vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-3-350-360vestifm-538Research ArticleФИЗИКАPHYSICSЧастица со спином 3/2: модели Паули – Фирца и Фрадкина, взаимодействие с внешними полямиSpin 3/2 particle: Puali – Fierz and Fradkin models, interaction with external fieldsИвашкевичА. В.IvashkevichA. V.

Ивашкевич Алина Валентиновна – магистрант

пр. Независимости, 68-2, 220072, г. Минск

Alina V. Ivashkevich – Master Student

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

ivashkevich.alina@yandex.byВойноваЯ. А.VoynovaYa. A.

Войнова Янина Александровна – кандидат физико-математических наук, преподаватель

ул. М. Богдановича, 29, 220029, г. Минск

Yanina A. Voynova – Ph. D. (Physics and Mathematics), Teacher

29, M. Bogdanovich Str., 220029, Minsk

voinovayanina@mail.ruОвсиюкЕ. М.ОvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической физики и прикладной информатики

ул. Студенческая, 28, 247760, г. Мозырь, Гомельская обл.

Еlena М. Оvsiyuk – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Theoretical Physics and Applied Informatics

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr

e.ovsiyuk@mail.ruКисельВ. В.KiselV. V.

Кисель Василий Васильевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры физики

ул. П. Бровки, 6, 220013, Минск

Vasily V. Kisel – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Assistant Professor of the Department of Physics

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk

vasiliy_bspu@mail.ruРедьковВ. М.Red’kovV. M.

Редьков Виктор Михайлович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник центра «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика»

пр. Независимости, 68-2, 220072, г. Минск

Viktor M. Red’kov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher of the Center «Fundamental Interactions and Astrophysics»

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

redkov@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of BelarusМинское суворовское военное училищеMinsk Suvorov Military SchoolМозырский государственный педагогический университет им. И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. ShamyakinБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics202018102020563350360Copyright © Ивашкевич А.В., Войнова Я.А., Овсиюк Е.М., Кисель В.В., Редьков В.М., 20202020Ивашкевич А.В., Войнова Я.А., Овсиюк Е.М., Кисель В.В., Редьков В.М.Ivashkevich A.V., Voynova Y.A., Оvsiyuk E.M., Kisel V.V., Red’kov V.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/538

В рамках общего формализма Гельфанда – Яглома исследуется теория Фрадкина для частицы со спином 3/2 в присутствии внешних полей. С помощью стандартных требований релятивистской инвариантности, P-симметрии, существования функции Лагранжа для развиваемой модели сначала выведен набор спинорных уравнений при отсутствии внешних полей. Волновая функция эквивалента набору из биспинора и вектор-биспинора. Показывается, что в свободном случае теория Фрадкина может быть приведена к теории Паули – Фирца. При учете внешних электромагнитных полей теория Фрадкина может быть приведена к минимальной форме уравнения для основного биспинора. Полученное уравнение содержит дополнительный член взаимодействия через тензор Fαβ электромагнитного поля, при этом появляется параметр в уравнении Фрадкина, соотносимый с некоторой дополнительной к заряду характеристикой частицы. Теория обобщается, для того чтобы учесть псевдориманову структуру пространства-времени. В общековариантном случае появляется дополнительный член взаимодействия через тензор Риччи Rαβ. При нулевом электрическом заряде частицы теория Фрадкина остается корректной и описывает майорановскую частицу со спином 3/2, неминимально взаимодействующую со структурой пространства-времени через тензор Риччи. Чтобы прояснить физический смысл дополнительного параметра Фрадкина, отличающего ее от модели Паули – Фирца, исследуем нерелятивистское приближение в обеих моделях во внешнем однородном магнитном поле, два различающихся спектра энергии найдены в явном виде. Структура нерелятивистского уравнения позволяет рассматривать дополнительный параметр как поляризуемость.

