vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2020-56-4-419-435vestifm-549Research ArticleФИЗИКАPHYSICSПаулиевское приближение для векторной частицы с аномальным магнитным моментом во внешнем кулоновском полеPauli approximation for a vector particle with anomalous magnetic moment in an external Coulomb fieldВойноваЯ. А.VoynovaYa. A.

Войнова Янина Александровна – кандидат физико-математических наук, преподаватель, Минское суворовское военное училище

ул. М. Богдановича, 29, 220029, г. Минск

Yanina A. Voynova – Ph. D. (Physics and Mathematics), Teacher

29, M. Bogdanovich Str., 220029, Minsk

voinyuschka@mail.ruКрыловаН. Г.KrylovaN. G.

Крылова Нина Георгиевна – научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории диэлектрической спектроскопии гетерогенных систем физического факультета

ул. Бобруйская, 5, 220030, г. Минск

Nina G. Krylova – Researcher of the Laboratory of Dielectric Spectroscopy of Heterogeneous Systems, Physics Faculty

5, Bobruiskaya Str., 220030, Minsk

krylovang@bsu.byОвсиюкЕ. М.ОvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна – кандидат физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической физики и прикладной информатики

ул. Студенческая, 28, 247760, г. Мозырь, Гомельская обл.

Еlena М. Оvsiyuk – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor, Head of the Department of Theoretical Physics and Applied Informatics

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr

e.ovsiyuk@mail.ruИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиMinsk Suvorov Military SchoolБелорусский государственный университет; Белорусский государственный аграрный технический университетBelarusian State UniversityМозырский государственный педагогический университет им. И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. Shamyakin202031122020564419–435Copyright © Войнова Я.А., Крылова Н.Г., Овсиюк Е.М., 20202020Войнова Я.А., Крылова Н.Г., Овсиюк Е.М.Voynova Y.A., Krylova N.G., Оvsiyuk E.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/549

Исследуется частица со спином 1 и аномальным магнитным моментом во внешнем кулоновском поле. Исходной является релятивистская тензорная система уравнений типа Прока в декартовой системе координат. В этих уравнениях присутствует параметр Γ, связанный с дополнительной характеристикой частицы. В случае внешнего магнитного поля он интерпретируется как аномальный магнитный момент. Дополнительные члены взаимодействия появляются также и при наличии электрического поля, причем в этом случае есть члены первого и второго порядков по параметру Γ. Детально рассматривается случай внешнего кулоновского поля. Проведена процедура нерелятивистского приближения, получено уравнение паулиевского типа. В нерелятивистском уравнении проведено разделение переменных с использованием аппарата шаровых векторов. Получено одно отдельное радиальное уравнение второго порядка, в котором дополнительные члены взаимодействия отсутствуют. Кроме того, выведена система двух связанных уравнений второго порядка, в них присутствуют линейные и квадратичные по параметру Γ дополнительные члены взаимодействия. Ранее был развит другой подход к анализу векторной частицы с аномальным магнитным моментом, основанный на использовании тетрадного формализма и разделении переменных в уравнении Даффина – Кеммера с применением функций Вигнера, после чего процедура нерелятивистского приближения была выполнена непосредственно в радиальной системе уравнений. Были построены в явном виде формальные решения Фробениуса возникающего уравнения 4-го порядка, однако физически интерпретируемых спектров получить не удалось. Показано, что полученные разными методами нерелятивистские радиальные уравнения совпадают с точностью до простого линейного преобразования над двумя функциями. В настоящей работе получено более простое уравнение 4-го порядка, при этом построение решений Фробениуса технически проще, но найти физически интерпретируемые спектры также не удается.

Herein, a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in an external Coulomb field is studied. We start with the relativistic tensor system of the Proca type in Cartesian coordinates. In these equations the Γ parameter is present related to an additional characteristic of the particle. In the case of an external magnetic field, it is interpreted as an anomalous magnetic moment. In the presence of an external electric field, additional interaction terms are presented as well; moreover, the terms of the first and second orders in parameter Γ appear. The case of an external Coulomb field is considered in detail. In the nonrelativistic approximation a Pauli type equation is obtained. In the nonrelativistic equation the separation of the variables with the use of spherical vectors is realized. One separate 2-nd order differential equation is found, in which additional interaction terms are missing. Besides, we derive systems of two coupled 2-nd order equations wherein linear and quadratic in parameter Γ interaction terms are presented. Previously, another approach was developed for analyzing the vector particle with anomalous magnetic moment. It was based on the use of tetrad formalism and separation of the variables in the Duffin – Kemmer equation with the help of the Wigner function. The nonrelativistic approximation was performed directly in the system of radial equations. Besides, previously formal Frobenius type solutions for an arising 4-th order differential equation were constructed; however, physically interpretable energy spectra were not found. We have proved that the radial equations derived by different methods are the same up to a simple liner transformation over two radial functions. In this paper, we have obtained a simpler 4-th order equation, the construction of Frobenius solutions becomes technically easier, but physical energy spectra are not found either.

