vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-3-275-286vestifm-531Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSФункции Дюлака – Черкаса для систем, эквивалентных уравнению ван дер ПоляDulac – Cherkas functions for systems equivalent to the van der Pol equationГриньА. А.HrynA. A.

Гринь Александр Александрович – доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Aliaksandr A. Hryn – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., 230023

grin@grsu.byГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno202018102020563275286Copyright © Гринь А.А., 20202020Гринь А.А.Hryn A.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/531

Объектом исследования в настоящей работе является автономная система ван дер Поля на вещественной плоскости. Предметом исследования выступают свойства предельного цикла указанной системы. Основная цель предлагаемой статьи состоит в нахождении локализации предельного цикла на фазовой плоскости и установлении его формы при различных значениях действительного параметра системы ван дер Поля. Наш подход основан на применении трансверсальных кривых, соответствующих функциям Дюлака – Черкаса и аппроксимирующих расположение предельного цикла. В качестве первого шага для системы ван дер Поля были выделены пять топологически эквивалентных систем, включая системы с параметром, поворачивающим векторное поле, и сингулярно возмущенные системы. Затем, применяя ранее разработанный способ, для трех из рассматриваемых систем в фазовой плоскости при всех действительных значениях параметра кроме нулевого построены по две полиномиальные функции Дюлака – Черкаса. С их помощью найдены трансверсальные кривые, образующие границы областей локализации предельного цикла системы ван дер Поля. Таким образом, построенные функции Дюлака – Черкаса позволяют определять расположение предельного цикла на основе алгебраических кривых при всех действительных значениях параметра, включая значения, близкие к бифуркации предельного цикла из овалов центра, бифуркации Андронова – Хопфа и бифуркации из замкнутой траектории, соответствующей разрывному периодическому решению.

The object of this study is an autonomous van der Pol system on a real plane. The subject of the study is the properties of the limit cycle of this system. The main purpose of this paper is to find the localization of the limit cycle on the phase plane and establish its shape for various values of the real parameter of the van der Pol system. Our approach is based on the use of transverse curves related to the Dulac – Cherkas functions and approximating the location of the limit cycle. As the first step, five topologically equivalent systems, including systems with a parameter rotating the vector field, as well as singularly perturbed systems are determined for the van der Pol system. Then, applying the previously elaborated method, we constructed two polynomial Dulac – Cherkas functions for each of three systems from the considered ones in the phase plane for all real nonzero values of the parameter. Using them, transverse curves forming the boundaries of the localization regions of the limit cycle for the van der Pol system are found. Thus, the constructed Dulac – Cherkas functions allow us to determine the location of the limit cycle on the basis of algebraic curves for all real parameter values, including values close to the bifurcation of a limit cycle from the center ovals, the Andronov – Hopf bifurcation, and the bifurcation from a closed trajectory related to a discontinuous periodic solution.

