Кушнеров Александр Викторович – старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа, механико-математический факультет
пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск
Alexander V. Kushnerov – Senior Lecturer of the Department of Differential Equations and System Analysis, Mechanic & Mathematics Faculty
4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk
Липницкий Валерий Антонович – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики
пр. Независимости, 220, 220057, г. Минск
Valery A. Lipinski – Dr. Sc. (Engineering), Professor, Head of the Mathematics Department
220, Nezavisimosti Ave., 220057, Minsk
Королева Мария Николаевна – старший преподаватель кафедры высшей математики
пр. Независимости, 65, 220013, г. Минск
Maria N. Koroleva – Senior Lecturer of the Mathematics Department
65, Nezavisimosti Ave., 220013, Minsk
Семейство линейных циклических кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (БЧХ-кодов) относится к классу наиболее популярных в теории и наиболее массовых в практическом применении помехоустойчивых кодов. Их тесная связь с теорией полей Галуа позволила создать для БЧХ-кодов теорию норм синдромов – синдромных инвариантов Г-орбит ошибок, развить теорию полиномиальных инвариантов G-орбит ошибок. Данная теория в целом послужила основой разработки эффективных перестановочных полиномиально-норменных методов и алгоритмов коррекции ошибок, на порядок снижающих влияние проблемы селектора. На сегодняшний день эти методы представляют единственный подход к коррекции ошибок непримитивными БЧХ-кодами, кратность которых выходит за пределы конструктивных границ. Настоящая работа посвящена определению и исследованию помехоустойчивых обобщенных двоичных кодов Боуза – Чоудхури – Хоквингема (ОБЧХ-кодов). Произведена достаточно точная оценка количества этих кодов каждой конкретной длины. Установлен ряд свойств и взаимосвязей ОБЧХ-кодов. Наиболее подробно рассмотрены ОБЧХкоды с конструктивным расстоянием три и пять, так как подобные коды чаще всего и используются на практике. Дано их практически полное описание в диапазоне длин от 7 до 107. Работа содержит достаточно четкую теоретическую классификацию ОБЧХ-кодов. Особое внимание уделено корректирующим возможностям кодов данного класса – расчету минимальных расстояний этих кодов с различными параметрами. Найдены коды, корректирующие возможности которых существенно превосходят таковые у известных БЧХ-кодов с теми же конструктивными параметрами.
The Bose – Chaudhuri – Hocquenghem type of linear cyclic codes (BCH codes) is one of the most popular and widespread error-correcting codes. Their close connection with the theory of Galois fields gave an opportunity to create a theory of the norms of syndromes for BCH codes, namely, syndrome invariants of the G-orbits of errors, and to develop a theory of polynomial invariants of the G-orbits of errors. This theory as a whole served as the basis for the development of effective permutation polynomial-norm methods and error correction algorithms that significantly reduce the influence of the selector problem. To date, these methods represent the only approach to error correction with non-primitive BCH codes, the multiplicity of which goes beyond design boundaries. This work is dedicated to a special error-correcting code class – generic Bose – Chaudhuri – Hocquenghem codes or simply GBCH-codes. Sufficiently accurate evaluation of the quantity of such codes in each length was produced during our work. We have investigated some properties and connections between different GBCH-codes. Special attention was devoted to codes with constructive distances of 3 and 5, as those codes are usual for practical use. Their almost complete description is given in the range of lengths from 7 to 107. The paper contains a fairly clear theoretical classification of GBCH-codes. Special attention is paid to the corrective capabilities of the codes of this class, namely, to the calculation of the minimal distances of these codes with various parameters. The codes are found whose corrective capabilities significantly exceed those of the well-known GBCH-codes with the same design parameters.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.