частица со спином 1аномальный магнитный моменткулоновское полерешения Фробениусаквантование энергииspin 1 particleanomalous magnetic momentCoulomb fieldFrobenius solutionsenergy quantizationReferencesПлетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. – Минск: Белорус. наука, 2015. – 328 с.Pletyukhov V. A., Red'kov V. M., Strazhev V. I. Relativistic wave equations and internal degrees of freedom. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2015. 328 p. (in Russian).Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol I. General Theory / V. V. Kisel [et al.]. − New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. − 404 pages.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Balan V., Veko O. V., Red’kov V. M. Elementary particles with internal structure in external field. Vol. I. General formalism. New York, Nova Science Publishers Inc., 2018. 404 p.Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol II. Physical Problems / V. V. Kisel [et al.]. − New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. − 402 pages.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Balan V., Veko O. V., Red’kov V. M. Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. Vol II. Physical Problems. New York, Nova Science Publishers Inc., 2018. 402 p.Corben, H. C. The electromagnetic properties of mesotrons / H. C. Corben, J. Schwinger // Phys. Rev. – 1940. – Vol. 58, № 11. – P. 953–968. https://doi.org/10.1103/PhysRev.58.953Corben H. C., Schwinger J. The electromagnetic properties of mesotrons. Physical Review, 1940, vol. 58, no. 11, pp. 953–968. https://doi.org/10.1103/PhysRev.58.953Symonds, N. Vector meson in a homogeneous magnetic field / N. Symonds // Philos. Mag. – 1949. – Vol. 40. – P. 636–644.Symonds N. Vector meson in a homogeneous magnetic field. Philosophical Magazine, 1949, vol. 40, pp. 636–644.Боргардт, A. A. Квантовая механика заряженных векторных бозонов с аномальным магнитным моментом во внешних электромагнитных полях / A. A. Боргардт, Д. Я. Карпенко // УФЖ. – 1970. – Т. 15. – С. 1091.Borgardt A. A., Karpenko D. Ya. Quantum mechanics of charged vector bosons with anomalous magnetic moment in external electromagnetic fields. Ukraine Journal of Physics, 1970, vol. 15, p. 1091 (in Russian).Tsai, W. Motion of spin-1 particles in homogeneous magnetic field, multispinor formalism / W. Tsai // Phys. Rev. D. – 1971. – Vol. 4. № 12. – P. 3652–3657. https://doi.org/10.1103/physrevd.4.3652Tsai W. Motion of spin-1 particles in homogeneous magnetic field, multispinor formalism. Physical Review D, 1971, vol. 4, no. 12, pp. 3652–3657. https://doi.org/10.1103/PhysRevD.4.3652.Shamaly, A. Unified theories for massive spin 1 fields / A. Shamaly, A. Z. Capri // Can. J. Phys. – 1973. – Vol. 51, № 14. – P. 1467–1470. https://doi.org/10.1139/p73-195Shamaly A., Capri A. Z. Unified theories for massive spin 1 fields. Canadian Journal of Physics, 1973, vol. 51, no. 14, pp. 1467–1470. https://doi.org/10.1139/p73-195Власов, П. А. Электромагнитные моменты частиц со спином 1 и эквивалентность некоторого класса волновых уравнений / П. А. Власов // УФЖ. – 1977. – Т. 22. – С. 951.Vlasov P. A. Electromagnetic moments of the particles of spin 1 and the equivalence of a class of wave equations. Ukraine Journal of Physics, 1977, vol. 22, p. 951 (in Russian).Власов, П. А. Заряженная частица со спином в однородном магнитном поле / П. А. Власов // УФЖ. – 1985. – Т. 30. – С. 1605.Vlasov P. A. Charged particle with spin in a uniform magnetic field. Ukraine Journal of Physics, 1985, vol. 30, p. 1605 (in Russian).Савченко, О. Я. Векторный мезон в электромагнитном поле / О. Я. Савченко // ТМФ. – 1993. – Т. 95. – С. 51–57.Savchenko O. Ya. Vector meson in the electromagnetic field. Theoretical and Mathematical Physics, 1993, vol. 95, no. 1, pp. 399–403. https://doi.org/10.1007/bf01015893Савченко, О. Я. Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта в циркулярно поляризованной волне / О. Я. Савченко // ТМФ. – 1994. – Т. 101. – С. 200–210.Savchenko O. Ya. Solution of the Kemmer equation and the Breit equation in a circularly polarized wave. Theoretical and Mathematical Physics, 1994, vol. 101, no. 2, pp. 1296–1302. https://doi.org/10.1007/bf01018277Савченко, О. Я. Векторный мезон в циркулярно поляризованной волне и постоянном магнитном поле / О. Я. Савченко // ТМФ. – 1995. – Т. 104. – С. 271–280.Savchenko O. Ya. Vector meson in a circularly polarized wave and constant magnetic field. Theoretical and Mathematical Physics, 1995, vol. 104, no. 2, pp. 980–988. https://doi.org/10.1007/bf02065978Квантовая механика частицы со спином 1 и аномальным магнитным моментом в магнитном поле / В. В. Кисель [и др.] // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2016. – Т. 60, № 5. – С. 83–90.