vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-2-135-147vestifm-580Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО вещественных алгебраических числах, в которых производная их минимального многочлена малаOn real algebraic numbers in which the derivative of their minimal polynomial is smallКоледаД. В.KoledaD. V.

Коледа Денис Владимирович – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела теории чисел

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

Denis V. Koleda – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior Researcher of the Department of Number Theory

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

koledad@rambler.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202115072021572135147Copyright © Коледа Д.В., 20212021Коледа Д.В.Koleda D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/580

Алгебраические числа – это корни многочленов с целыми коэффициентами. Каждое алгебраическое число α характеризуется своим минимальным многочленом Pα – многочленом наименьшей положительной степени с целыми взаимно простыми коэффициентами, для которого α является корнем. Степень этого многочлена называется степенью числа α, а максимум модулей коэффициентов – высотой числа α. В работе рассматривается распределение алгебраических чисел α, степень которых фиксирована, высота ограничена растущим параметром Q, а минимальный многочлен Pα таков, что абсолютное значение его производной P′α (α) ограничено заданной величиной X. Показано, что когда ограничение X на производную лежит в определенном диапазоне, при Q → +∞ такие алгебраические числа распределяются равномерно в отрезке [-1+√2/3.1-√2/3].

Algebraic numbers are the roots of integer polynomials. Each algebraic number α is characterized by its minimal polynomial Pα that is a polynomial of minimal positive degree with integer coprime coefficients, α being its root. The degree of α is the degree of this polynomial, and the height of α is the maximum of the absolute values of the coefficients of this polynomial. In this paper we consider the distribution of algebraic numbers α whose degree is fixed and height bounded by a growing parameter Q, and the minimal polynomial Pα is such that the absolute value of its derivative P'α (α) is bounded by a given parameter X. We show that if this bounding parameter X is from a certain range, then as Q → +∞ these algebraic numbers are distributed uniformly in the segment [-1+√2/3.1-√2/3]

