vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-51-71vestifm-505Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО точном и приближенном решениях отдельных дифференциальных уравнений с вариационными производными первого и второго порядковOn the exact and approximate solutions of several differential equations with variational derivatives of the first and second ordershttps://orcid.org/0000-0002-8029-1842ИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

Игнатенко Марина Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Marina V. Ignatenko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of Web-Technologies and Computer Simulation Department

ignatenkomv@bsu.byЯновичЛ. А.YanovichL. A.

Янович Леонид Александрович – член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Leonid A. Yanovich – Corresponding Member, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

yanovich@im.bas-net.byБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2020030420205615171Copyright © Игнатенко М.В., Янович Л.А., 20202020Игнатенко М.В., Янович Л.А.Ignatenko M.V., Yanovich L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/505

Рассматривается проблема точного и приближенного решений отдельных дифференциальных уравнений с вариационными производными первого и второго порядков. Приведены некоторые сведения о вариационных производных и явные формулы точных решений простейших уравнений с первыми вариационными производными. Демонстрируется интерполяционный метод для решения обыкновенных дифференциальных уравнений с вариационными производными. Представлена общая схема приближенного решения задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с вариационными производными первого порядка, основанная на использовании аппарата операторного интерполирования. Получено точное решение дифференциального уравнения гиперболического типа с вариационными производными, аналогичное классическому решению Даламбера. Рассмотрена эрмитова интерполяционная задача для функционалов, определенных на множествах дифференцируемых функций, с условиями совпадения в узлах интерполируемого и интерполяционного функционалов, а также их вариационных производных первого и второго порядков. Найденное явное представление решения данной интерполяционной задачи основано на произвольной чебышевской системе функций. Оно обобщено на случай интерполирования функционалов по одной из двух переменных и применено для построения приближенного решения задачи Коши для дифференциального уравнения гиперболического типа с вариационными производными. Изложение материала иллюстрируется многочисленными примерами.

In this paper, we consider the problem of the exact and approximate solutions of certain differential equations with variational derivatives of the first and second orders. Some information about the variational derivatives and explicit formulas for the exact solutions of the simplest equations with the first variational derivatives are given. An interpolation method for solving ordinary differential equations with variational derivatives is demonstrated. The general scheme of an approximate solution of the Cauchy problem for nonlinear differential equations with variational derivatives of the first order, based on the use of the operator interpolation apparatus, is presented. The exact solution of the differential equation of the hyperbolic type with variational derivatives, similar to the classical Dalamber solution, is obtained. The Hermite interpolation problem with the conditions of coincidence in the nodes of the interpolated and interpolation functionals, as well as their variational derivatives of the first and second orders, is considered for functionals defined on the sets of differentiable functions. The found explicit representation of the solution of the given interpolation problem is based on an arbitrary Chebyshev system of functions. This solution is generalized for the case of interpolation of functionals on one out of two variables and applied to construct an approximate solution of the Cauchy problem for the differential equation of the hyperbolic type with variational derivatives. The description of the material is illustrated by numerous examples.

