vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-2-135-143vestifm-515Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО классификации конечномерных гензелевых простых центральных алгебр с унитарными инволюциямиOn the classification of finite-dimensional Henselian simple central algebras with unitary involutionsГоворушкоИ. О.GovorushkoI. O.

Говорушко Игорь Олегович – кандидат физико-математических наук, научный сотрудник отдела алгебры

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Igor O. Govorushko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Researcher of the Department of Algebra

11, Surganov Str., 220072, Minsk

govorushko88@gmail.comЯнчевскийВ. И.YanchevskiiV. I.

Янчевский Вячеслав Иванович – академик НАН Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом алгебры

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Vyacheslav I. Yanchevskii – Academician of the National Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Algebra

11, Surganov Str., 220072, Minsk

yanch@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202008072020562135143Copyright © Говорушко И.О., Янчевский В.И., 20202020Говорушко И.О., Янчевский В.И.Govorushko I.O., Yanchevskii V.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/515

Цель настоящей работы – исследовать проблему классификации конечномерных простых центральных K-алгебр, снабженных унитарными инволюциями. Для слабо разветвленных конечномерных центральных K-алгебр с делением, снабженных унитарными K/k-инволюциями (где поле инвариантов k гензелево), доказан критерий K-изоморфизма. Ранее в работах Ж.-П. Тиньоля, В. В. Курсова и В. И. Янчевского были определены обобщенные абелевы скрещенные произведения и доказан критерий K-изоморфизма обобщенных абелевых скрещенных произведений (D1, G, (ω, f )), (D2, G, (ϖ, g )), когда алгебры D1 и D2 совпадают. В данной статье этот критерий доказан для случая различных алгебр D1 и D2, при помощи которого получен основной результат работы.

The purpose of this paper is to investigate the problem of the classification of finite-dimensional simple central K-algebras with unitary involutions. In this paper, K-isomorphism is proven for weakly ramified finite-dimensional central K-algebras with division and unitary K/k-involutions (where the invariant field k is Henselian). Earlier, in papers by J.-P. Tignol, V. V. Kursov and V. I. Yanchevskii, generalized Abelian crossed products were defined and the K-isomorphism of generalized Abelian crossed products (D1, G, (ω, f )) and (D2, G, (ϖ, g )), was proven for the case D1 = D2. In this paper, this criterion is proven when D1 and D2 are different. With the help of this criterion, the main result of this article is obtained.

ассоциативные алгебрыгензелевы алгебрыконечномерные простые центральные алгебрыунитарные инволюцииобобщенные абелевы скрещенные произведенияassociative algebrasHenselian algebrasfinite-dimensional simple central algebrasunitary involutionsgeneralized Abelian crossed productsReferencesTignol, J.-P. Generalized crossed products [Electronic Resource] / J.-P. Tignol. – Universite Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium, 1987. Mode of access: https://perso.uclouvain.be/jean-pierre.tignol/Rapport106.pdfTignol J.-P. Generalized crossed products. Universite Catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgium, 1987. Available at: https://perso.uclouvain.be/jean-pierre.tignol/Rapport106.pdfJacob, B. Division algebras over Henselian fields / B. Jacob, A. Wadsworth // J. of Algebra. – 1990. – Vol. 128, № 1. – P. 126–179. https://doi.org/10.1016/0021-8693(90)90047-rJacob B., Wadsworth A. Division algebras over Henselian fields. Journal of Algebra, 1990, vol. 128:1, pp. 126–179. https://doi.org/10.1016/0021-8693(90)90047-rКурсов, В. В. Скрещенные произведения простых алгебр и их групп автоморфизмов / В. В. Курсов, В. И. Янчевский // Докл. Акад. наук БССР. – 1988. – Т. 32, № 9. – С. 777–780.Kursov V. V., Yanchevskii V. I. Crossed products over simple algebras and their automorphism groups. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1988, vol. 32, no. 9, pp. 777–780 (in Russian).Тихонов, С. В. Гомоморфизмы и инволюции неразветвленных гензелевых алгебр с делением / С. В. Тихонов, В. И. Янчевский // Зап. науч. семинара ПОМИ. – 2014. – Т. 423. – С. 264–275.Tikhonov S. V., Yanchevskii V. I. Homomorphisms and involutions of unramified Henselian division algebras. Journal of Mathematical Sciences, 2015, vol. 209, no. 4, pp. 657–664. https://doi.org/10.1007/s10958-015-2519-xЕршов, Ю. Л. Гензелевы нормирования тел и группа SK1 / Ю. Л. Ершов // Мат. сб. – 1982. – Т. 117 (159). – С. 60–68.Ershov Yu. L. Henselian valuations of division rings and the group SK1. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1983, vol. 45, no. 1, рр. 63–71. https://doi.org/10.1070/sm1983v045n01abeh000992Draxl, P. K. Ostrowski’s theorem for Henselian valued skew fields / P. K. Draxl // J. Reine Angew. Math. – 1984. – Vol. 1948, № 354. – P. 213–218. https://doi.org/10.1515/crll.1984.354.213Draxl P. K. Ostrowski’s theorem for Henselian valued skew fields. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), 1984, vol. 1984, no. 354, pp. 213–218. https://doi.org/10.1515/crll.1984.354.213

The authors declare that there are no conflicts of interest present.