vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-2-156-175vestifm-582Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSСуммы Абеля – Пуассона сопряженных рядов Фурье – Чебышева и их аппроксимационные свойстваThe Abel – Poisson means of conjugate Fourier – Chebyshev series and their approximation propertieshttps://orcid.org/0000-0001-7835-0500ПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Поцейко Павел Геннадьевич – кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры фундаментальной и прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь

Pavel G. Patseika – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior Lecturer of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno, Republic of Bela rus

pahamatby@gmail.comРовбаЕ. А.RoubaY. A.

Ровба Евгений Алексеевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой фундаментальнойи прикладной математики

ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Республика Беларусь

Yauheni A. Rouba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno, Republic of Bela rus

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет им. Я. КупалыYanka Kupala State University of Grodno202115072021572156175Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20212021Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Patseika P.G., Rouba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/582

Изучаются аппроксимационные свойства сумм Абеля – Пуассона рациональных сопряженных рядов Фурье по системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова, а также исследуются приближения данным методом сопряженных на отрезке [–1,1] функций с плотностью | x |s , s ∈(1, 2). Приведены результаты, относящиесяк исследованиям полиномиальных и рациональных приближений сопряженных функций. Проводится построение сопряженного ряда Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова. Устанавливается интегральное представление приближений сопряженных на отрезке [–1,1] функций изучаемым методом, найдены асимптотически точные верхние грани уклонений сопряженных сумм Абеля – Пуассона на классах H(γ)[-1,1], γ ∈ (0,1], сопряженных функций fˆ, когда функция f удовлетворяет на отрезке [–1,1] условию Липшица порядка γ, γ ∈ (0,1], а также изучены приближения сопряженными суммами Абеля – Пуассона сопряженных функций с плотностью | x |s , s ∈(1, 2), на отрезке [–1,1]. Получены оценки приближений, асимптотическое выражение мажоранты приближений при r → 1. Найдено оптимальное значение параметра, при котором обеспечивается наибольшая скорость убывания мажоранты. Как следствие полученных результатов подробно исследована задача приближения сопряженной функции с плотностью | x |s , s > 0, суммами Абеля – Пуассона сопряженных полиномиальных рядов по системе многочленов Чебышева первого рода. Установлены оценки приближений, а также асимптотическое выражение мажоранты приближений. Работа носит как теоретический, так и прикладной характер. Возможно применение при чтении спецкурсов на математических факультетах и для решения конкретных задач вычислительной математики.

Herein, the approximation properties of the Abel – Poisson means of rational conjugate Fourier series on the system of the Chebyshev–Markov algebraic fractions are studied, and the approximations of conjugate functions with density | x |s , s ∈(1, 2), on the segment [–1,1] by this method are investigated. In the introduction, the results related to the study of the polynomial and rational approximations of conjugate functions are presented. The conjugate Fourier series on one system of the Chebyshev – Markov algebraic fractions is constructed. In the main part of the article, the integral representation of the approximations of conjugate functions on the segment [–1,1] by the method under study is established, the asymptotically exact upper bounds of deviations of conjugate Abel – Poisson means on classes of conjugate functions when the function satisfies the Lipschitz condition on the segment [–1,1] are found, and the approximations of the conjugate Abel – Poisson means of conjugate functions with density | x |s , s ∈(1, 2), on the segment [–1,1] are studied. Estimates of the approximations are obtained, and the asymptotic expression of the majorant of the approximations in the final part is found. The optimal value of the parameter at which the greatest rate of decreasing the majorant is provided is found. As a consequence of the obtained results, the problem of approximating the conjugate function with density | x |s , s ∈(1, 2), by the Abel – Poisson means of conjugate polynomial series on the system of Chebyshev polynomials of the first kind is studied in detail. Estimates of the approximations are established, as well as the asymptotic expression of the majorants of the approximations. This work is of both theoretical and applied nature. It can be used when reading special courses at mathematical faculties and for solving specific problems of computational mathematics.

