vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-1-72-83vestifm-506Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПриближенное вычисление функциональных интегралов, порожденных релятивистским гамильтонианомApproximate evaluation of functional integrals generated by the relativistic HamiltonianАйрянЭ. А.AyryanE. A.

Айрян Эдик Арташевич – кандидат физико-математических наук, заведующий сектором, Лаборатория информационных технологий, Объединенный институт ядерных исследований (ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, г. Дубна); РУДН (ул. Миклухо-Маклая, 6, 117198, г. Москва)

Edik A. Ayryan – Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of Sector, Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research (6, Joliot-Curie Str., 141980, Dubna); RUDN University (6, Miklukho-Maklay Str., 117198, Moscow)

ayrjan@jinr.ruГнатичМ.HnaticM.

Михал Гнатич – доктор физико-математических наук, заместитель директора, Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований (ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, г. Дубна, Российская Федерация); Институт экспериментальной физики Словацкой академии наук (ул. Ватсонова, 47, 04001, г. Кошице, Словацкая Республика); Факультет естествознания, Университет Павла Йозефа Шафарика (Парк Ангелинум, 9, 04001, г. Кошице, Словацкая Республика)

Michal Hnatic – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Deputy Director, Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research (6, Joliot-Curie Str., 141980, Dubna, Russian Federation); Institute of Experimental Physics of the Slovak Academy of Sciences (IEP SAS) (47, Watsonova Str., 04001, Košice, Slovak Re public); Faculty of Science P. J. Safarik University (9, Park Angelinum, 04001, Košice, Slovak Republic)

hnatic@saske.skМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

Victor B. Malyutin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Principal Researcher

malyutin@im.bas-net.byОбъединенный институт ядерных исследований; Российский университет дружбы народовJoint Institute for Nuclear Research; RUDN UniversityОбъединенный институт ядерных исследований, Россия; Институт экспериментальной физики Словацкой академии наук; Университет Павла Йозефа ШафарикаJoint Institute for Nuclear Research, Russia; Slovak Academy of Sciences; P. J. Šafárik UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2020060420205617283Copyright © Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б., 20202020Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б.Ayryan E.A., Hnatic M., Malyutin V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/506

Рассматривается приближенное вычисление матричнозначных функциональных интегралов специального вида, порожденных релятивистским гамильтонианом. Метод вычисления функциональных интегралов основан на разложении по собственным функциям гамильтониана, порождающего функциональный интеграл. Для нахождения собственных функций и собственных значений исходный гамильтониан рассматривается в виде суммы невозмущенного оператора и малой поправки к нему и используется теория возмущений. Собственные значения и собственные функции невозмущенного оператора вычисляются с помощью метода последовательностей Штурма и метода обратной итерации. Такой подход позволяет значительно уменьшить счетное время и объем используемой памяти компьютера по сравнению с другими известными методами.

An approximate evaluation of matrix-valued functional integrals generated by the relativistic Hamiltonian is considered. The method of evaluation of functional integrals is based on the expansion in the eigenfunctions of Hamiltonian generating the functional integral. To find the eigenfunctions and the eigenvalues the initial Hamiltonian is considered as a sum of the unperturbed operator and a small correction to it, and the perturbation theory is used. The eigenvalues and the eigenfunctions of the unperturbed operator are found using the Sturm sequence method and the reverse iteration method. This approach allows one to significantly reduce the computation time and the used computer memory compared to the other known methods.

