. Гомотопическая классификация задач Римана – Гильберта для голоморфного вектора / В. И. Шевченко // Математическая физика: Респ. межвед. сб. – Киев, 1975. – Вып. 17. – С. 184–186.Shevchenko V. I. The Homotopy Classification of Riemann – Gilbert problem for Holomorphic Vector. Matematicheskaya fizika: Respublikanskii mezhvedomstvennyi sbornik [Mathematical Physics: Republican Interdepartmental Book of Articles]. Kiev, 1975, iss. 17, pp. 184–186 (in Russian).Усс, А. Т. Краевая задача Римана – Гильберта для трехмерных аналогов системы Коши – Римана / А. Т. Усс // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2003. – Т. 47, № 6. – С. 10–15.Uss A. T. Riemann-Hilbert boundary value problems for Cauchy-Riemann’s analog in R 3 . Doklady Natsionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2003, vol. 47, no. 6, pp. 10–15 (in Russian).Басик, А. И. Гомотопическая классификация регуляризуемых краевых задач Римана – Гильберта для одного класса эллиптических систем в R 3 / А. И. Басик, Е. В. Грицук // Математика. Iнформацiйнi технологiї: зб. ст. – Луцьк, 2019. – № 6. – С. 12–18.Basik A. I., Gricyk E. V. The homotopic classification of regularizable Riemann-Hilbert boundary value problems for one class of elliptic systems in R 3 . Matematika. Informatsiini tekhnologiї: Zbirnik statej = Mathematics. Information Technologies: Book of Articles. Luc’k, 2019, no. 6, pp. 12–18 (in Russian).Полунин, В. А. Об условии Шапиро – Лопатинского в задаче Римана – Гильберта для эллиптической системы первого порядка / В. А. Полунин, А. П. Солдатов // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Сер. Математика. Физика. – 2010. – № 17 (88), вып. 20. – С. 91–99.Polunin V. A., Soldatov A. P. About the Shapiro – Lopatinskii condition in the Riemann – Gilbert problem of the first order elliptic system. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Matematika. Fizika = Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics & Physics, 2010, no. 17 (88), iss. 20, pp. 91–99 (in Russian).Усс, А. Т. Гомотопическая классификация четырехмерных аналогов системы Коши – Римана с действительными коэффициентами / А. Т. Усс // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2003. – Т. 47, № 4. – С. 5–9.Uss A. T. The Homotopy Classification of Four-Dimensional Analogs of the Cauchy – Riemann System with Real Coefficients. Doklady Natsionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2003, vol. 47, no. 4, pp. 5–9 (in Russian).Виноградов, В. С. Граничная задача для псевдосимметрических систем / В. С. Виноградов // Дифференц. уравнения. – 1985. – Т. 21, № 1. – С. 161–163.Vinogradov V. S. Boundary Value Problem for Pseudosymmetric Systems. Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 1985, vol. 21, no. 1, pp. 161–163 (in Russian).Басик, А. И. О краевых задачах для эллиптических псевдосимметрических систем первого порядка в R 4 / А. И. Басик, А. Т. Усс // Дифференц. уравнения. – 2003. – Т. 38, № 3. – С. 410–412.Basik A. I., Uss A. T. On Boundary Value Problems for First-Order Elliptic Pseudosymmetric Systems in R 4 . Differentsial’nye uravneniya = Differential equations, 2003, vol. 38, no. 3, pp. 410–412 (in Russian).Шевченко, В. И. О некоторых краевых задачах для голоморфного вектора / В. И. Шевченко // Математическая физика: Респ. межвед. сб. – Киев, 1970. – Вып. 8. – С. 172–186.Shevchenko V. I. On some Boundary Value Problems for Holomorphic Vector. Matematicheskaya fizika: Respublikanskii mezhvedomstvennyi sbornik [Mathematical Physics: Republican Interdepartmental Book of Articles]. Kiev, 1970, iss. 8, pp. 172–186 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.