vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-36-50vestifm-504Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСтохастические дифференциальные уравнения смешанного типа со стандартными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3Mixed-type stochastic differential equations driven by standard and fractional Brownian motions with Hurst indices greater than 1/3https://orcid.org/0000-0001-5769-3678ВаськовскийМ. М.Vas’kovskiiM. M.

Васьковский Максим Михайлович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики

Maksim M. Vas’kovskii – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Belarusian State University

4, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

vaskovskii@bsu.byБелорусский государственный университетBelarusian State University2020030420205613650Copyright © Васьковский М.М., 20202020Васьковский М.М.Vas’kovskii M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/504

Для стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых стандартными и дробными броуновскими движениями с индексами Херста, большими 1/3, доказаны теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений от начальных данных. Для таких уравнений получен аналог формулы Ито замены переменных. Найдены асимптотические разложения функционалов от решений стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа при малых значениях времени. В коммутативном случае получены аналоги дифференциальных уравнений Колмогорова для математических ожиданий и плотностей распределений решений. Рассматривается приложение стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа к решению проблемы экстраполяции макроэкономических факторов при моделировании кредитных рисков.

In this paper we consider mixed-type stochastic differential equations driven by standard and fractional Brownian motions with Hurst indices greater than 1/3. There are proved theorems on the existence, uniqueness, and continuous dependence of solutions on the initial data. We provide an analog of the Ito formula to change variables. Asymptotic expansions of functionals on the solutions of mixed-type stochastic differential equations for small times are obtained. We receive analogs of the Kolmogorov equations for mathematical expectations and probability densities in the commutative case. Finally, we consider an application of mixed-type stochastic differential equations to solving the problem of macroeconomic variables extrapolation in credit risks models.