функциональные интегралырелятивистский гамильтониантеория возмущенийсобственные функции гамильтонианапоследовательность Штурмаfunctional integralsrelativistic Hamiltonianperturbation theoryeigenfunctions of HamiltonianSturm sequencesReferencesЯнович, Л. A. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам / Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1976. – 382 с.Yanovich L. A. Approximate Evaluation of Continual Integrals with Respect to Gaussian Measures. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976. 382 p. (in Russian).Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов [и др.]. – Новосибирск: Наука, 1980.Elepov B. S., Kronberg А. А., Мikhailov G. А., Sabelfeld K. K. Solution of Boundary Value Problems by Monte-Carlo Method. Novosibirsk, Science Publ., 1980. 174 p. (in Russian).Сабельфельд, К. К. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло / К. К. Сабельфельд // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 29–43.Sabelfeld K. K. Approximate evaluation of Wiener continual integrals by Monte-Carlo method. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki = Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 1, pp. 29–43 (in Russian).Eгоров, A. Д. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов / А. Д. Eгоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1985. – 309 с.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Approximate Methods of Evaluation of Continual Integrals. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1985. 309 p. (in Russian).Egorov, A. D. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pabl., 1993. – 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Pabl., 1993. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 p. (in Russian).Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – New York: McGraw-Hill, 1965. – 382 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 382 p.Horacio, S. W. Path Integrals for Stochastic Processes: an introduction / S. Wio Horacio. – World Scientific Publ. Company, 2013. – 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Horacio S. Wio. Path Integrals for Stochastic Processes: an introduction. World Scientific Publ. Company, 2013. 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Применение функциональных интегралов к стохастическим уравнениям / Э. А. Айрян [и др.] // Мат. моделирование. – 2016. – T. 28, № 11. – C. 113–125.Ayryan E. A., Еgorov А. D., Кulyabov D. S., Malyutin V. B., Sevastyanov L. А. Application of functional integrals to stochastic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, no. 3, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s2070048217030024Метод функциональных интегралов для систем стохастических дифференциальных уравнений / Э. А. Айрян [и др.] // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – T. 54, № 3. – C. 279–289. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-3-279-289Ayryan E. A., Egorov A. D., Kulyabov D. S., Malyutin V. B., Sevastyanov L. A. Functional integrals method for systems of stochastic differential equations. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 3, pp. 279–289 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-3-279-289Малютин, В. Б. Вычисление функциональных интегралов с помощью последовательностей Штурма / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 4. – C. 32–37.Malyutin V. B. Evaluation of functional integrals using Sturm sequences. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 4, pp. 32–37 (in Russian).Малютин, В. Б. О вычислении функциональных интегралов, порожденных некоторыми нерелятивистскими гамильтонианами / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 1. – С. 44–49.Malyutin V. B. Evaluation of functional integrals generated by some nonrelativistic Hamiltonians. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 1, pp. 44–49 (in Russian).Малютин, В. Б. Приближенное вычисление функциональных интегралов, содержащих центробежный потенциал / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – С. 152–157. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-152-157Malyutin V. B. Approximate evaluation of functional integrals with centrifugal potential. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 152–157 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-152-157Ichinose, T. Propagation of a Dirac particle. A path integral approach / T. Ichinose, H. Tamura // J. Math. Phys. – 1984. – Vol. 25, № 6. – P. 1810–1819. https://doi.org/10.1063/1.526360Ichinose T., Tamura H. Propagation of a Dirac particle. A path integral approach. Journal of Mathematics and Physics, 1984, vol. 25, no. 6, pp. 1810–1819. https://doi.org/10.1063/1.526360Ichinose, T. The zitterbewegung of a Dirac particle in two-dimensional space-time / T. Ichinose, H. Tamura // J. Math. Phys. – 1988. – Vol. 29, № 1. – P. 103–109. https://doi.org/10.1063/1.528162Ichinose T., Tamura H. The zitterbewegung of a Dirac particle in two-dimensional space-time. Journal of Mathematics and Physics, 1988, vol. 29, no. 1, pp. 103–109. https://doi.org/10.1063/1.528162Шифф, Л. Квантовая механика / Л. Шифф. – М.: Изд-во иностр. лит., 1959. – 473 с.Schiff L. Quantum Mechanics. New York, McCraw-Hill Book Company, 1955. 417 p.Wilkinson, J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem / J. H. Wilkinson. – Oxford, 1965. – 662 p.Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, 1965. 662 p.Ландау, Л. Д. Курс теоретической физики / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1989. – Т. 3. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. – 768 с.Landau L. D., Lifshits Е. M. Course of Theoretical Physics. Volume 3. Quantum Mechanics. Nonrelativistic Theory. Moscow, Nauka Publ., 1989. 768 p. (in Russian).Ayryan, E. A. Application of functional polynomials to approximation of matrix-valued functional integrals / E. A. Ayryan, V. B. Malyutin // Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series Mathematics Informatics Physics. – 2014. – № 1. – P. 55–58.Ayryan E. A., Malyutin V. B. Application of functional polynomials to approximation of matrix-valued functional integrals. Bulletin of Peoples’ Friendship University of Russia. Series Mathematics Informatics Physics, 2014, no. 1, pp. 55–58.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.