vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309vestifm-533Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО решении одного интегро-дифференциального уравнения с сингулярным и гиперсингулярным интеграламиOn the solution of one integro-differential equation with singular and hypersingular integralsШилинА. П.ShilinA. P.

Шилин Андрей Петрович – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и математической физики

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Andrey P. Shilin – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Physics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University202018102020563298309Copyright © Шилин А.П., 20202020Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/533

Изучено линейное интегро-дифференциальное уравнение первого порядка, заданное на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. Коэффициенты уравнения имеют специальную структуру. Уравнение содержит сингулярный интеграл, понимаемый в смысле главного значения по Коши, и гиперсингулярный интеграл, понимаемый в смысле конечной части по Адамару. Применяется метод аналитического продолжения. Уравнение сводится к последовательному решению краевой задачи Римана и двух линейных дифференциальных уравнений. Задача Римана решается в классе аналитических функций с особыми точками. Дифференциальные уравнения решаются в классе аналитических функций в областях комплексной плоскости. Приводятся в явном виде условия разрешимости исходного уравнения. Решение уравнения при выполнении этих условий также приводится в явном виде. Рассмотрены примеры. Проанализирован неочевидный частный случай.

A linear integro-differential equation of the first order given on a closed curve located on the complex plane is studied. The coefficients of the equation have a special structure. The equation contains a singular integral, which can be understood as the main value by Cauchy, and a hypersingular integral which can be understood as the end part by Hadamard. The analytical continuation method is applied. The equation is reduced to a sequential solution of the Riemann boundary value problem and two linear differential equations. The Riemann problem is solved in the class of analytic functions with special points. Differential equations are solved in the class of analytical functions on the complex plane. The conditions for the solvability of the original equation are explicitly given. The solution of the equation when these conditions are fulfilled is also given explicitly. Examples are considered. A non-obvious special case is analyzed.

интегро-дифференциальное уравнениесингулярный интегралгиперсингулярный интегралобобщенные формулы Сохоцкогокраевая задача Риманалинейные дифференциальные уравненияintegro-differential equationsingular integralhypersingular integralgeneralized Sokhotsky formulasRiemann boundary problemlinear differential equationsReferencesМусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 513 с.Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 513 p. (in Russian).Бойков, И. В. Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Изв. высш. учеб. заведений. Поволж. регион. Физ.-мат. науки. – 2017. – № 2 (42). – С. 63–78. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-6Boykov I. V., Boykova A. I. Analytical methods of solving hypersingular integral equations. Izvestiyavuzow. Povolzshiy region. Fiziko-matematicheskiye nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences, 2017, no. 2 (42), pp. 63–78. https://doi.org/10.21685/2072-3040-2017-2-6Зверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.Zverovich, E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady Nacionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5–8 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида / Э. И. Зверович, А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Zverovich E. I., Shilin A. P. Integro-differential equations with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryiafizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 404–407 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Шилин, А. П. Дифференциальная краевая задача Римана и ее приложение к интегро-дифференциальным уравнениям / А. П. Шилин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 4. – С. 391–397. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Shilin A. P. Riemann’s differential boundary-value problem and its application to integro-differential equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 391–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Шилин, А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типа / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 17–29. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equations of the Euler type. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 17–29 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sohotsky formulas. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizikamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2012, no. 2, pp. 2–28 (in Russian).Зверович, Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях / Э. И. Зверович // Успехи мат. наук. – 1971. – Т. 26, вып. 1 (157). – С. 113–179.Zverovich E. I. Boundary value problems in the theory of analytic functions in Holder classes on riemann surfaces. Uspekhi matematicheskikh nauk = Advances in mathematical Sciences, 1971, vol. 26, no. 1 (157), pp. 117–192 (in Russian).Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.