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Voynova Ya. A., Veko O. V., Red’kov V. M. Quantum mechanics of spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the magnetic field. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2016, vol. 60, no. 5, pp. 83–90 (in Russian).Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / E. M. Ovsiyuk [et al.] // Quaternions: Theory and Applications. Editor: Sandra Griffin. – New York: Nova Science Publishers Inc., 2017. – P. 47–84.Ovsiyuk E. M., Voynova Ya. A., Kisel V. V., Balan V., Red’kov V. M. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field. Quaternions: Theory and Applications. New York, Nova Science Publishers Inc., 2017, pp. 47–84.Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field / E. M. Ovsiyuk [et al.] // Quaternions: Theory and Applications. Editor: Sandra Griffin. – New York: Nova Science Publishers Inc., 2017. – P. 11–46.Ovsiyuk E. M., Voynova Ya. A., Kisel V. V., Balan V., Red’kov V. M. Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field. Quaternions: Theory and Applications. New York, Nova Science Publishers Inc., 2017, pp. 11–46.Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Magnetic Field / V. Kisel [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2017. – Vol. 20, № 1. – P. 21–39.Kisel V., Voynova Ya., Ovsiyuk E., Balan V., Red’kov V. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Magnetic Field. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2017, vol. 20, no. 1, pp. 21–39.Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field / E. M. Ovsiyuk [et al.] // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2018. – Vol. 21, № 1. – P. 1–20.Ovsiyuk E., Voynova Ya., Kisel V., Balan V., Red’kov V. Spin 1 Particle with Anomalous Magnetic Moment in the External Uniform Electric Field. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2018, vol. 21, no. 1, pp. 1–20.Kisel, V. V. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field / V. V. Kisel, E. M. Ovsiuyk, V. M. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2010. – Vol. 13, № 4. – P. 352–367.Kisel V. V., Ovsiuyk E. M., Red’kov V. M. On the wave functions and energy spectrum for a spin 1 particle in external Coulomb field. Nonlinear Phenomena in Complex Systems, 2010, vol. 13, no. 4, pp. 352–367.On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field / E. M. Ovsiyuk [et al.] // Balkan Society of Geometers Proceedings. – 2018. – Vol. 25. – P. 59–78.Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Voynova Ya. A., Koral’kov A. D., Kisel V. V., Red’kov V. M. On describing bound states for a spin 1 particle in the external Coulomb field. Balkan Society of Geometers Proceedings, 2018, vol. 25, pp. 59–78.Войнова, Я. А. Частица со спином 1 и аномальным магнитным моментом в кулоновском поле, нерелятивистская теория / Я. А. Войнова, Н. Г. Крылова, Е. М. Овсиюк // Изв. Коми науч. центра УрО РАН. – 2020. – № 5 (45).Voynova Ya. A., Krylova N. G., Ovsiyuk E. M. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the Coulomb field, nonrelativistic theory. Izvestiya Komi nauchnogo tsentra UrO RAN = Proceedings of the Komi Science Centre of the Ural Division of the Russian Academy of Sciences, 2020, vol. 45, no. 5 (in Russian).Ronveaux, A. Heun’s Differential Equations / A. Ronveaux. – Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.Ronveaux A. Heun’s Differential Equations. Oxford, Oxford Univ. Press, 1995.Slavyanov, S. Yu. Special functions. A unified theory based on singularities / S. Yu. Slavyanov, W. Lay. – Oxford: Oxford Univ. Press, 2000.Slavyanov S. Yu., Lay W. Special functions. A unified theory based on singularities. Oxford, Oxford Univ. Press, 2000.Редьков, В. М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В. М. Редьков. – Минск: Белорус. наука, 2009. – 486 с.Red’kov V. M. Particle Fields in the Riemann Space and the Lorents Group. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2009. 486 p. (in Russian).Варшалович, Д. А. Квантовая теория углового момента / Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. Л. Херсонский. – М.; Л.: Наука, 1975. – 438 с.Varshalovich D. A., Moskalev A. N., Khersonsky V. L. Quantum Theory of Angular Momentum. Moscow, Leningrad, Nauka Publ., 1975, 438 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.