vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-3-263-274vestifm-530Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб одном интерполяционном рациональном процессе Фейера – ЭрмитаOn one interpolating rational process of Fejer – HermiteРовбаЕ. А.RoubaYa. A.

Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Yauheni A. Rouba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

rovba.ea@gmail.comСмотрицкийК. А.SmatrytskiK. A.

Смотрицкий Константин Анатольевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Kanstantin A. Smatrytski – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

k_smotritski@mail.ruДирвукЕ. В.DirvukYa. V.

Дирвук Евгений Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры системного программирования и компьютерной безопасности

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Yauheni V. Dirvuk – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor of the Department of System Programming and Computer Security

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

dirvuk@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno202018102020563263274Copyright © Ровба Е.А., Смотрицкий К.А., Дирвук Е.В., 20202020Ровба Е.А., Смотрицкий К.А., Дирвук Е.В.Rouba Y.A., Smatrytski K.A., Dirvuk Y.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/530

Целью данной работы является изучение нового подхода к определению интерполяционного процесса Фейера – Эрмита с узлами Чебышева – Маркова первого рода на отрезке и описание некоторых его аппроксимационных свойств. Проведен краткий анализ результатов по теме исследования – построению интерполяционных процессов, в частности Фейера – Эрмита, в полиномиальной и рациональной аппроксимации. Предложен новый способ определения интерполяционного рационального процесса Фейера – Эрмита. Один из основных результатов работы состоит в доказательстве равномерной сходимости указанного процесса для произвольной непрерывной на отрезке функции при некоторых ограничениях на полюсы аппроксимирующих функций. Этому результату предшествуют некоторые вспомогательные утверждения, описывающие свойства специальных рациональных функций. Для доказательства используются классические методы математического анализа, теории приближений и теории функций комплексного переменного. Кроме того, проводится численный анализ эффективности использования построенного интерполяционного процесса Фейера – Эрмита для приближения функции, отражающей особенности рациональной аппроксимации. При этом выбор параметров, от которых зависят узлы интерполирования, производится несколькими стандартными способами. Полученные результаты могут быть применены для дальнейшего исследования аппроксимационных свойств интерполяционных процессов.

In this paper, a new approach to the definition of the interpolating rational process of Fejer – Hermite with first-type Chebyshev – Markov nodes on a segment is studied and some of its approximating properties are described. In the introduction a brief analysis of the results on the topic of the research is carried out. Herein, the methods of the construction of interpolating processes, in particular, Fejer – Hermite processes, in the polynomial and rational approximation are analysed. A new method to determine the interpolating rational Fejer – Hermite process is proposed. One of the main results of this paper is the proof of the uniform convergence of this process for an arbitrary function, which is continuous on the segment, under some restrictions for the poles of approximating functions. This result is preceded by some auxiliary statements describing the properties of special rational functions. The classic methods of mathematical analysis, approximation theory, and theory of functions of a complex variable are used to prove the results of the work. Moreover, we present the numerical analysis of the effectiveness of the application of the constructed interpolating Fejer – Hermite process for the approximation of a continuous function with singularities. The choice of parameters, on which the nodes of interpolation depend, is made in several standard ways. The obtained results can be applied to further study the approximating properties of interpolating processes.

приближениеинтерполяциярациональные функциипроцесс Фейера – Эрмитадробь Чебышева – Марковаapproximationinterpolationrational functionsFejer – Hermite processChebyshev – Markov fractionReferencesSzabados, J. Interpolation of functions / J. Szabados, P. Vertesi. – World Scientific, 1990. – 305 p. https://doi.org/10.1142/0861Szabados J., Vertesi P. Interpolation of Functions. World Scientific, 1990, 305 p. https://doi.org/10.1142/0861DeVore, R. Constructive approximation / R. DeVore, G. Lorentz. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1993. – 452 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02888-9DeVore R., Lorentz G. Constructive Approximation. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1993. 452 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02888-9Крылов, В. И. Приближенное вычисление интегралов / В. И. Крылов. – М.: Физматгиз, 1959. – 328 с.Krylov V. I. Approximate Calculation of Integrals. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1959. 328 p. (in Russian).Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949. – 688 с.Natanson I. P. Constructive Theory of Functions. Moscow, Leningrad: Gostekhizdat Publ., 1949. 688 p. (in Russian).Mills, T. Some techniques in approximation theory / T. Mills // Math. Sci. – 1980. – № 5. – P. 105–120.Mills T. Some techniques in approximation theory. Mathematical Scientist, 1980, no. 5, pp. 105–120.Ровба, Е. А. О константе Лебега интерполяционных рациональных процессов Лагранжа по узлам Чебышева – Маркова / Е. А. Ровба, Е. В. Дирвук // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2015. – № 4. – С. 32–38.Rouba Y. A. Dirvuk Y. V. Estimation of the Lebesgue constant for the rational Lagrange interpolation processes through the Chebyshev – Markov nodes. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2015, no. 4, pp. 32–38 (in Russian).Русак, В. Н. Синус-дроби Чебышева – Маркова в приближенном интегрировании / В. Н. Русак, Н. В. Гриб // Вес. БДПУ. Сер. 3, Фізіка. Матэматыка. Інфарматыка. Біялогія. Геаграфія. – 2015. – № 2. – С. 17–20.Rusak V. N., Grib N. V. Chebyshev – Markov sine-fractions in approximate integration. Vestsі BDPU. Seryja 3. Fіzіka. Matematyka. Іnfarmatyka. Bіyalogіya. Geagrafіya = Proceedings of BSPU. Series 3. Physics. Mathematics. Informatics. Biology. Geography, 2015, no. 2, pp. 17–20 (in Russian).Ровба, Е. А. Сходимость в среднем интерполяционных рациональных процессов в нулях дробей Бернштейна // Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2010. – № 3. – С. 5–9.Rouba Y. A. Smatrytski K. A. Convergence in the mean of rational interpolating processes in the zeroes of Bernstein fractures. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2010, no. 3, pp. 5–9 (in Russian).Min, G. Lobbatto-type quadrature formula in rational space / G. Min // J. Comput. Appl. Math. – 1998. – Vol. 94, № 1. – P. 1–12. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(98)00068-5Min G. Lobbatto-type quadrature formula in rational space. Journal of Computational and Applied Mathematics, 1998, vol. 94, no. 1, pp. 1–12. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(98)00068-5Rouba, Y. Rational quasi-Hermite-Fejer-type interpolation and Lobatto-type quadrature formula with ChebyshevMarkov nodes / Y. Rouba, K. Smatrytski, Y. Dirvuk // Jaen J. Approximation. – 2015. – Vol. 7, № 2. – P. 291–308.Rouba Y., Smatrytski K., Dirvuk Y. Rational quasi-Hermite-Fejer-type interpolation and Lobatto-type quadrature formula with Chebyshev-Markov nodes. Jaen Journal on Approximation, 2015, vol. 7, no. 2, pp. 291–308.Русак, В. Н. Об интерполировании рациональными функциями с фиксированными полюсами / В. Н. Русак // Докл. Акад. наук БССР. – 1962. – Т. 4, № 9. – С. 548–550.Rusak V. N. On interpolation by rational functions with fixed poles. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1962, vol. 4, no. 9, pp. 548–550 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: БГУ, 1979. – 176 с.Rusak V. N. Rational Functions as Approximation Apparatus. Minsk, Belarusian State University, 1979. 176 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.