vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-3-318-327vestifm-535Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПервые интегралы и рациональные решения некоторых дифференциальных уравнений четвертого порядкаThe first integrals and rational solutions of some fourth-order differential equationsБабичЕ. Р.BabichE. R.

Бабич Елена Романовна – аспирант кафедры математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Elena R. Babich – Postgraduate Student of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

elena.bibilo@mail.ruМартыновИ. П.MartynovI. P.

Мартынов Иван Платонович – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно

Ivan P. Martynov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

i.martynov@grsu.byГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno202018102020563318327Copyright © Бабич Е.Р., Мартынов И.П., 20202020Бабич Е.Р., Мартынов И.П.Babich E.R., Martynov I.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/535

Объектом исследования являются дифференциальные уравнения четвертого порядка. Цель работы – изучение аналитических свойств решений данных дифференциальных уравнений. Указан общий вид рассматриваемых уравнений, а также обоснован выбор объекта исследования. Проведено изучение дифференциальных уравнений четвертого порядка, у которых нет наборов резонансов таких, чтобы все нетривиальные резонансы были положительными. Три из этих уравнений удовлетворяют условиям отсутствия у решений подвижных многозначных особых точек, а для следующих трех решения соответствующих им упрощенных уравнений имеют подвижные особые точки многозначного характера. Также исследованы аналитические свойства еще одного дифференциального уравнения четвертого порядка другого общего вида, для которого также можно построить двухпараметрическое рациональное решение, так как в соответствующем ему наборе резонансов есть нетривиальный отрицательный резонанс. Найдены первые интегралы указанных уравнений и по отрицательным нетривиальным резонансам построены их рациональные решения. При исследовании применялся метод резонансов. Полученные результаты могут быть использованы в аналитической теории дифференциальных уравнений.

The object of this research is fourth-order differential equations. The aim of the research is to study the analytical properties of the solutions of these differential equations. The general form of the considered equations is indicated, and also the choice of the research object is justified. Herein we studied fourth-order differential equations for which sets of resonances with all positive nontrivial resonances are absent. Besides, three of these equations satisfy the conditions of absence in the solutions of moving multivalued singular points. The solutions of the next three equations have movable special points of multivalued character. Moreover, we also investigated the analytical properties of one more fourth-order differential equation of another general form for which it is also possible to construct a two-parameter rational solution as there is a nontrivial negative resonance in the related set of resonances. The first integrals of the equations under study are found and their rational solutions are constructed from negative non-trivial resonances. The resonance method was used in this study. The obtained results can be used in the analytical theory of differential equations.

