vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-30-35vestifm-503Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО сильно нерегулярных периодических решениях линейного неоднородного дискретного уравнения первого порядкаOn strongly irregular periodic solutions of the linear nonhomogeneous discrete equation of the first orderДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений

Aleksandr K. Demenchuk – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Chief Researcher of the Department of Differential Equations

11, Surganova Str., Minsk, 220072

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2020030420205613035Copyright © Деменчук А.К., 20202020Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/503

Как уже было доказано ранее (теорема Массеры) скалярное периодическое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, т. е. таких, что период решения несоизмерим с периодом уравнения. Для разностных уравнений с дискретным временем сильная нерегулярность означает, что период уравнения является взаимно простым по отношению к периоду его решения. Известно, что в случае дискретных уравнений упомянутый результат полного аналога не имеет.

Цель настоящей работы – исследовать возможность реализации аналога теоремы Массеры для некоторых классов разностных уравнений. Для этого рассматривается класс линейных разностных уравнений. Доказано, что линейное неоднородное нестационарное периодическое дискретное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, отличных от постоянных.

As is proved earlier (the Massera theorem), the first-order scalar periodic ordinary differential equation does not have strongly irregular periodic solutions (solutions with a period incommensurable with the period of the equation). For difference equations with discrete time, strong irregularity means that the equation period and the period of its solution are relatively prime numbers. It is known that in the case of discrete equations, the mentioned result has no complete analog.

The purpose of this paper is to investigate the possibility of realizing an analog of the Massera theorem for certain classes of difference equations. To do this, we consider the class of linear difference equations. It is proved that a linear nonhomogeneous non-stationary periodic discrete equation of the first order does not have strongly irregular non-stationary periodic solutions.