ряд Фурье – Чебышевасопряженный рядсуммы Абеля – Пуассонасопряженная функцияприближенияусловие Липшицаасимптотические оценкиFourier – Chebyshev seriesconjugate seriesAbel – Poisson sumsconjugate functionapproximationsLipschitz conditionasymptotic estimatesReferencesПыхтеев, Г. Н. О вычислении некоторых сингулярных интегралов с ядром типа Коши / Г. Н. Пыхтеев // Приклад. математика и механика. – 1959. – Т. 23, № 6. – С. 1074–1082.Pykhteev G. N. On the evaluation of certain singular integrals with a kernel of the cauchy type. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1959, vol. 23, no. 6, pp. 1536–1548. https://doi.org/10.1016/0021-8928(59)90010-3Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Физматлит, 1958. – 543 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Fizmatlit Publ., 1958. 543 p. (in Russian).Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – 3-е изд. – М.: Наука, 1968. – 513 с.Muskhelishvili N. I. Singular integral equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 513 p. (in Russian).Butzer, P. L. The Operational Properties of the Chebyshev Transform. II. Fractional Derivatives / P. L. Butzer, R. L. Stens // Теория приближения функций: Междунар. конф. по теории приближения функций, Калуга, 24–28 июля 1975 г.: труды. – М.: Наука, 1977. – С. 49–61.Butzer P. L., Stens R. L. The Operational Properties of the Chebyshev Transform. II. Fractional Derivatives. Teoriia priblizheniia funktsii: Mezhdunarodnaya konferentsiya po teorii priblizheniia funktsii, Kaluga, 24–28 iyulya 1975 g.: tr. [Approximation Theory of Functions: International Conference on the Theory of Approximation of Functions, Kaluga, 24–28 July 1975. Proceedings]. Moscow, Nauka Publ., 1977, pp. 49–61 (in Russian).Моторный, В. П. Приближение некоторых классов сингулярных интегралов алгебраическими многочленами / В. П. Моторный // Укр. мат. журн. – 2001. – Т. 53, № 3. – С. 331–345.Motornyi V. P. Approximation of some classes of singular integrals by algebraic polynomials. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 2001, vol. 53, no. 3, pp. 331–345 (in Russian).Мисюк, В. Р. Сопряженные функции на отрезке и соотношения для их наилучших равномерных полиномиальных приближений / В. Р. Мисюк, А. А. Пекарский // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2015. – № 2. – С. 37–40.Misiuk V. R., Pekarskii A. A. Conjugate functions on an interval and relations for their best uniform polynomial approximations. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2015, no. 2, pp. 37–40 (in Russian).Priwaloff, J. Sur les fonctions conjuguees / J. Priwaloff // Bull. Soc. Math. Fr. – 1916. – Vol. 44. – P. 100–103. https://doi.org/10.24033/bsmf.965Priwaloff J. Sur les fonctions conjuguées. Bulletin de la Société Mathématique de France, 1916, vol. 44, pp. 100–103. https://doi.org/10.24033/bsmf.965Привалов, И. И. К теории сопряженных тригонометрических рядов / И. И. Привалов // Мат. сб. – 1923. – № 2. – C. 224–228.Privalov I. I. On the theory of conjugate trigonometric series. Matematicheskii sbornik = Sbornik: Mathematics, 1923, no. 2, pp. 224–228 (in Russian).Kolmogoroff, A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier / A. Kolmogoroff // Fundam. Math. – 1925. – Vol. 7. – P. 24–29. https://doi.org/10.4064/fm-7-1-24-29Kolmogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les series de Fourier. Fundamenta Mathematicae, 1925, vol. 7, pp. 24–29 (in French). https://doi.org/10.4064/fm-7-1-24-29Riesz, M. Les fonctions conjuguées et les series de Fourier / M. Riesz // C. R. Acad. Sci. – 1924. – Vol. 178. – P. 1464–1467.Riesz M. Les fonctions conjuguées et les series de Fourier. Comptes rendus de l’Academie des Sciences, 1924, vol. 178, pp. 1464–1467 (in French).Riesz, M. Sur les fonctions conjuguees / M. Riesz // Math. Z. – 1927. – Vol. 27, № 1. – P. 218–244. https://doi.org/10.1007/bf01171098Riesz M. Sur les fonctions conjuguees. Mathematische Zeitschrift, 1927, vol. 27, no. 1, pp. 218–244 (in French). https://doi.org/10.1007/bf01171098Бари, Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций / Н. К. Бари // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1955. – Т. 19, № 5. – С. 285–302.Bari N. K. Best approximation by trigonometric polynomials of two conjugate functions. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya = Izvestiya: Mathematics, 1955, vol. 19, no. 5, pp. 285–302 (in Russian).Стечкин, С. Б. О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометрическими полиномами / С. Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1956. – Т. 20, № 2. – С. 197–206.Stechkin S. B. Best approximation of conjugate functions by trigonometric polynomials. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya = Izvestiya: Mathematics, 1956, vol. 20, no. 2, pp. 197–206 (in Russian).Русак, В. Н. Равномерная рациональная аппроксимация сопряженных функций / В. Н. Русак, И. В. Рыбаченко // Вестн. БГУ. Сер. 1. Физика. Математика. Информатика. – 2013. – №. 3. – С. 83–86.Rusak V. N. Uniform rational approximation of conjugate functions. Vestnik Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika = Bulletin of the Belarusian State University. Series 1. Physics. Mathematics. Computer science, 2013, vol. 3, pp. 83–86 (in Russian).Натансон, И. П. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи ее интеграла Пуассона / И. П. Натансон // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 72, № 1. – С. 11–14.Natanson I. P. On the order of approximation of a continuous 2π-periodic function using its Poisson integral. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1950, vol. 72, no. 1, pp. 11–14 (in Russian).Тиман, А. Ф. Точная оценка остатка при приближении периодических дифференцируемых функций интегралами Пуассона. / А. Ф. Тиман // Докл. АН СССР. – 1950. – Т. 74, № 1. – С. 17–20.Timan A. F. Exact estimate of the remainder in the approximation of periodic differentiable functions by Poisson integrals. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR], 1950, vol. 74, no. 1, pp. 17–20 (in Russian).Штарк, Э. Л. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из Lip1 от сингулярного интеграла Абеля – Пуассона / Э. Л. Штарк // Мат. заметки. – 1973. – Т. 13, № 1. – С. 21–28.Shtark E. L. Complete asymptotic expansion for the upper bound for the deviation of functions from Lip1 from the singular Abel – Poisson integral. Matematicheskie zametki = Mathematical Notes, 1973, vol. 13, no. 1, pp. 21–28 (in Russian).Жук, В. В. О порядке приближения непрерывной 2π-периодической функции при помощи средних Фейера и Пуассона ее ряда Фурье / В. В. Жук // Мат. заметки. – 1968. – Т. 4, № 1. – С. 21–32.Zhuk V. V. On the order of approximation of a continuous 2π -periodic function by means of the Fejér and Poisson means of its Fourier series. Matematicheskie zametki = Mathematical Notes, 1968, vol. 4, no. 1, pp. 21–32 (in Russian).Русецкий, Ю. И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона / Ю. И. Русецкий // Сиб. мат. журн. – 1968. – Т. 9, № 1. – С. 136–144.Rusetskii Yu. I. Approximation of continuous functions on an interval by Abel – Poisson means. Sibirskii matematicheskii zhurnal = Siberian Mathematical Journal, 1968, vol. 9, no. 1, pp. 136–144 (in Russian).Жигалло, Т. В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона – Чебышева / Т. В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. – 2018. – № 3. – С. 1–14.Zhigallo T. V. Approximation of functions satisfying the Lipschitz condition on a finite segment of the real axis by Poisson – Chebyshev integrals. Problemy upravleniia i informatiki = Journal of Automation and Information Sciences, 2018, no. 3, pp. 1–14 (in Russian).Sz.-Nagy, В. Sur I’ordre de l’approximation d’une fonction par son intégrale de Poisson / В. Sz.