vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-2-206-216vestifm-587Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSИнтегралы и интегральные преобразования, связанные с совместным векторным гауссовским распределениемThe integrals and integral transformations connected with the joint vector Gaussian distributionМухаВ. С.MukhaV. S.

Муха Владимир Степанович – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информационных технологий автоматизированных систем

ул. П. Бровки, 6, 220013, г. Минск, Республика Беларусь

Vladimir S. Mukha – Dr. Sc. (Engineering), Professor, Professor of the Department of Information Technologies of Automated Systems

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk, Republic of Belarus

mukha@bsuir.byКакоН. Ф.KakoN. F.

Како Нэнси Форат – аспирант

ул. П. Бровки, 6, 220013, г. Минск, Республика Беларусь

Nancy Forat Kako – Postgraduate Student

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk, Republic of Belarus

kako.nancy@gmail.comБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics202115072021572206216Copyright © Муха В.С., Како Н.Ф., 20212021Муха В.С., Како Н.Ф.Mukha V.S., Kako N.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/587

Во многих приложениях желательно рассматривать не один случайный вектор, а набор случайных векторов с совместным распределением. Данная статья посвящена интегралам и интегральным преобразованиям, связанным с совместной векторной гауссовской функцией плотности вероятности. Такие интегралы и преобразования возникают в теории статистических решений, в частности в теории дуального управления, которая базируется на теории статистических решений. Одним из представленных результатов является интеграл от совместной векторной гауссовской функции плотности вероятности. Другие результаты – это формула полной вероятности и формула Байеса, сформулированные в терминах совместной векторной гауссовской функцией плотности вероятности. В качестве примера получены байесовские оценки коэффициентов множественной функции регрессии. Предложенные интегралы могут быть использованы как табличные интегралы в различных областях исследований

In many applications it is desirable to consider not one random vector but a number of random vectors with the joint distribution. This paper is devoted to the integral and integral transformations connected with the joint vector Gaussian probability density function. Such integral and transformations arise in the statistical decision theory, particularly, in the dual control theory based on the statistical decision theory. One of the results represented in the paper is the integral of the joint Gaussian probability density function. The other results are the total probability formula and Bayes formula formulated in terms of the joint vector Gaussian probability density function. As an example the Bayesian estimations of the coefficients of the multiple regression function are obtained. The proposed integrals can be used as table integrals in various fields of research.

байесовские оценкисовместное векторное гауссовское распределениемногомерные интегралыформула полной вероятностиформула Байесамножественная функция регрессииBayesian estimationsjoint vector Gaussian distributionmultivariate integralstotal probability formulaBayes formulamultiple regression functionReferencesWakefield J. Bayesian and Frequentist Regression Methods. Springer, 2013. 709 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0925-1Wakefield J. Bayesian and Frequentist Regression Methods. Springer, 2013. 709 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4419-0925-1DeGroot M. H. Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill Inc., 1970. 489 p.DeGroot M. H. Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill Inc., 1970. 489 p.Zellner A. An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. John Wiley and Sons, Inc., 1971. 448 p.Zellner A. An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics. John Wiley and Sons, Inc., 1971. 448 p.Berger J. O. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. New York, Springer-Verlag, 1985. 618 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4286-2Berger J. O. Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. New York, Springer-Verlag, 1985. 618 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-4286-2Fel’dbaum A. A. Optimal Control Systems. New York, London, Academic Press, 1965. 452 p.Fel’dbaum A. A. Optimal Control Systems. New York, London, Academic Press, 1965. 452 p.Mukha V. S., Kako N. F. Integrals and integral transformations connected with vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 457–466. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-457-466Mukha V. S., Kako N. F. Integrals and integral transformations connected with vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 457–466. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-457-466Mukha V. S., Kako N. F. Total probability formula for vector Gaussian distributions. Doklady BGUIR, 2021, vol. 19, no. 2, pp. 58–64. https://doi.org/10.35596/1729-7648-2021-19-2-58-64Mukha V. S., Kako N. F. Total probability formula for vector Gaussian distributions. Doklady BGUIR, 2021, vol. 19, no. 2, pp. 58–64. https://doi.org/10.35596/1729-7648-2021-19-2-58-64Gantmacher F. R. The Theory of Matrices. Vol. 1. New York, Chelsea Publ. Company, 1959. 374 p. https://doi.org/10.1126/science.131.3408.1216-aGantmacher F. R. The Theory of Matrices. Vol. 1. New York, Chelsea Publ. Company, 1959. 374 p. https://doi.org/10.1126/science.131.3408.1216-aMukha V. S., Kako N. F. Dual Control of Multidimensional-matrix Stochastic Objects. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2019 (ITS 2019): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, 30 oktyabrya 2019 g. [Information Technologies and Systems 2019 (ITS 2019): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, 30th October 2019]. Minsk, 2019, pp. 236–237 (in Russian).Mukha V. S., Kako N. F. Dual Control of Multidimensional-matrix Stochastic Objects. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2019 (ITS 2019): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, 30 oktyabrya 2019 g. [Information Technologies and Systems 2019 (ITS 2019): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, 30th October 2019]. Minsk, 2019, pp. 236–237 (in Russian).Mukha V. S., Kako N. F. Flat Problem of Allowance Distribution as Dual Control Problem. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2020 (ITS 2020): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, Belarus’, 18 noyabrya 2020 g. [Information Technologies and Systems 2020 (ITS 2020): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, Belarus, 18th November 2020]. Minsk, 2020, pp. 195–196 (in Russian).Mukha V. S., Kako N. F. Flat Problem of Allowance Distribution as Dual Control Problem. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2020 (ITS 2020): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, Belarus’, 18 noyabrya 2020 g. [Information Technologies and Systems 2020 (ITS 2020): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, Belarus, 18th November 2020]. Minsk, 2020, pp. 195–196 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.