дробное броуновское движениеформула Итостохастическое дифференциальное уравнениеинтеграл Итоинтеграл Губинеллиfractional Brownian motionIto formulastochastic differential equationIto integralGubinelli integralReferencesStochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications / F. Biagini [et al.]. – London: Springer-Verlag, 2008. – 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8Biagini F., Hu Y., Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. London, Springer-Verlag, 2008. 330 p. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-797-8Cheridito, P. Regularizing fractional Brownian motion with a view towards stock price modeling: a dissertation ... doctor of mathematics / P. Cheridito. – Zurich, 2001. – 121 p.Cheridito P. Regularizing Fractional Brownian Motion with a View Towards Stock Price Modeling. Zurich, ETH, 2001. 121 p.Zahle, M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I / M. Zahle // Probability Theory and Related Fields. – 1998. – Vol. 111, № 3. – P. 333–374. https://doi.org/10.1007/s004400050171Zahle M. Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus. I. Probability Theory and Related Fields, 1998, vol. 111, no. 3, pp. 333–374. https://doi.org/10.1007/s004400050171Mishura, Y. S. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and related processes / Y. S. Mishura. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2008. – 398 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0Mishura Y. S. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Related Processes. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2008. 411 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-75873-0Kleptsyna, M. L. General approach to filtering with fractional Brownian noises application to linear systems / M. L. Kleptsyna, A. Le Breton, M.-C. Roubaud // Stochastics and Stochastic Reports. – 2000. – Vol. 71, № 1/2. – P. 119–140. https://doi.org/10.1080/17442500008834261Kleptsyna M. L., Le Breton A., Roubaud M.-C. General approach to filtering with fractional Brownian noises application to linear systems. Stochastics and Stochastic Reports, 2000, vol. 71, no. 1–2, pp. 119–140. https://doi.org/10.1080/17442500008834261Vaskouski, M. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 / M. Vaskouski, I. Kachan // Stochastic Anal. Appl. – 2018. – Vol. 36, № 6. – P. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3. Stochastic Analysis and Applications, 2018, vol. 36, no. 6, pp. 909–931. https://doi.org/10.1080/07362994.2018.1483247Kubilius, K. The existence and uniqueness of the solution of an integral equation driven by a p-semimartingale of special type / K. Kubilius // Stochastic Processes and their Appl. – 2002. – Vol. 98, № 2. – P. 289–315. https://doi.org/10.1016/s0304-4149(01)00145-4Kubilius K. The existence and uniqueness of the solution of an integral equation driven by a p-semimartingale of special type. Stochastic Processes and their Applications, 2002, vol. 98, no. 2, pp. 289–315. https://doi.org/10.1016/s0304-4149(01)00145-4Guerra, J. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion / J. Guerra, D. Nualart // Stochastic Anal. Appl. – 2008. – Vol. 26, № 5. – P. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483Guerra J., Nualart D. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard Brownian motion. Stochastic Analysis and Applications, 2008, vol. 26, no. 5, pp. 1053–1075. https://doi.org/10.1080/07362990802286483Mishura, Y. S. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2 / Y. S. Mishura, G. M. Shevchenko // Communications in Statistics – Theory and Methods. – 2011. – Vol. 40, № 19/20. – P. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174Mishura Y. S., Shevchenko G. M. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2. Communications in Statistics – Theory and Methods, 2011, vol. 40, no. 19–20, pp. 3492–3508. https://doi.org/10.1080/03610926.2011.581174Shevchenko, G. M. Mixed stochastic delay differential equations / G. M. Shevchenko // Theory of Probability and Mathematical Statistics. – 2014. – Vol. 89. – P. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3Shevchenko G. M. Mixed stochastic delay differential equations. Theory of Probability and Mathematical Statistics, 2014, vol. 89, pp. 181–195. https://doi.org/10.1090/s0094-9000-2015-00944-3Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффициентами / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 2. – C. 187–200.Levakov A. A., Vas’kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions and with discontinuous coefficients. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 189–202. https://doi.org/10.1134/s0012266114020062Леваков, А. А. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффициентами и с частично вырожденным оператором диффузии / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1060–1076.Levakov A. A., Vas’kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motion, discontinuous coefficients, and a partly degenerate diffusion operator. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1053–1069. https://doi.org/10.1134/s0012266114080059Васьковский, М. М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2015. – № 1. – С. 22–34.Vas’kovskii M. M. Existence of weak solutions of stochastic delay differential equations driven by standard and fractional Brownian motions. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2015, no. 1, pp. 22–34 (in Russian).Леваков, А. А. Существование решений стохастических дифференциальных включений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2015. – Т. 51, № 8. – C. 997–1003.Levakov A. A., Vas’kovskii M. M. Existence of solutions of stochastic differential inclusions with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 8, pp. 991–997. https://doi.org/10.1134/s0012266115080030Леваков, А. А. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / А. А. Леваков, М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2016. – Т. 52, № 8. – C. 1011–1019.Levakov A. A., Vas’kovskii M. M. Properties of solutions of stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 8, pp. 972–980. https://doi.org/10.1134/s0012266116080024Васьковский, М. М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями / М. М. Васьковский // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 2. – С. 160–173.Vas’kovskii M. M. Stability and attraction of solutions of nonlinear stochastic differential equations with standard and fractional Brownian motions. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 2, pp. 157–170. https://doi.org/10.1134/s0012266117020021Васьковский, М. М. Методы интегрирования стохастических дифференциальных уравнений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями / М. М. Васьковский, И. В. Качан // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – T. 55, № 2. – С. 135–151. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-135-151Vas’kovskii M. M., Kachan I. V. Integration methods of mixed-type stochastic differential equations with fractional Brownian motions. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 135–151 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-135-151Леваков, А. А. Стохастические дифференциальные уравнения и включения / А. А. Леваков, М. М. Васьковский. – Минск: БГУ, 2019. – 495 с.Levakov A. A., Vas’kovskii M. M. Stochastic Differential Equations and Inclusions. Minsk, BSU, 2019. 495 p. (in Russian).Lyons, T. Differential equations driven by rough signals / T. Lyons // Revista Matematica Iberoamericana. – 1998. – Vol. 14, № 2. – P. 215–310. https://doi.org/10.4171/rmi/240Lyons T. Differential equations driven by rough signals. Revista Matematica Iberoamericana, 1998, vol. 14, no. 2, pp. 215–310. https://doi.org/10.4171/rmi/240Gubinelli, M. Controlling rough paths / M. Gubinelli // J. Functional Anal. – 2004. – Vol. 216, № 1. – P. 86–140. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.01.002Gubinelli M. Controlling rough paths. Journal of Functional Analysis, 2004, vol. 216, no. 1, pp. 86–140. https://doi.org/10.1016/j.jfa.2004.01.002Friz, P. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures / P. Friz, M. Hairer. – Cham: Springer Int. Publ. AG, 2014. – 262 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-08332-2Friz P., Hairer M. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures. Cham: Springer International Publishing AG, 2014. 262 p. https://doi.org/10.1007/978-3-319-08332-2Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations / A. Neuenkirch [et al.] // Annales de I Institut Henri Poincaré (B) Probability and Statistics. – 2009. – Vol. 45, № 1. – P. 157–174. https://doi.org/10.1214/07-aihp159Neuenkirch A., Nourdin I., Robler A., Tindel S. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations. Annales de I Institut Henri Poincaré (B) Probability and Statistics, 2009, vol. 45, no. 1, pp. 157–174. https://doi.org/10.1214/07-aihp159Coutin, L. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions / L. Coutin, Z. Qian // Probability Theory Related Fields. – 2002. – Vol. 122, № 1. – P. 108–140. https://doi.org/10.1007/s004400100158Coutin L., Qian Z. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions. Probability Theory Related Fields, 2002, vol. 122, no. 1, pp. 108–140. https://doi.org/10.1007/s004400100158Breeden, J. L. Living with CECL: Mortgage modeling alternatives / J. L. Breeden. – Middletown, 2018. – 203 p.Breeden J. L. Living with CECL: Mortgage modeling alternatives. Middletown, 2018. 203 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.