-Nagy // Acta Math. Acad. Sci. Huugar. – 1950. – Vol. 1, № 2–4. – P. 183–188. https://doi.org/10.1007/bf02021310Sz.-Nagy В. Sur I’ordre de l’approximation d’une fonction par son intégrale de Poisson. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1950, vol. 1, no. 2–4, pp. 183–188 (in French). https://doi.org/10.1007/bf02021310Баскаков, В. А. Асимптотические оценки приближения сопряженных функций сопряженными интегралами Абеля – Пуассона / В. А. Баскаков // Применение функционального анализа в теории приближений. – Калинин, 1975. – Вып. 5. – С. 14–20.Baskakov V. A. Asymptotic estimates for the approximation of conjugate functions by conjugate Abel – Poisson integrals. Primenenie funktsional’nogo analiza v teorii priblizhenii = Application of Functional Analysis in Approximation Theory. Kalinin, 1975, iss. 5, pp. 14–20 (in Russian).Жигало, К. М. Повна асимптотика вiдхилення вiд класу диференцiйовних функцiй множини iх гармонiйних iнтегралiв Пуассона / К. М. Жигало, Ю. И. Харкевич // Укр. мат. журн. – 2002. – Т. 54, № 1. – С. 43–52.Zhigalo K. M., Kharkevich Yu. I. The asymptotic behavior of the visualization of the class of differential functions of the set of the ith harmonic Poisson integrals. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 2002, vol. 54, no. 1, pp. 43–52 (in Ukrainian).Жигало, К. М. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй iх iнтегралами Абеля – Пуассона / К. М. Жигало, Ю. И. Харкевич // Укр. мат. журн. – 2009. – Т. 61, № 1. – С. 73–82.Zhigalo K. M., Kharkevich Yu. I. The approximation of conjugations of differential functions ix by Abel – Poisson integrals. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 2009, vol. 61, no. 1, pp. 73–82 (in Ukrainian).Китбалян, А. А. Разложения по обобщенным тригонометрическим системам / А. А. Китбалян // Изв. АН Армян. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1963. – Т. 16, № 6. – С. 3–24.Kitbalian A. A. Expansions in generalized trigonometric systems. Izvestiia AN Armianskoi SSR, Seriya fiziko-matematicheskikh nauk [Bulletin of the Academy of Sciences of the Armenian SSR, Series Physical and Mathematical Sciences], 1963, vol. 16, no. 6, pp. 3–24 (in Russian).Джрбашян, М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М. М. Джрбашян // Изв. АН Армян. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9, № 7. – C. 3–28.Dzhrbashian M. M. On the theory of Fourier series in rational functions. Izvestiia AN Armianskoi SSR, Seriya fiziko-matematicheskikh nauk [Bulletin of the Academy of Sciences of the Armenian SSR, Series Physical and Mathematical Sciences], 1956, vol. 9, no. 7, pp. 3–28 (in Russian).Rouba, Y. On one system of rational Chebyshev – Markov fractions / Y. Rouba, P. Patseika, K. Smatrytski // Anal. Math. – 2018. – Vol. 44, № 1. – P. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Rouba Y., Patseika P., Smatrytski K. On one system of rational Chebyshev–Markov fractions. Analysis Mathematica, 2018, vol. 44, no. 1, pp. 115–140. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0110-7Ровба, Е. А. Приближения сопряженных функций частичными суммами сопряженных рядов Фурье по одной системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова / Е. А. Ровба, П. Г. Поцейко // Изв. вузов. Математика. – 2020. – № 9. – С. 68–84.Rovba E. A., Patseika P. G. Approximations of conjugate functions by partial sums of conjugate Fourier series with respect to one system of algebraic fractions of Chebyshev – Markov. Izvestiya vuzov. Matematika = Russian Mathematics, 2020, vol. 64, no. 9, pp. 61–75. https://doi.org/10.3103/s1066369x20090066Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Физматлит, 1970. – Т. 2. – 800 с.Fikhtengol’ts G. M. Differential and Integral Calculus Course. Vol. 2. Moscow, Fizmatlit Publ., 1970. 800 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.