vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-1-14-22vestifm-564Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПриближенное вычисление функциональных интегралов, порожденных уравнением Дирака с псевдоспиновой симметриейApproximate evaluation of the functional integrals generated by the Dirac equation with pseudospin symmetryАйрянЭ. А.AyryanЕ. A.

Айрян Эдик Арташевич – кандидат физико-математических наук, заведующий сектором

ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, г. Дубна

ул. Университетская, 19, 141980, г. Дубна

Edik A. Ayryan – Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of Sector

ayrjan@jinr.ruГнатичМ.HnaticМ.

Гнатич Михал – доктор физико-математических наук наук, профессор, заместитель директора

ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, г. Дубна

ул. Ватсонова, 47, 040 01, г. Кошице

Парк Ангелинум, 9, 040 01, г. Кошице

Michal Hnatic – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Deputy Director

6, Joliot-Curie Str., Dubna

47, Watsonova Str., Košice

9, Park Angelinum, Košice

hnatic@saske.skМалютинВ. Б.MalyutinV. В.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико- математических наук, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Victor B. Malyutin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Principal Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

Лаборатория информационных технологий, Объединенный институт ядерных исследований; Государственный университет «Дубна»РоссияLaboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research; State University «Dubna»Russian FederationЛаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований; Институт экспериментальной физики Словацкой академии наук; Факультет естествознания, Университет Павла Йозефа ШафарикаРоссияBogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research; Institute of Experimental Physics, Slovak academy of Sciences; Faculty of Sciences, P. J. Šafárik University in KošiceRussian FederationИнститут математики Национальной академии наук БеларусиБеларусьInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusBelarus2021300320215711422Copyright © Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б., 20212021Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б.Ayryan Е.A., Hnatic М., Malyutin V.В.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/564

 Рассматриваются матричнозначные функциональные интегралы, порожденные уравнением Дирака с релятивистским гамильтонианом. Гамильтониан Дирака содержит скалярный и векторный потенциалы. Сумма скалярного и векторного потенциалов равна нулю, т. е. случай псевдоспиновой симметрии исследуется. В этом случае строится уравнение шредингеровского типа на собственные значения и собственные функции релятивистского гамильтониана, порождающего функциональный интеграл. Собственные значения и собственные функции оператора шредингеровского типа находятся с помощью метода последовательностей Штурма и метода обратной итерации. Предлагается метод для вычисления матричнозначных функциональных интегралов специального вида, который основан на соотношении между функциональным интегралом и ядром оператора эволюции с релятивистским гамильтонианом и на разложении ядра оператора эволюции по найденным собственным функциям релятивистского гамильтониана.

 In this paper, the matrix-valued functional integrals generated by the Dirac equation with relativistic Hamiltonian are considered. The Dirac Hamiltonian contains scalar and vector potentials. The sum of the scalar and vector potentials is equal to zero, i.e., the case of pseudospin symmetry is investigated. In this case, a Schrödinger-type equation for the eigenvalues and eigenfunctions of the relativistic Hamiltonian generating the functional integral is constructed. The eigenvalues and eigenfunctions of the Schrödinger-type operator are found using the Sturm sequence method and the reverse iteration method. A method for the evaluation of matrix-valued functional integrals is proposed. This method is based on the relation between the functional integral and the kernel of the evolution operator with the relativistic Hamiltonian and the expansion of the kernel of the evolution operator in terms of the found eigenfunctions of the relativistic Hamiltonian. 

функциональные интегралыуравнение Диракарелятивистский гамильтонианпсевдоспиновая симметриясобственные функции гамильтонианапоследовательность Штурмаfunctional integralsDirac equationrelativistic Hamiltonianpseudospin symmetryeigenfunctions of HamiltonianSturm sequencesReferencesGlimm, J. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View / J. Glimm, A. Jaffe. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag 1981. – 417 p.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. Berlin, Heidelberg, New York, SpringerVerlag, 1981. 417 p.Kleinert, H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets / H. Kleinert. – Singapore: World Scientific Publishing, 2004. – 1504 p. https://doi.org/10.1142/5057Kleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets. Singapore, World Scientific Publishing, 2004. 1504 p. https://doi.org/10.1142/5057Feynman, R. P. Quantum Mechanics and Path Integrals. / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – New York: McGraw-Hill, 1965. – 382 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 382 p.Egorov, A. D. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pabl., 1993. – 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Pabl., 1993. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 p. (in Russian).Berkdemir, C. Pseudospin symmetry solution of the Dirac equation with an angle-dependent potential / C. Berkdemir, R. Sever // J. Phys. A: Mathematical and Theoretical. – Vol. 41, № 4. – P. 045302.https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/4/045302Berkdemir C., Sever R. Pseudospin symmetry solution of the Dirac equation with an angle-dependent potential. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2008, vol. 41, no. 4, pp. 045302. https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/4/045302Малютин, В. Б. Вычисление функциональных интегралов с помощью последовательностей Штурма / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. Навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2016. – № 4. – C. 32–37.Malyutin V. B. Evaluation of functional integrals using Sturm sequences. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 4, pp. 32–37 (in Russian).Малютин, В. Б. О вычислении функциональных интегралов, порожденных некоторыми нерелятивистскими гамильтонианами / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. Навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 1. – С. 44–49.Malyutin V. B. Evaluation of functional integrals generated by some nonrelativistic Hamiltonians. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no.1, pp. 44–49 (in Russian).Малютин, В. Б. Приближенное вычисление функциональных интегралов, содержащих центробежный потенциал / В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. Наву кБеларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 2. – С. 152–157. https:// doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-2-152-157Malyutin V. B. Approximate evaluation of functional integrals with centrifugal potential. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 2, pp. 152–157 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430- 2019-55-2-152-157Айрян, Э. А. Приближенное вычисление функциональных интегралов, порожденных релятивистским гамильтонианом / Э. А. Айрян, М. Гнатич, В. Б. Малютин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер.фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 72–83. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-72-83Ayryan E. A., Hnatic M., Malyutin V. B. Approximate evaluation of functional integrals generated by the relativistic Hamiltonian. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі.S eryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 72–83 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-72-83Ichinose, T. Propagation of a Dirac particle. A path integral approach / T. Ichinose, H. Tamura // J. Math. Phys. – 1984. – Vol. 25, № 6. – P. 1810–1819.https://doi.org/10.1063/1.526360Ichinose T., Tamura H. Propagation of a Dirac particle. A path integral approach. Journal of Mathematics and Physics, 1984, vol. 25, no. 6, pp. 1810–1819. https://doi.org/10.1063/1.526360Ichinose, T. The zitterbewegung of a Dirac particle in two-dimensional space-time / T. Ichinose, H. Tamura // J. Math. Phys. – 1988. – Vol. 29, № 1. – P. 103–109. https://doi.org/10.1063/1.528162Ichinose T., Tamura H. The zitterbewegung of a Dirac particle in two-dimensional space-time. Journal of Mathematics and Physics, 1988, vol. 29, no. 1, pp. 103–109. https://doi.org/10.1063/1.528162Wilkinson, J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem / J. H. Wilkinson. – Oxford, 1965. – 662 p.Wilkinson J. H. The Algebraic Eigenvalue Problem. Oxford, 1965. 662 p

The authors declare that there are no conflicts of interest present.