vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-2-166-174vestifm-518Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКвазиклассическая аппроксимация функциональных интеграловSemiclassical approximation of functional integralsМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физикоматематических наук, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Victor B. Malyutin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Principal Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

malyutin@im.bas-net.byНуржановБ. О.NurjanovB. O.

Нуржанов Бердах Орынбаевич – кандидат физико-математических наук, доцент

ул. Ч. Абдирова, 1, 230112, г. Нукус

Berdakh O. Nurjanov – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor,

1, Ch. Abdirov Str., 230112, Nukus

nurjanov@list.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusКаракалпакский государственный университет имени БердахаKarakalpak State University named after Berdakh202008072020562166174Copyright © Малютин В.Б., Нуржанов Б.О., 20202020Малютин В.Б., Нуржанов Б.О.Malyutin V.B., Nurjanov B.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/518

Рассматривается квазиклассическая аппроксимация для вычисления функциональных интегралов специального вида по условной мере Винера. В этой аппроксимации используется разложение действия относительно классической траектории. При этом учитываются три первых члена разложения. Квазиклассическая аппроксимация может интерпретироваться как разложение по степеням постоянной Планка. Новизна данной работы заключается в численном анализе точности квазиклассической аппроксимации функциональных интегралов. Для численного анализа используется сравнение результатов. Одни результаты получаются с помощью квазиклассической аппроксимации, другие – с помощью метода вычисления функциональных интегралов, основанного на разложении по собственным функциям гамильтониана, порождающего функциональный интеграл.

In this paper, we consider a semiclassical approximation of special functional integrals with respect to the conditional Wiener measure. In this apptoximation we use the expansion of the action with respect to the classical trajectory. In so doing, the first three terms of expansion are taken into account. Semiclassical approximation may be interpreted as an expansion in powers of the Planck constant. The novelty of this work is the numerical analysis of the accuracy of the semiclassical approximation of functional integrals. A comparison of the results is used for numerical analysis. Some results are obtained by means of semiclassical approximation, while the other by means of the functional integrals calculation method based on the expansion in eigenfunctions of the Hamiltonian generating a functional integral.

функциональные интегралыквазиклассическая аппроксимациядействиеклассическая траекториясобственные функции гамильтонианаfunctional integralssemiclassical approximationactionclassical trajectoryeigenfunctions of HamiltonianReferencesGlimm, J. Quantum Physics. A functional integral point of view / J. Glimm, A. Jaffe. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1981. – 417 p.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. Berlin, Heidelberg, New York, SpringerVerlag, 1981. 417 p.Янович, Л. A. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам / Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1976. – 382 с.Yanovich L. A. Approximate Evaluation of Continual Integrals with respect to Gaussian Measures. Мinsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976. (in Russian).Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов [и др.]. – Новосибирск: Наука, 1980.Elepov B. S., Kronberg А. А., Мikhailov G. А., Sabelfeld K. K. Solution of Boundary Value Problems by Monte-Carlo Method. Novosibirsk, Nauka Publ., 1980. 174 р. (in Russian).Сабельфельд, К. К. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов методом МонтеКарло / К. К. Сабельфельд // ЖВМ и МФ. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 29–43.Sabelfeld K. K. Approximate evaluation of Wiener continual integrals by Monte-Carlo method. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 1, pp. 29–43. https://doi.org/10.1016/0041-5553(79)90064-8Eгоров, A. Д. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов / А. Д. Eгоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1985. – 309 с.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Approximate Methods of Evaluation of Continual Integrals. Мinsk, Nauka i tekhnika Publ., 1985. 309 p. (in Russian).Egorov, A. D. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pablishers, 1993. – 400 p.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional integrals: Approximate evaluation and Applications. Kluwer Academic Pablishers, Dordrecht. 1993. 400 p.Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to theory and applications of functional integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 р. (in Russian).Kleinert, H. Path integrals in quantum mechanics, statistics polymer physics, and financial markets / H. Kleinert. – Singapore: World Scientific Publishing, 2004. – 1504 p. https://doi.org/10.1142/5057Kleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets. Singapore, World Scientific Publishing, 2004. 1504 p. https://doi.org/10.1142/5057Feynman, R. P. Quantum mechanics and path integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – New York: McGraw-Hill, 1965. – 365 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 365 p.Крылов, В. И. Вычислительные методы высшей математики / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. – Минск: Выш. шк., 1975. – Т. 2. – 671 с.Krylov V. I., Bobkov V. V., Monastyrnyi P. I. Computational methods of higher mathematics. Minsk, Vysheishaya shkola Publ., 1975, vol. 2. 671 p. (in Russian).Risken, H. The Fokker-Plank equation: methods of solution and applications / H. Risken. – Springer-Verlag, 1984. – 454 p.Risken H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications. Springer-Verlag, 1984. 454 p.Wilkinson, J. H. The algebraic eigenvalue problem / J. H. Wilkinson. – Oxford, 1965. – 662 p.Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, 1965. 662 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.