автономная система ван дер Поля на плоскоститопологически эквивалентные системыпредельный циклфункция Дюлака – Черкасасингулярно возмущенная системасистема с параметромповорачивающим векторное полеvan der Pol planar autonomous systemtopologically equivalent systemslimit cycleDulac – Cherkas functionsingularly perturbed systemsystem with a parameter rotated the vector fieldReferencesVan der Pol, B. On relaxation-oscillations / B. van der Pol // London, Edinburgh, and Dublin Philos. Mag. J. Sci. – 1926. – Vol. 2, № 11. – P. 978–992. https://doi.org/10.1080/14786442608564127Van der Pol B. On relaxation-oscillations. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1926, vol. 2, no. 11, pp. 978–992. https://doi.org/10.1080/14786442608564127Феномен уравнения ван дер Поля / А. П. Кузнецов [и др.] // Изв. вузов. ПНД. – 2014. – Т. 22, № 4. – С. 3–42.Kuznetsov A. P., Seliverstova E. S., Trubetskov D. I., Tyuryukina L. V. The phenomenon of the van der Pol equation. Izvestiya Vysshikh uchebnykh zavedeniy. Prikladnaya nelineynaya dinamika = Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics, 2014, vol. 22, no. 4, pp. 3–42 (in Russian).Perko, L. Differential equations and dynamical systems / L. Perko. – Springer-Verlag, 2001. –557 p. – (Texts in Applied Mathematics, Vol. 7). https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0003-8Perko L. Differential equations and dynamical systems. Texts in Applied Mathematics. Vol. 7. Springer-Verlag, 2001. 557 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0003-8Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А. А. Андронов [и др.]. – М.: Наука, 1967. – 488 с.Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Maier A. G. The Theory of Bifurcations of Dynamical Systems on the Plane. Moscоw, Nauka Publ., 1967. 488 p. (in Russian).Андронов, А. А. Теория колебаний / А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин. – М.: Наука, 1981. – 568 с.Andronov A. A., Vitt A. A., Khaikin S. E. Oscillation Theory. Moscоw, Nauka Publ., 1981. 918 p. (in Russian).Cao, Y. The estimate of the amplitude of limit cycles of symmetric Lienard systems / Y. Cao, C. Liu // J. Differ. Equations. – 2017. – Vol. 262, № 3. – P. 2025 – 2038. https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.10.034Cao Y., Liu C. The estimate of the amplitude of limit cycles of symmetric Lienard systems. Journal of Differential Equations, 2017, vol. 262, no. 3, pp. 2025–2038. https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.10.034Liénard, A. Etude des oscillations entretenues / A. Liénard // Rev. Gén. Électr. – 1928. – Vol. 23. – P. 901–912.Liénard A. Etude des oscillations entretenues. Revue Génerale de l’Électricité, 1928, vol. 23, pp. 901–912.Van der Pol, B. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart / B. van der Pol, J. van der Mark // The London, Edinburgh, and Dublin Philos. Mag. J. Sci. – 1928. – Vol. 6, № 38. – P. 763–992. https://doi.org/10.1080/14786441108564652Van der Pol B., Van der Mark J. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an electrical model of the heart. The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1928, vol. 6, no. 38, pp. 763–992. https://doi.org/10.1080/14786441108564652Мищенко, Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. – М.: Наука, 1975. – 248 с.Mishchenko E. F., Rozov N. Kh. Small-parameter Differential Equations and Relaxation Oscillations. Moscоw, Nauka Publ., 1975. 248 p. (in Russian).Grin, А. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems / А. Grin, K. Schneider // Dynamics of Сontinuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A: Mathematical Analysis. – 2007. – Vol. 14, № 5. – P. 641–656.Grin А., Schneider K. On some classes of limit cycles of planar dynamical systems. Dynamics of сontinuous, discrete and impulsive systems. Series A: Mathematical Analysis, 2007, vol. 14, no. 5, pp. 641–656.Cherkas, L. A. Dulac – Cherkas functions for generalized Liénard systems / L. A. Cherkas, A. A. Grin, K. R. Schneider // Electron. J. Qualitative Theory Differential Equations. – 2011. – № 35. – P. 1–23. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2011.1.35Cherkas L. A., Grin A. A., Schneider K. R. Dulac-Cherkas functions for generalized Liénard systems. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2011, no 35. pp. 1–23. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2011.1.35Lynch, S. Dynamical Systems with Applications Using Mathematica / S. Lynch. – Boston: Birkhäuser, 2007. – 484 p. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4586-1Lynch S. Dynamical Systems with Applications Using Mathematica. Boston, Birkhäuser, 2007. 484 p. https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4586-1Schneider, K. R. New approach to study the van der Pol equation for large damping / K. R. Schneider // Electron. J. Qualitative Theory Differential Equations. – 2018. – № 8. – P. 1–10. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2018.1.8Schneider K. R. New approach to study the van der Pol equation for large damping. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2018, no. 8, pp. 1–10. https://doi.org/10.14232/ejqtde.2018.1.8Dumortier, F. Qualitative Theory of Planar Differential Systems / F. Dumortier, J. Llibre, J. C. Artes. – Berlin; Heidelberg: Springer. – 2006. – XVI, 302 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-32902-2Dumortier F., Llibre J., Artes J. C. Qualitative Theory of Planar Differential Systems. Berlin, Heidelberg, Springer, 2006. XVI, 302 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-32902-2Черкас, Л. А. Функция Дюлака полиномиальных автономных систем на плоскости / Л. А. Черкас // Дифференц. уравнения. – 1997. – Т. 33, № 5. – С. 689–699.Cherkas L. A. The Dulac function for polynomial autonomous systems on a plane. Differential Equations, 1997, vol. 33, no 5. pp. 692–701.Sansone, G. Sopra léquazione di A. Liénard delle oscillazioni di relassamento / G. Sansone // Ann. Math. Pura Appl. – 1949. – Vol. 28, № 1. – P. 153–181. https://doi.org/10.1007/bf02411124Sansone G. Sopra léquazione di A. Liénard delle oscillazioni di relassamento. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1949, vol. 28, no. 1, pp. 153–181. https://doi.org/10.1007/bf02411124

The authors declare that there are no conflicts of interest present.