In the frame of the general Gel’fand – Yaglom formalism, the Fradkin theory for a spin 3/2 particle in presence of external fields is investigated. Applying the standard requirements of relativistic invariance, P-symmetry, existence of a Lagrangian for the model, we derive a set of spinor equations, first in absence of external fields. The wave function consists of a bispinor and a vector-bispinor. It is shown that in absence of external fields the Fradkin model is reduced to the Pauli – Fierz theory. Taking into account the presence of external electromagnetic fields, the Fradkin theory can be turned to the minimal form of the equation for the main bispinor. This equation contains an additional interaction term governed by the electromagnetic tensor Fαβ. Meanwhile, there appears a parameter in the Fradkin equation related to any characteristic of the particle additional to its charge. The theory is generalized for taking into account the pseudo-Riemannian space-time geometry. In this case, the Fradkin equation contains an additional interaction term, governed by the Ricci tensor Rαβ. If the electric charge of the particle is zero, the Fradkin model remains correct and describes a neutral spin 3/2 particle of the Majorana type interacting nonminimally with the geometrical background through the Ricci tensor. To clarify the meaning of the additional physical characteristics underlying the Fradkin model in contrast to the Pauli – Fierz one we have considered nonrelativistic approximation for both theories in presence of an external uniform magnetic field, and found respective energy spectra. The structure of the ninrelativistic Fradkin equation permits to consider such an additional parameter as polarizability.

