vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-2-148-155vestifm-581Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРешения задач для волнового уравнения с условиями на характеристикахSolutions of problems for the wave equation with conditions on the characteristicsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик Национальной академии наук Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Республика Беларусь

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Viktor I. Korzyuk – Academician of the National Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk, Republic of Belarus

korzyuk@bsu.byКовнацкаяО. А.KovnatskayaO. A.

Ольга Анатольевна Ковнацкая – кандидат физико-математических наук

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Республика Беларусь

Olga A. Kovnatskaya – Ph. D. (Physics and Mathematics)

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk, Republic of Belarus

Kovnatskaya@bsu.byБелорусский государственный университет; Институт математики Национальной академии наук БеларусиBelarusian State University; Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202115072021572148155Copyright © Корзюк В.И., Ковнацкая О.А., 20212021Корзюк В.И., Ковнацкая О.А.Korzyuk V.I., Kovnatskaya O.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/581

Получено классическое решение одномерного волнового уравнения с условиями на характеристиках для разных областей, в которых рассмотрены эти задачи. Аналитическое решение строится методом характеристик. Кроме этого, доказана и единственность полученного решения. Доказаны необходимость и достаточность условий согласования для заданных функций задачи, при выполнении которых классическое решение существует при наличии гладкости заданных функций.

In this paper we obtain a classical solution of the one-dimensional wave equation with conditions on the characteristics for different areas this problem is considered in. The analytical solution is constructed by the method of characteristics. In addition, the uniqueness of the obtained solution is proved. The necessity and sufficiency of the matching conditions for given functions of the problem are proved. When these conditions are satisfied and the given functions are smooth enough, the classical solution of the considered problem exists.

дифференциальные уравнения с частными производнымигиперболические уравнениязадача Гурсаусловия согласованияклассическое решениеметод характеристикpartial differential equationshyperbolic equationsGoursat problemagreement conditionclassical solutionmethod of characteristicsReferencesКорзюк, В. И. Задача Гурса для уравнения четвертого порядка с биволновым оператором / В. И. Корзюк, Е. С. Чеб // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 10. – С. 1435–1440.Korzyuk V. I., Cheb E. S. Goursat problem for a fourth-order equation with the biwave operator. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 10, pp. 1467–1472. https://doi.org/10.1134/s0012266109100097Андреев, А. А. Задача типа Гурса для гиперболического уравнения и для одной системы гиперболических уравнений третьего порядка / А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер.: физ.-мат. науки. – 2019. – Т. 23, № 1. – С. 186–194.Andreev A. A., Yakovleva J. O. The Goursat-type problem for a hyperbolic equationand system of third order hyperbolic equations. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: fiziko-matematicheskie nauki = Journal of Samara State Technical University, Series Physical and Mathematical Sciences, 2019, vol. 23, no 1, pp. 186–194 (in Russian). https://doi.org/10.14498/vsgtu1666.Карачик, В. В. Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка / В. В. Карачик // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. – 2015. – Т. 7, № 2. – С. 31–43.Karachik V. V. Cauchy and Goursat problems for differential equation of third order. Vestnik Yuzhno-Ural’skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya Matematika. Mekhanika. Fizika = Bulletin of the South Ural State University. Series Mathematics. Mechanics. Physics, 2015, vol. 7, no. 2, pp. 31–43 (in Russian).Аттаев, А. Х. Характеристическая задача для нагруженного вдоль одной из своих характеристик гиперболического уравнения второго порядка / А. Х. Аттаев // Вестн. КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. – 2018. – № 3. – С. 14–18. https://doi.org/10.18454/2079-6641-2018-23-3-14-18Attaev A. Kh. The characteristic problem for the second-order hyperbolic equation loaded along one of its characteristics. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskie nauki = Bulletin of KRAESC. Physical & Mathematical Sciences, 2018, no. 3, pp. 14–18 (in Russian). https://doi.org/10.18454/2079-6641-2018-23-3-14-18Асанова, А. Т. Нелокальная задача с интегральными условиями для системы гиперболических уравнений в характеристическом прямоугольнике / А. Т. Асанова // Изв. вузов. Математика. – 2017. – № 5. – С. 11–25.Assanova A. T. Nonlocal problem with integral conditions for a system of hyperbolic equations in characteristic rectangle. Russian Mathematics, 2017, vol. 61, no. 5, pp. 7–20. https://doi.org/10.3103%2FS1066369X17050024Кечина, О. М. О разрешимости нелокальной задачи для уравнения третьего порядка / О. М. Кечина // Вестн. Самар. ун-та. Естеств.-науч. сер. – 2017. – Т. 23, № 1. – С. 15–20.Ketchina O. M. On solvability of nonlocal problem for third-order equation. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvenno-nauchnaya seriya = Samara University Bulletin. Natural Science Series, 2017, vol. 23, no. 1, pp. 15–20 (in Russian).Корзюк, В. И. Метод энергетических неравенств и операторов осреднения. Граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными / В. И. Корзюк. – Минск: Изд. центр БГУ, 2013. – 460 с.Korzyuk V. I. Method of energy inequalities and averaging operators. Boundary value problems for partial differential equations. Minsk, BSU Publ. Center, 2013, 460 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – М.: Ленанд, 2021. – 480 с.Korzyuk V. I. Equations of mathematical physics. Moscow, Lenand Publ., 2021, 480 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения третьего порядка с волновым оператором / В. И. Корзюк, А. А. Мандрик // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 4. – С. 492–504.Korzyuk V. I., Mandrik A. A. Classical solution of the first mixed problem for a third-order hyperbolic equation with the wave operator. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 4, pp. 489–201. https://doi.org/10.1134/s0012266114040077Корзюк, В. И. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного биволнового уравнения / В. И. Корзюк, Нгуен Ван Винь // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2016. – № 3. – С. 16–29.Korzyuk V. I. Nguyen Van Vinh. Classical solution of a problem with an integral condition for the one-dimensional biwave equation. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 3, pp. 16–29 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 7–21. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein–Gordon–Fock type equation with characteristic oblique derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіkamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 7–21 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Корзюк, В. И. Классическое решение в криволинейной полуполосе первой смешанной задачи для волнового уравнения / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, С. Н. Наумовец // Дифференц. уравнения. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 99–109.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Naumavets S. N. Classical solution of the first mixed problem for the wave equation in a curvilinear half-strip. Differential equations, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 98–108. https://doi.org/10.1134/s0012266120010115

The authors declare that there are no conflicts of interest present.