vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-4-391-397vestifm-546Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSДостаточное условие неразрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентовA sufficient condition for the unsolvability of the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with the diagonal averaging of the coefficient matrixДеменчукА. К.DemenchukA. K.

Деменчук Александр Константинович – доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник отдела дифференциальных уравнений

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Aleksandr K. Demenchuk – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Chief Researcher of the Department of Differential Equations

11, Surganova Str., Minsk, 220072

demenchuk@im.bas-net.byИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Science of Belarus202031122020564391–397Copyright © Деменчук А.К., 20202020Деменчук А.К.Demenchuk A.K.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/546

Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот. К настоящему времени она изучена только в весьма частном случае, когда среднее значение почти периодической матрицы коэффициентов системы является нулевым. В случае же ненулевого усреднения вопрос остается открытым. В работе получено достаточное условие, при выполнении которого задача управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов не имеет решения.

We consider a linear control system with an almost periodic matrix of the coefficients. The control has the form of feedback that is linear on the phase variables. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency modulus, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency modulus of the coefficient matrix. The following problem is formulated: choose a control from an admissible set for which the system closed by this control has almost periodic solutions with the frequency spectrum (a set of Fourier exponents) containing a predetermined subset, and the intersection of the frequency modules of solution and the coefficient matrix is trivial. The problem is called as the control problem of the spectrum of irregular oscillations (asynchronous spectrum) with the target set of frequencies. At present, this problem has been studied only in a very special case, when the average value of the almost periodic coefficients matrix of the system is zero. In the case of nontrivial averaging, the question remains open. In the paper, a sufficient condition is obtained under which the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with diagonal averaging of the coefficient matrix has no solution.

почти периодические линейные системы управлениядиагональное среднее значениепоказатели Фурьесильно нерегулярные колебанияасинхронный спектрalmost periodic linear control systemsdiagonal averagingFourier exponentsstrongly irregular oscillationsasynchronous spectrumReferencesКрасовский, Н. Н. Теория управления движением / Н. Н. Красовский. – М.: Наука, 1968. – 476 с.Krasovskii N. N. The Theory of Control of Motion. Мoscow, Nauka Publ., 1968. 476 p. (in Russian).Зубов, В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. – М.: Наука, 1975. – 495 с.Zubov V. I. Lectures on control theory. Мoscow, Nauka Publ., 1975. 495 p. (in Russian).Тонков, Е. Л. Линейная задача оптимального управления периодическими решениями / Е. Л. Тонков // Дифференц. уравнения. – 1976. – Т. 12, № 6. – С. 1007–1011.Tonkov E. L. The linear problem on the optimal control of periodic solutions. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 1976, vol. 12, no 6, pp. 1007–1011 (in Russian).Иванов, А. Г. Оптимальное управление почти периодическими движениями / А. Г. Иванов // Приклад. математика и механика. – 1992. – Т. 56, вып. 5. – С. 837–846.Ivanov A. G. Optimal control of almost periodic motions. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1992, vol. 56, no. 5, pp. 737–746. https://doi.org/10.1016/0021-8928(92)90059-hГайшун, И. В. Введение в теорию нестационарных линейных систем / И. В. Гайшун. – Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 1999. – 408 c.Gaishun I. V. Introduction to the theory of nonstationary linear systems. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 1999. 408 p. (in Russian).Иванов, А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I / А. Г. Иванов // Изв. Ин-та математики и информатики Удм. гос. Ун-та. – 2002. – Вып. 1. – С. 3–100.Ivanov A. G. Elements of the mathematical apparatus of problems of almost periodic optimization. I. Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta = Proceedings of the Institute of Mathematics and Informatics at Udmurt State University, 2002, iss. 1, pp. 3–100 (in Russian).Попова, С. Н. Управление асимптотическими инвариантами систем с почти периодическими коэффициентами / С. Н. Попова // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютер. науки. – 2008. – Вып. 2. – С. 1–2.Popova S. N. Control of asymptotic invariants of systems with almost periodic coefficients. Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki = The Bulletin of Udmurt University. Mathematics. Mechanics. Computer Science, 2008, iss. 2, pp. 1–2 (in Russian).Макаров, Е. К. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем / Е. К. Макаров, С. Н. Попова. – Минск: Бел. навука, 2012. – 407 с.Makarov E. K, Popova S. N. Controllability of asymptotic invariants of nonstationary linear systems. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2012. 407 p.(in Russian).Курцвейль, Я. О периодических и почти периодических решениях систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Я. Курцвейль, О. Вейвода // Чехосл. мат. журн. – 1955. – Т. 5, № 3.– С. 362–370.Kurzweil J., Veivoda O. On periodic and almost periodic solutions of the ordinary differential systems. Chekhoslovatskii matematicheskii zhurnal = Czechoslovak Mathematical Journal, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 362–370 (in Russian).Папалекси, Н. Д. Об одном случае параметрически связанных систем / Н. Д. Папалекси // Изв. Акад. наук СССР. Сер. физ. – 1939. – Т. 1. – С. 373–379.Papaleksi N. D. On one case of parametrically coupled systems. Bulletin of the Academy of Sciences of the USSR. Physical series, 1939, vol. 1, pp. 373–379 (in Russian).Деменчук, А. К. Задача управления спектром сильно нерегулярных периодических колебаний / А. К. Деменчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2009. – Т. 53, № 4. – С. 37–42.Demenchuk A. K. The control problem of the spectrum of strongly irregular periodic oscillations. Doklady Natsional'noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2009, vol. 53, no. 4, pp. 37–42 (in Russian).Деменчук, А. К. Управление асинхронным спектром линейных квазипериодических систем с тривиальным усреднением матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 2.– С. 281–283.Demenchuk A. K. Control of the asynchronous spectrum of linear quasiperiodic systems with trivial averaging of the coefficient matrix. Differentsial'nye uravneniya = Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 2, pp. 281–283 (in Russian).Левитан, Б. М. Почти периодические функции / Б. М. Левитан. – М.: Гостехиздат, 1953. – 396 с.Levitan B. M. Almost Periodic Functions. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1953. 396 p. (in Russian).Деменчук, А. Асинхронные колебания в дифференциальных системах. Условия существования и управление / А. Деменчук. – Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2012. – 186 с.Demenchuk A. Asynchronous Oscillations in Differential Systems. Conditions of Existence and Control. Saarbrucken, Lambert Academic Publishing, 2012. 186 p. (in Russian).Деменчук, А. К. Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов / А. К. Деменчук // Вес. Нац. Акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – C. 176–181. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181Demenchuk A. K. Necessary condition for solvability of the control problem of an asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of the coefficient matrix. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 176–181 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-176-181

The authors declare that there are no conflicts of interest present.