vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29vestifm-502Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSГиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типаA hypersingular integro-differential equation of the Euler typeШилинА. П.ShilinA. P.

Шилин Андрей Петрович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и математической физики

Andrey P. Shilin – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Physics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University2020030420205611729Copyright © Шилин А.П., 20202020Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/502

Изучено линейное интегро-дифференциальное уравнение на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. Интегралы в уравнении понимаются в смысле конечной части по Адамару. Коэффициенты уравнения имеют частную структуру. Применяется метод аналитического продолжения. Уравнение сводится к краевой задаче линейного сопряжения для аналитических функций и линейным дифференциальным уравнениям Эйлера в областях комплексной плоскости. Ищутся решения уравнений Эйлера, являющиеся однозначными аналитическими функциями. Приводятся в явном виде условия разрешимости исходного уравнения. Решение исходного уравнения, которое получается при выполнении этих условий, также приводится в явном виде. Рассмотрены примеры.

In this paper, we study an integro-differential equation on a closed curve located on the complex plane. The integrals included in the equation are understood as a finite part by Hadamard. The coefficients of the equation have a particular structure. The analytical continuation method is applied. The equation is reduced to a boundary value linear conjugation problem for analytic functions and linear Euler differential equations in the domains of the complex plane. Solutions of the Euler equations, which are unambiguous analytical functions, are sought. The conditions of solvability of the initial equation are given explicitly. The solution of the initial equation obtained under these conditions is also given explicitly. Examples are considered.

интегро-дифференциальное уравнениегиперсингулярные интегралыобобщенные формулы Сохоцкогокраевая задача Риманадифференциальные уравнения Эйлераintegro-differential equationhypersingular integralsgeneralized Sokhotsky formulasRiemann boundary problemEuler differential equationsReferencesАдамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М.: Наука, 1978. – 351 с.Adamar Zh. The Cauchy Problem of Linear Equations with Partial Dezivatines of Hyperbolic Type. Moscow, Nauka Publ., 1978. 351 p. (in Russian).Бойков, И. В. Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Изв. высш. учеб. заведений. Поволж. регион. Физ.-мат. науки. – 2017. – № 2 (42). – С. 63–78. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-6Boykov I. V., Boykova A. I. Analytical methods of solving hypersingular integral equations. Izvestiya vuzow. Povolzshiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical scinces, 2017, no. 2 (42), pp. 63–78. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-6Зверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.Zverovich E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady Nacionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5–8 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида / Э. И. Зверович, А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Zverovich E. I., Shilin A. P. Integro-differential equations with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 404–407 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Шилин, А. П. Дифференциальная краевая задача Римана и ее приложение к интегро-дифференциальным уравнениям / А. П. Шилин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 4. – С. 391–397. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Shilin A. P. Riemann’s differential boundary-value problem and its application to integro-differential equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 391–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Шилин, А. П. Гиперсингулярные интегро-дифференциальные уравнения со степенными множителями в коэффициентах / А. П. Шилин // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3 – С. 48–56. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56Shilin A. P. Hypersingular integro-differential equations with power factors in coefficients. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 2, pp. 48–56 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sohotsky formulas. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizi kamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.