периодические разностные линейные уравненияпериодические последовательностисильно нерегулярные периодические решенияdifference linear periodic equationsperiodic sequencesstrongly irregular periodic solutionsРабота выполнена в Институте математики Национальной академии наук Беларуси в рамках Отдельного проекта фундаментальных и прикладных научных исследований НАН Беларуси «Исследование свойств спектров дискретных систем при возмущениях их коэффициентов».The work was carried out at the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus within the framework of the Special Project of Fundamental and Applied Scientific Research of the National Academy of Sciences of Belarus “Investigation of the properties of the spectra of discrete systems under perturbations of their coefficients”.ReferencesPopenda, J. The oscillation of solution of difference equations / J. Popenda // Comput. Math. Appl. – 1994. – Vol. 28, № 1/3. – P. 271–279. https://doi.org/10.1016/0898-1221(94)00115-4Popenda J. The oscillation of solution of difference equations. Computers & Mathematics with Applications, 1994, vol. 28, no. 1–3, pp. 271–279. https://doi.org/10.1016/0898-1221(94)00115-4Agarwal, R. P. Periodic Solutions of First Order Linear Difference Equations / R. F. Agarwal, J. Popenda // Math. Comput. Modelling. – 1995. – Vol. 22, № 1. – P. 11–19. https://doi.org/10.1016/0895-7177(95)00096-kAgarwal R. P., Popenda J. Periodic Solutions of First Order Linear Difference Equations. Mathematical and Computer Modelling, 1995, vol. 22, no. 1, pp. 11–19. https://doi.org/10.1016/0895-7177(95)00096-kAgarwal, R. P. Advanced Topics in Difference Equations / R. P. Agarwal, P. J. Y. Wong. – Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publ., 1997. – 509 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8899-7Agarwal R. P., Wong P. J. Y. Advanced Topics in Difference Equations. Dordrecht, Boston, London, Kluwer Academic Publ., 1997. 509 p. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8899-7Elaydi, S. An Introduction to Difference Equations / S. Elaydi. – New York: Springer, 1999. – 568 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3110-1Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. New York, Springer, 1999. 568 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3110-1Janglajew, K. R Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations / K. R. Janglajew, E. L. Schmeidel // Adv. Differ. Equ. Advances in Difference Equations. – 2012. – Vol. 2012, № 1. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195Janglajew K., Schmeidel E. L. R Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations. Advances in Difference Equations, 2012, vol, 20012, no. 1. https://doi.org/10.1186/1687-1847-2012-195Massera, J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales / J. L. Massera // Bol. de la Facultad de Ingenieria. – 1950. – Vol. 4, № 1. – P. 37–45.Massera J. L. Observaciones sobre les soluciones periodicas de ecuaciones diferenciales. Boletin de la Facultad de Ingenieria, 1950, vol. 4, no. 1, pp. 37–45.Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. мат. журн. – 1955. – Т. 5, № 3. – С. 362–370.Kurzweil J., Veivoda O. On periodic and almost periodic solutions of the ordinary differential systems. Chekhoslovatskii matematicheskii zhurnal = Czechoslovak Mathematical Journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Еругин, Н. П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н. П. Еругин. – Минск: Изд-во АН БССР, 1963. – 272 с.Erugin N. P. Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Periodic and Quasiperiodic Coefficients. Minsk, Publishing House of the Academy of Sciences of the BSSR, 1963. 272 p. (in Russian).Грудо, Э. И. О периодических решениях с несоизмеримыми периодами линейных неоднородных периодических дифференциальных систем / Э. И. Грудо, А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 1987. – Т. 23, № 3. – С. 409–416.Grudo E. I., Demenchuk A. K. On periodic solutions with incommensurable periods of linear inhomogeneous periodic differential systems. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1987, vol. 23, no. 3, pp. 409–416 (in Russian).Деменчук, А. К. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управления / А. К. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publ., 2012. – 186 c.Demenchuk А. К. Asynchronous oscillations in differential systems. Conditions of existence and control. Saarbrucken, LAP Lambert Academic Publ., 2012. 186 p. (in Russian).Борухов, В. Т. Сильно инвариантные подпространства неавтономных линейных периодических систем и их решений с периодом, несоизмеримым с периодом системы / В. Т. Борухов // Дифференц. уравнения. – 2018. – Т. 54, № 5. – С. 585–591.Borukhov V. T. Strongly invariant subspaces of nonautonomous linear periodic systems and their solutions with a period incommensurate with the period of the system. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 5, pp. 578–585. https://doi.org/10.1134/s0012266118050026Papaleksi, N. D. On a particular case of parametrically coupled systems / N. D. Papaleksi // J. Phys. – 1939. – Vol. 1, № 5/6. – P. 373–379.Papaleksi N. D. On a particular case of parametrically coupled systems. Journal of Physics, 1939, vol. 1, no. 5–6, pp. 373–379.Пеннер, Д. И. Колебания с саморегулирующимся временем взаимодействия / Д. И. Пеннер, Я. Б. Дубошинский, Д. Б. Дубошинский // Докл. АН СССР. – 1972. – Т. 204, № 5. – С. 1065–1066.Penner D. I. Oscillations with a self-regulating interaction time. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1972, vol. 204, no. 5, pp. 1065–1066 (in Russian).Ланда, П. С. Автоколебательные системы с высокочастотными источниками энергии / П. С. Ланда, Я. Б. Дубошинский // Успехи физ. наук. – 1989. – Т. 158, вып. 4. – С. 729–742.Landa P. S., Duboshinskiĭ Ya. B. Self-oscillating systems with high-frequency power sources. Soviet Physics Uspekhi, 1989, vol. 32, no. 8, pp. 723–731. https://doi.org/10.1070/pu1989v032n08abeh002750Ласунский, А. В. О периоде решений дискретного периодического логистического уравнения / А. В. Ласунский // Тр. Карел. науч. центра РАН. – 2012. – № 5. – С. 44–48.Lasunskii А. V. On the period of solutions of the discrete periodic logistic equation. Trudy Karelskogo nauchnogo centra RAN = Transactions of Karelian research centre of Russian Academy of Science, 2012, no. 5, pp. 44–48 (in Russian).Деменчук, А. К. О сильно нерегулярных периодических решениях линейного однородного дискретного уравнения первого порядка / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2018. – Т. 62, № 3. – С. 263–267. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2018-62-3-263-267Demenchuk A. K. Strongly irregular periodic solutions the first-order linear homogeneous discrete equation. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2018, vol. 62, no. 3, pp. 263–267 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2018-62-3-263-267

The authors declare that there are no conflicts of interest present.