спин 3/2обобщенные волновые уравненияПаули – ФирцФрадкинэлектромагнитные поляриманово пространство-времянеминимальное взаимодействиенерелятивистское приближениеточные решенияspin 3/2generalized wave equationsPauli – FierzFradkinelectromagnetic fieldsRiemannian spacetimenonminimal interactionexact solutionsReferencesDirac, P. A. M. Relativistic wave equations / P. A. M. Dirac // Proc. R. Soc. London. Ser. A – Math. Phys. Sci. – 1936. – Vol. 155, № 886. – P. 447–459. https://doi.org/10.1098/rspa.1936.0111Dirac P. A. M. Relativistic wave equations. Proceedings of the Royal Society of London. Series A – Mathematical and Physical Sciences, 1936, vol. 155, no. 886, pp. 447–459. https://doi.org/10.1098/rspa.1936.0111Majorana, E. Teoria simmetrica dell’elettrone e dell positrone / E. Majorana // Nuovo Cimento. – 1937. – Vol. 14, № 4. – P. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02961314Majorana E. Teoria simmetrica dell’elettrone e dell positrone. Nuovo Cimento, 1937, vol. 14, no. 4, pp. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02961314Fierz, M. Über die relativistische theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin / M. Fierz // Helv. Phys. Acta. – 1939. – Vol. 12. – P. 3–37.Fierz M. Über die relativistische theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin. Helvetica Physica Acta, 1939, vol. 12, pp. 3–37.Pauli, W. Überrelativistische Feldleichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetishen Feld / W. Pauli // Helv. Phys. Acta. – 1939. – Vol. 12. – P. 297–300.Pauli W. Über relativistische Feldleichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetishen Feld. Helvetica Physica Acta, 1939, vol. 12, pp. 297–300.Rarita, W. On a theory of particles with half-integral spin / W. Rarita, J. S. Schwinger // Phys. Rev. – 1941. – Vol. 60, № 1. – P. 61–64. https://doi.org/10.1103/physrev.60.61Rarita W., Schwinger J. S. On a theory of particles with half-integral spin. Physical Review, 1941, vol. 60, no. 1, pp. 61–64. https://doi.org/10.1103/physrev.60.61Bhabha, H. J. Relativistic wave equations for the elementary particles / H. J. Bhabha // Rev. Mod. Phys. – 1945. – Vol. 17, № 2/3. – P. 200–216. https://doi.org/10.1103/revmodphys.17.200Bhabha H. J. Relativistic wave equations for the elementary particles. Reviews of Modern Physics, 1945, vol. 17, no. 2–3, pp. 200–216. https://doi.org/10.1103/revmodphys.17.200Гельфанд, И. М. Общие релятивистские инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца / И. М. Гельфанд, А. М. Яглом // ЖЭТФ. – 1948. – Т. 18, вып. 8. – С. 703–733.Gelfand I. M., Yaglom A. M. General relativistically invariant equations and infinite-dimensional representations of the Lorentz group. Zhurnal Eksperimentalnoy I Teoreticheskoy Fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1948, vol. 18, no. 8, pp. 703–733 (in Russian).Фрадкин, Е. С. К теории частиц с высшими спинами / Е. С. Фрадкин // ЖЭТФ. – 1950. – Т. 20, вып. 1. – С. 27–38.Fradkin E. S. To the theory of particles with higher spins. Zhurnal Eksperimentalnoy I Teoreticheskoy Fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1950, vol. 20, no. 1, pp. 27–38 (in Russian).Федоров, Ф. И. Обобщенные релятивистские волновые уравнения / Ф. И. Федоров // Докл. Акад. наук СССР. – 1952. – Т. 82, № 1. – С. 37–40.Fedorov F. I. Generalized relativistic wave equations. Doklady Akademii nauk SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 1952, vol. 82, no. 1, pp. 37–40 (in Russian).Файнберг, В. Я. К теории взаимодействия частиц с высшими спинами с электромагнитными и мезонными полями / В. Я. Файнберг // Тр. ФИАН СССР. – 1955. – Т. 6. – С. 269–332.Feinberg V. Ya. On the theory of interaction of particles with higher spins with electromagnetic and meson fields. Trudy Fizicheskogo instituta im. P. N. Lebedeva Akademii nauk SSSR = Proceedings of the Lebedev Physics Institute of the Academy of Sciences of the USSR, 1955, vol. 6, pp. 269–332 (in Russian).Petras, M. A note to Bhabha’s equation for a particle with maximum spin 3/2 / M. Petras // Czech. J. Phys. – 1955. – Vol. 5, № 3. – P. 418–419.Petras M. A note to Bhabha’s equation for a particle with maximum spin 3/2. Czechoslovak Journal of Physics, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 418–419.Богуш, А. А. Уравнение для частицы со спином 3/2, обладающей аномальным магнитным моментом / А. А. Богуш, В. В. Кисель // Изв. вузов. Физика. – 1984. – № 1. – С. 23–27.Bogush A. A., Kisel V. V. Equation for a 3/2 particle with anomalous magnetic moment. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika = Russian Physics Journal, 1984, vol. 1, pp. 23–27 (in Russian).Плетюхов, В. А. К теории частиц со спином 3/2 / В. А. Плетюхов, В. И. Стражев // Изв. вузов. Физика. – 1985. – № 1. – С. 91–95.Pletyukhov V. A., Strazhev V. I. To the theory of particles of spin 3/2. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika = Russian Physics Journal, 1985, vol. 28, no. 1, pp. 91–95 (in Russian).Плетюхов, В. А. О взаимосвязи между различными формулировками теории частиц со спином 3/2 / В. А. Плетюхов, В. И. Стражев // Вес. Акад. навук БССР. Cер. фiз.-мат. навук. – 1985. – № 5. – С. 90–95.Pletyukhov V. A., Strazhev V. I. On the relationship between various formulations of particle theory with spin 3/2. Vestsі Akademіі navuk Belarusі BSSR. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of the BSSR. Physics and Mathematics series, 1985, vol. 5, pp. 90–95 (in Russian).Редьков, В. М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В. М. Редьков. – Минск: Белорус. наука, 2009. – 486 с.Red’kov V. M. Particle fields in the Riemann space and the Lorents group. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2009. 486 p. (in Russian).Плетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. – Минск: Беларус. навука, 2015. – 328 с.Pletyukhov V. A., Red’kov V. M., Strazhev V. I. Relativistic wave equations and internal degrees of freedom. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2015. 328 p. (in Russian).Elementary particles with internal structure in external fields. I. General theory, II. Physical problems. / V. V. Kisel [et al.]. – New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. – 404 p.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Voynova Ya. A., Balan V., Red’kov V. M. Elementary particles with internal structure in external fields. I. General theory, II. Physical problems. New York, Nova Science Publishers Inc., 2018. 404 p.Fradkin equation for a spin 3/2 particle in presence of external electromagnetic and gravitational fields / V. V. Kisel [et al.] // Ukr. J. Phys. – 2019. – Vol. 64, № 12. – P. 1112–1117. https://doi.org/10.15407/ujpe64.12.1112Kisel V. V., Ovsiyuk E. М., Ivashkevich A. V., Red’kov V. M. Fradkin equation for a spin 3/2 particle in presence of external electromagnetic and gravitational fields. Ukraine Journal of Physics, 2019, vol. 64, no. 12, pp. 1112–1117. https://doi.org/10.15407/ujpe64.12.1112.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.