дифференциальное уравнениерезонансырациональное решениепервый интегралмероморфностьdifferential equationsresonancesrational solutionthe first integralmeromorphismReferencesAblowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. I / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, № 4. – P. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equation of P-type. Journal of Mathematical Physics, 1980, vol. 21, no. 4, pp. 715–721. https://doi.org/10.1063/1.524491Clarkson, P. A. Symmetry and the Chazy Equation / P. A. Clarkson, P. J. Olver // J. Differential Equations. – Vol. 124, № 1. – P. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008Clarkson P. A., Olver P. J. Symmetry and the Chazy Equation. Journal of Differential Equations, vol. 124, no. 1, pp. 225–246. https://doi.org/10.1006/jdeq.1996.0008Здунек, А. Г. О рациональных решениях дифференциальных уравнений / А. Г. Здунек, И. П. Мартынов, В. А. Пронько // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2000. – № 3. – С.33–39.Zdunek A. G., Martynov I. P., Pronko V. A. On the rational solutions of differential equations. Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2000, no. 3, pp. 33–39 (in Russian).Jrad, F. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painlevé test / F. Jrad, U. Muğan // Z. Naturforsch. A. – 2005. – Vol. 60, № 6. – P. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601Jrad F., Muğan U. Non-polynomial fourth order equations which pass the Painlevé test. Zeitschrift für Naturforschung A, 2005, vol. 60, no. 6, pp. 387–400. https://doi.org/10.1515/zna-2005-0601Соболевский, С. Л. Подвижные особые точки решений обыкновенных дифференциальных уравнений: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / С. Л. Соболевский. – Минск, 2008. – 28 с.Sobolevskii S. L. Movable Singular Points of Solutions of Ordinary Differential Equations. Minsk, 2008. 28 p. (in Russian).Мартынов, И. П. О дифференциальных уравнениях с неподвижными критическими особыми точками / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т. 9, № 10. – С. 1780–1791.Martynov I. P. On differential equations with fixed critical singular points. Differential Equations, 1973, vol. 9, no. 10, pp. 1780–1791 (in Russian).Ablowitz, M. J. A connection between nonlinear evolution and ordinary differential equations of P-type. II / M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur // J. Math. Phys. – 1980. – Vol. 21, № 5. – P. 1006–1015. https://doi.org/10.1063/1.524548Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution and ordinary differential equations of P-type. II. Journal of Mathematical Physics, 1980, vol. 21, no. 5, pp. 1006–1015. https://doi.org/10.1063/1.524548О некоторых аналитических свойствах решений алгебраических дифференциальных уравнений / Т. Н. Ванькова [и др.] // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2008. – № 1 (64). – С. 8–16.Vankova T. N. Martynov I. P., Parmanchuk O. N., Pronko V. A. Some analytical properties of solutions of differential-algebraic equations. Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne= Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2008, no. 1, pp. 8–16 (in Russian).Чжан Биньбинь. О рациональных решениях одного класса неполиномиальных дифференциальных уравнений четвертого порядка / Чжан Биньбинь, И. П. Мартынов // Весн. Гродзен. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, выліч. тэхніка і кіраванне. – 2018. – Т. 8, № 2. – С. 32–40.Chzhan Bin’bin’, Martynov I. P. On rational solutions of a class of fourth-order non-polynomial differential equations. Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia Tekhnika i Kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2018, vol. 8, no. 2, pp. 32–40 (in Russian).Мартынов, И. П. Аналитическая теория нелинейных уравнений и систем / И. П. Мартынов, Н. С. Березкина, В. А. Пронько. – Гродно: ГрГУ, 2009. – 395 с.Martynov I. P., Berezkina N. S., Pronko V. A. Analytical Theory of Nonlinear Equations and Systems. Grodno, GrGU Publ., 2009. 395 p. (in Russian).Ванькова, Т. Н. Аналитические свойства решений некоторых классов дифференциальных уравнений третьего и высших порядков: дис. … канд. физ.-мат.наук: 01.01.02 / Т. Н. Ванькова. – Гродно, 2013. – 105 л.Vankova T. N. Analytic Properties of Solutions of Some Classes of Differential Equations of the Third and Higher Order. Grodno, 2013. 105 p. (in Russian).Мартынов, И. П. Об уравнениях третьего порядка без подвижных критических особенностей / И. П. Мартынов // Дифференц. уравнения. – 1985. – Т. 21, № 6. – С. 937–946.Martynov I. P. The equations of the third order with no moving critical features. Differential Equations, 1985, vol. 21, no. 6, pp. 937–946 (in Russian).Колесникова, Н. С. Об одном классе дифференциальных уравнений третьего порядка с неподвижными критическими точками / Н. С. Колесникова, Н. А. Лукашевич // Дифференц. уравнения. – 1972. – Т. 8, № 11. – С. 2082–2086.Kolesnikova N. S., Lukashevich N. A. On a class of third-order differential equations with fixed critical points. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1972, vol. 8, no. 11, pp. 2082–2086 (in Russian).Third order differential equations with fixed critical points / Y. Adjabi [et al.] // Appl. Math. Comput. – 2009. – Vоl. 208, № 1. – Р. 238–248. https://doi.org/10.1016/j.amc.2008.11.044Adjabi Y., Jrad F., Kessi A., Muğan U. Third order differential equations with fixed critical points. Applied Mathematics and Computation, 2009, vоl. 208, no. 1, pp. 238–248. https://doi.org/10.1016/j.amc.2008.11.044Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М.: Наука, 1988. – 548 c.Gantmacher F. R. Matrix Theory. Moscow, Nauka Publ., 1988. 548 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.