vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-3-263-273vestifm-595Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб одном подходе к решению смешанных задач теории упругостиOn one approach to the solution of miscellaneous problems of the theory of elasticityАмелькинВ. В.Amel’kinV. V.

Амелькин Владимир Васильевич – доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа

пр.  Независимости, 4, 220030, г. Минск

Vladimir V. Amel’kin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department of  Differential Equations and Systemic Analysis

4, Nezavisimosti Ave, 220030, Minsk

vamlkn@mail.ruВасилевичМ. Н.VasilevichM. N.

Василевич Михаил Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей математики и информатики

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Michail N. Vasilevich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of General Mathematics and Informatics

4, Nezavisimosti Ave, 220030, Minsk

vasilevich.m@gmail.comХвощинскаяЛ. А.KhvostchinskayaL. A.

Хвощинская Людмила Аркадьевна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

пр. Независимости,  99, 220023, г. Минск

Ludmila A. Khvostchinskaya – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics

99, Nezavisimosti Ave, 220023, Minsk

ludmila.ark@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityБелорусский государственный аграрный технический университетBelarusian State Agrarian Technical University202106102021573263273Copyright © Амелькин В.В., Василевич М.Н., Хвощинская Л.А., 20212021Амелькин В.В., Василевич М.Н., Хвощинская Л.А.Amel’kin V.V., Vasilevich M.N., Khvostchinskaya L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/595

Рассмотрена смешанная контактная задача теории упругости в верхней полуплоскости. Границей является действительная полуось, разделенная на четыре части, на каждой из которых заданы граничные условия для действительной или мнимой части двух искомых аналитических функций. С помощью новых неизвестных функций задача сведена к неоднородной краевой задаче Римана с 2 × 2 кусочно-постоянной матрицей и четырьмя особыми точками. Построено дифференциальное уравнение класса Фукса с четырьмя особыми точками, матрицы-вычеты которого найдены «методом логарифмирования» произведения матриц. Единственное решение задачи выражено через интегралы типа Коши при выполнении одного условия разрешимости.

Herein, a miscellaneous contact problem of the theory of elasticity in the upper half-plane is considered. The boundary is a real semi-axis separated into four parts, on each of which the boundary conditions are set for the real or imaginary part of two desired analytical functions. Using new unknown functions, the problem is reduced to an inhomogeneous Riemann boundary value problem with a piecewise constant 2 × 2 matrix and four singular points. A differential equation of the Fuchs class with four singular points is constructed, the residue matrices of which are found by the logarithm method of the product of matrices. The single solution of the problem is represented in terms of Cauchy-type integrals when the solvability condition is met.

смешанная задача теории упругостикраевая задача Риманапроблема Риманагруппа монодромииканоническая матрицаметод логарифмированияmiscellaneous problem of the theory of elasticityRiemann boundary value problemRiemann problemmonodromy groupcanonical matrixlogarithm methodReferencesМусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1966. – 709 с.Мuskhelishvili N. I. Basiс Problems of Mathematical Elasticity Theory. Moscow, Nauka Publ., 1966. 709 p. (in Russian).Хвощинская, Л. А. Решение одной задачи теории упругости / Л. А. Хвощинская // Тр. Ин-та математики. – 2000. – Т. 5. – С. 136–141.Khvostchinskaya L. A. The solution of one problem of the theory of elasticity. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2000, vol. 5, pp. 136–141 (in Russian).Хвощинская, Л. А. К решению одной задачи о штампе / Л. А. Хвощинская // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-29: сб. тр. XXIX Междунар. науч. конф.: в 12 т. – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2016. – Т. 5. – С. 3–5.Khvostchinskaya L. A. To solution of one problem about a stamp. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiyakh MMTT-29: sb. tr. XXIX Mezhdunar. nauch. konf. T. 5 [Mathematical Methods in Technics and Technologies. Proceedings of International Scientific MMTT-30. Vol. 5.]. Saint Petersburg, Politechn Univ. Publ., 2016, pp. 3–5 (in Russian).Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – М.: Наука, 1968. – 511 с.Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations. Moscow, Nauka Publ., 1968. 511p. (in Russian).Литвинчук, Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г. С. Литвинчук. – М.: Наука, 1977. – 448 с.Litvinchuk G. S. Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with Shift. Moscow, Nauka Publ., 1977. 448 p. (in Russian).Еругин, Н. П. Проблема Римана / Н. П. Еругин. – Минск: Наука и техника, 1982. – 336 с.Erugin N. P. The Riemann Problem. Minsk, Nauka i Technika Publ., 1982. 336 p. (in Russian).Хвощинская, Л. А. Об одном методе построения дифференциальных матриц проблемы Римана / Л. А. Хвощинская // Материалы Междунар. 17-й науч. конф. им. акад. М. Кравчука, 19–20 мая 2016 г. – Киев: НТУУ «КПИ», 2016. – Т. 1. – С. 263–266.Khvostchinskaya L. A. On a one method for constructing differential matrices of the Riemann problem. Materialy Mezhdunarodnoi semnadtsatoi nauchnoi konferentsii im. akademika M. Kravchuka, 19–20 maya 2016 g. T.1 [Materials 17th Seventeenth International Scientific M. Kravchuk Conference, May 19–20 2016. Vol. 1]. Kyiv, NTUU “KPI” Publ., 2016, pp. 263–266 (in Russian).Khvostchinskaya, L. On a solution method for the Riemann problem with two pairs of unknown functions / L. Khvostchinskaya, S. Rogosin // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations: AMADE-2018 / eds.: M. V. Dubatovskaya, S. V. Rogosin. – Cambridge Sci. Publ., 2020. – P. 79–112.Khvostchinskaya L., Rogosin S. On a solution method for the Riemann problem with two pairs of unknown functions. Dubatovskaya M. V., Rogosin S. V. (Eds.) Analytic Methods of Analysis and Differential Equations. AMADE-2018. Cambridge Scientific Publishers, 2020, pp. 79–112.Матвеев, П. Н. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / П. Н. Матвеев. – СПб.: Лань, 2008. – 336 с.Matveev P. N. Lectures on the Analytical Theory of Differential Equations. Saint Petersburg, Lan’ Publ., 2008. 336 p. (in Russian).Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. – М.: Наука, 1971. – 576 с.Каmke E. Handbook of Ordinary Differential Equations. Moscow, Nauka Publ., 1971. 576 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.