вариационная производнаядифференциал Гатозадача Кошиформула Даламбераоператорное интерполирование эрмитова типаvariational derivativeGateaux differentialCauchy problemDalamber formulaoperator interpolation of Hermite typeReferencesЛеви, П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. – М.: Наука, 1967. – 510 с.Lévy P. Concrete Problems of Functional Analysis. Moscow, Nauka Publ., 1967. 510 p. (in Russian).Вайнберг, М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М. М. Вайнберг. – М.: Гостехиздат, 1956. – 345 с.Vainberg M. M. Variational Methods for Investigation of Non-linear Operators. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1956. 345 p. (in Russian.).Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтера. – М.: Наука, 1982. – 304 с.Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. New York, Dover Publ., 2005. 288 p.Далецкий, Ю. Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю. Л. Далецкий // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 166, № 5. – С. 1035–1038.Daletsky Yu. L. Differential Equations with Functional Derivatives and Stochastic Equations for Generalized Random Processes. Doklady academii nauk SSSR = Doklady of the Academy of Sciences of USSR, 1966, vol. 166, no. 5, pp. 1035–1038 (in Russian).Задорожний, В. Г. О дифференциальных уравнениях второго порядка в вариационных производных / В. Г. Задорожний // Дифференц. уравнения. – 1989. – Т. 25, № 10. – С. 1679–1683.Zadorozhniy V. G. Second-order Differential Equations with Variational Derivatives. Differentsial’nyye uravneniya = Differential equations, 1989, vol. 25, no. 10, pp. 1679–1683 (in Russian).Данилович, В. П. Формула Коши для линейных уравнений с функциональными производными / В. П. Данилович, И. М. Ковальчик // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 8. – С. 1509–1511.Danilovich V. P. Kovalchik I. M. Cauchy Formula for Linear Equations with Functional Derivatives. Differentsial’nyye uravneniya = Differential equations, 1977, vol. 13, no. 8, pp. 1509–1511 (in Russian).Ковальчик, И. М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И. М. Ковальчик // Докл. АН УССР. Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки. – 1978. – Т. 12. – С. 1079–1083.Kovalchik I. M. Representation of Solutions of Certain Equations with Functional Derivatives Using Wiener Integrals. Doklady academii nauk Ukraїni. Seriya A. Fiziko-matematicheskiye i tekhnicheskiye nauki = Doklady of the Academy of Sciences of Ukraine. Series A. Physical, Mathematical, and Technical Sciences, 1978, vol. 12, pp. 1079–1083 (in Russian).Ковальчик, И. М. Линейные уравнения с функциональными производными / И. М. Ковальчик // Докл. АН СССР. – 1970. – Т. 194, № 4. – С. 763–766.Kovalchik I. M. Linear Equations with Functional Derivatives. Doklady academii nauk SSSR = Doklady of the Academy of Sciences of USSR, 1970, vol. 194, no. 4, pp. 763–766 (in Russian).Далецкий, Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения / Ю. Л. Далецкий // Успехи мат. наук. – 1967. – Т. 22, вып. 4 (136). – С. 3–54.Daletskii Yu. L. Infinite-dimensional Elliptic Operators and Parabolic Equations Connected with them. Russian Mathematical Surveys, 1967, vol. 22, no. 4, pp. 1–53. https://doi.org/10.1070/rm1967v022n04abeh003769Авербух, В. И. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах / В. И. Авербух, О. Г. Смолянов // Успехи мат. наук. – 1967. – Т. 22, вып. 6 (138). – С. 201–260.Averbukh V. I., Smolyanov O. G. The Theory of Differentiation in Linear Topological Spaces. Russian Mathematical Surveys, 1967, vol. 22, no. 6, pp. 201–258. https://doi.org/10.1070/rm1967v022n06abeh003761Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich. – Київ: Iн-т математики НАН Украïни, 2010. – 516 с. – (Праці Ін-ту математики НАН України. – Vol. 83: Математика та ii застосування).Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Methods of Operator Interpolation. Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. Vol. 83: Mathematics and its Applications. Kiev, 2010. 516 p.Янович, Л. А. Основы теории интерполирования функций матричных переменных / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко. – Минск: Беларус. навука, 2016. – 281 с.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Bases of the Theory of Interpolation of Functions of Matrix ariables. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2016. 281 р. (in Russian.).Янович, Л. А. Интерполяционные функциональные многочлены ньютонова типа с двукратными узлами / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. – Минск: Изд. центр БГУ, 2012. – С. 229–240.Yanovich, L. A., Ignatenko M. V. Newton-Type Interpolation Functional Polynomials with nodes of the second multiplicity. Analiticheskiye metody analiza i differentsial’nykh uravneniy. Sbornik nauchnykh trudov = Analytical methods of analysis and differential equations. Collection of Sceintific Papers. Minsk, Belarussian State University, 2012, pp. 229–240 (in Russian).Янович, Л. А. Об одном классе интерполяционных многочленов для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Мат. моделирование. – 2014. – Т. 26, № 11. – С. 90–96.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a class of interpolation polynomials for nonlinear ordinary differential operators. Matematicheskoe Modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 26, no. 11, pp. 90–96 (in Russian).Янович, Л. А. К теории интерполирования Эрмита – Биркгофа нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 2. – С. 7–23.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. To the theory of Hermite – Birkhoff interpolation of nonlinear ordinary differential operators. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 2, pp. 7–23 (in Russian).Игнатенко, М. В. К теории интерполирования дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных / М. В. Игнатенко // Тр. Ин-та математики Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 25, № 2. – С. 11–20.Ignatenko M. V. To the interpolation theory of diferential operators of arbitrary order in partial derivatives. Trudy Instituta matematiki Natsional’noy akademii nauk Belarusi = Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 25, no. 2, pp. 11–20 (in Russian).Игнатенко, М. В. Обобщенные интерполяционные многочлены Эрмита – Биркгофа для дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных / М. В. Игнатенко, Л. А. Янович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 2. – С. 149–163. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-2-149-163Ignatenko M. V., Yanovich L. A. Generalized interpolation Hermite – Birkhoff polynomials for arbitrary-order partial differential operators. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 2, pp. 149–163 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-2-149-163

The authors declare that there are no conflicts of interest present.