алгебраические числараспределение алгебраических чиселцелочисленные многочленымногочлены с малой производной в корнеalgebraic numbersdistribution of algebraic numbersinteger polynomialspolynomials with small derivative at a rootReferencesBaker, R. C. Sprindzuk’s theorem and Hausdorff dimension / R. C. Baker // Mathematika. – 1976. – Vol. 23, № 2. – P. 184–197. https://doi.org/10.1112/s0025579300008780Baker R. C. Sprindzuk’s theorem and Hausdorff dimension. Mathematika, 1976, vol. 23, no. 2, pp. 184–197. https://doi.org/10.1112/s0025579300008780Берник, В. И. О числе целочисленных многочленов заданной степени и ограниченной высоты с малой производной в корне многочлена / В. И. Берник, Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Тр. Ин-та математики – 2014. – Т. 22, № 2. – С. 3–8.Bernik V. I., Vasiliev D. V., Kudin A. S. On the number of integral polynomials of given degree and bounded height with small value of derivative at root of polynomial. Trudy Instituta matematiki [Proceedings of the Institute of Mathematics], 2014, vol. 22, no. 2, pp. 3–8 (in Russian).Кудин, А. С. Об оценке снизу количества целочисленных многочленов заданной степени с малой производной в корне / А. С. Кудин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2014. – № 4. – С. 112–115.Kudin A. Lower bound of the number of integral polynomials of a given degree with a small value of the derivative at the root. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2014, no. 4, pp. 112–115 (in Russian).Кудин, А. С. Об оценке сверху количества многочленов с ограниченной производной в корне / А. С. Кудин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 6. – С. 18–23.Kudin A. S. On an upper bound on the number of polynomials with a bounded derivative at the root. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2015, vol. 59, no. 6, pp. 18–23 (in Russian).Kudin, A. Counting real algebraic numbers with bounded derivative of minimal polynomial / A. Kudin, D. Vasilyev // Int. J. Number Theory. – 2019. – Vol. 15, № 10. – P. 2223–2239. https://doi.org/10.1142/s1793042119501227Kudin A., Vasilyev D. Counting real algebraic numbers with bounded derivative of minimal polynomial. International Journal of Number Theory, 2019, vol. 15, no. 10, pp. 2223–2239. https://doi.org/10.1142/s1793042119501227Васильев, Д. В. Об оценках сверху числа минимальных полиномов с малой производной в корне / Д. В. Васильев, А. С. Кудин // Чебышев. сб. – 2019. – Т. 20, № 2. – С. 47–54. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-47-54Vasil’ev D. V., Kudin A. S. On upper bounds for the number of minimal polynomials with a small derivative at a root. Chebyshevskii sbornik, 2019, vol. 20, no. 2, pp. 47–54 (in Russian). https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-2-47-54Koleda, D. On the density function of the distribution of real algebraic numbers / D. Koleda // J. Théor. Nombres Bordeaux. – 2017. – Vol. 29, № 1. – P. 179–200. https://doi.org/10.5802/jtnb.975Koleda D. On the density function of the distribution of real algebraic numbers. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 2017, vol. 29, no. 1, pp. 179–200. https://doi.org/10.5802/jtnb.975van der Waerden, B. L. Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt / B. L. van der Waerden // Monatsh. Math. Phys. – 1936. – Vol. 43, № 1. – P. 133–147. https://doi.org/10.1007/bf01707594van der Waerden B. L. Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt. Monatshefte für Mathematik und Physik, 1936, vol. 43, no. 1, pp. 133–147 (in German). https://doi.org/10.1007/bf01707594Kuba, G. On the distribution of reducible polynomials / G. Kuba // Math. Slovaca. – 2009. – Vol. 59, № 3. – P. 349–356. https://doi.org/10.2478/s12175-009-0131-6Kuba G. On the distribution of reducible polynomials. Mathematica Slovaca, 2009, vol. 59, no. 3, pp. 349–356. https://doi.org/10.2478/s12175-009-0131-6Dubickas, A. On the number of reducible polynomials of bounded naive height / A. Dubickas // Manuscripta Math. – 2014. – Vol. 144, № 3/4. – P. 439–456. https://doi.org/10.1007/s00229-014-0657-yDubickas A. On the number of reducible polynomials of bounded naive height. Manuscripta Mathematica, 2014, vol. 144, no. 3–4, pp. 439–456. https://doi.org/10.1007/s00229-014-0657-yDavenport, H. On a principle of Lipschitz / H. Davenport // J. London Math. Soc. – 1951. – Vol. s1-26, № 3. – P. 179–Davenport H. On a principle of Lipschitz. Journal of the London Mathematical Society, 1951, vol. s1-26, no. 3, pp. 179–183. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-26.3.179 (Davenport H. Corrigendum: On a principle of Lipschitz. Journal of the London Mathematical Society, 1964, vol. s1-39, no. 1, p. 580. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-39.1.580-t)https://doi.org/10.1112/jlms/s1-26.3.179 (Davenport, H. Corrigendum: «On a principle of Lipschitz» / H. Davenport // J. London Math. Soc. – 1964. – Vol. s1-39.№ 1. – P. 580. https://doi.org/10.1112/jlms/s1-39.1.580-t)Koleda D. V. On the distribution of real algebraic numbers of equal height. Dal’nevostochnyi matematicheskii zhurnal = Far Eastern Mathematical Journal, 2018, no. 1, pp. 56–70 (in Russian).Коледа, Д. В. О распределении вещественных алгебраических чисел равной высоты / Д. В. Коледа // Дальневост. мат. журн. – 2018. – Вып. 1. – С. 56–70.Коледа, Д. В. О распределении вещественных алгебраических чисел равной высоты / Д. В. Коледа // Дальневост. мат. журн. – 2018. – Вып. 1. – С. 56–70.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.