vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-3-286-295vestifm-597Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSPешение произвольной гладкости одномерного волнового уравнения для задачи со смешанными условиямиThe solution of arbitrary smoothness of the one-dimensional wave equation for the problem with mixed conditionsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик Национальной академии наук Беларуси, профессор, доктор физико-математических наук

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Viktor I. Korzyuk – Academician of the National Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics  and Mathematics), Professor

11,  Surganov Str., 220072, Minsk

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0002-5778-9968КозловскаяИ. С.KozlovskayaI. S.

Козловская Инесса Станиславовна – кандидат физико-математических наук, доцент

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Inessa S. Kozlovskaya – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Belarusian State University

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

kozlovskaja@bsu.byСоколовичВ. Ю.SokolovichV. Y.

Соколович Владимир Юрьевич – аспирант

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Vladimir Yu. Sokolovich – Postgraduate Student

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

vovasokoll@gmail.comСевастюкВ. А.SevastyukV. A.

Севастюк Владимир Александрович – ведущий инженер-программист

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Vladimir A. Sevastyuk – Lead Software Engineer

11, Surganov Str., 220072, Minsk

Институт математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State UniversityБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202106102021573286235Copyright © Корзюк В.И., Козловская И.С., Соколович В.Ю., Севастюк В.А., 20212021Корзюк В.И., Козловская И.С., Соколович В.Ю., Севастюк В.А.Korzyuk V.I., Kozlovskaya I.S., Sokolovich V.Y., Sevastyuk V.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/597

В аналитическом виде представлено классическое решение в классе непрерывно дифференцируемых функций произвольного порядка со смешанными граничными условиями в четверти плоскости для волнового уравнения. Граница области состоит из двух перпендикулярных полупрямых. На одной из них задаются условия Коши. Вторая полупрямая разделена на две части: конечный отрезок и оставшаяся часть в виде полупрямой. На отрезке задается условие Дирихле, на второй части в виде полупрямой – условие Неймана. В четверти плоскости определяется классическое решение рассматриваемой задачи при построении которого выписывается частное решение исходного волнового уравнения. Для заданных функций задачи выписываются условия согласования, которые являются необходимыми и достаточными, чтобы решение задачи было классическим высокого порядка гладкости и единственным.

In this paper, we represented an analytical form of a classical solution of the wave equation in the class of continuously differentiable functions of arbitrary order with mixed boundary conditions in a quarter of the plane. The boundary of the area consists of two perpendicular half-lines. On one of them, the Cauchy conditions are specified. The second half-line is separated into two parts, namely, the limited segment and the remaining part in the form of a half-line. The Dirichlet condition is specified on the segment, as well as the Neumann condition is fulfilled on the second part in the form of a half-line. In a quarter of the plane, the classical solution of the problem under consideration is determined. To construct this solution, a particular solution of the original wave equation is established. For the given functions of the problem, the concordance conditions are written, which are necessary and sufficient for the solution of the problem to be classical of high order of smoothness and unique.

дифференциальные уравненияклассическое решениеволновое уравнениесмешанные условияdifferential equationsclassical solutionwave equationmixed conditionsReferencesКорзюк, В. И. Классическое решение в четверти плоскости смешанной задачи для волнового уравнения / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, В. Ю. Соколович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2018. – Т. 62, № 6. – С. 647–651. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2018-62-6-647-651Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Sokolovich V. Yu. Classical solution of the mixed problem in the quarter of the plane for the wave equation. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2018, vol. 62, no. 6, pp. 647–651 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2018-62-6-647-651Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – Изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Ленанд, 2021. – 480 с.Korzyuk V. I. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, Lenand Publ., 2021. 480 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Решение волнового уравнения в четверти плоскости / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, В. Ю. Соколович // Тр. Ин-та математики. – 2020. – Т. 28. № 1/2. – С. 35–50.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Sokolovich V. Y. The solution of the wave equation in a quarter of the plane. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2020, vol. 28, no. 1–2, pp. 35–50 (in Russian).Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск, 2017. – Ч. 1. – 45 с.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical Problem Solutions for Hyperbolic Equations. Part 1. Minsk, 2017. 48 p. (in Russian)Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск, 2017. – Ч. 2. – 52 с.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical Problem Solutions for Hyperbolic Equations. Part 2. Minsk, 2017. 52 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Решение задачи Коши для гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Дифференц. уравнения. – 2012. – Т. 48, № 5. – С. 700–709.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Solution of the Cauchy problem for a hyperbolic equation with constant coefficients in the case of two Independent variables. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 5, pp. 707–716. https://doi.org/10.1134/s0012266112050096Корзюк, В. И. Решение задачи Коши гиперболического уравнения для однородного дифференциального оператора в случае двух независимых переменных / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2011. – Т. 55, № 5. – С. 9–13.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Solution of the Cauchy problem for a hyperbolic equation for a homogeneous differential operator in the case of two independent variables. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2011, vol. 55, no. 5, pp. 9–13 (in Russian).Korzyuk, V. I. Caushy problem in half-plan for hyperbolic equation with constant coefficients. Analytic methods of analysis and differential equations / V. I. Korzyuk, I. S. Kozlovskaya, A. I. Kozlov. – AMA Cambridge Scientific Publ., 2014. – P. 45–71.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Kozlov A. I. Cauсhy Problem in Half-planе for Hyperbolic Equation with Constant Coefficients. Analytical Methods of Analysis and Differential Equations. AMA Cambridge Scientific Publishers, 2014, рp. 45–71.Моисеев, Е. И. Классическое решение задачи с интегральным условием для одномерного волнового уравнения / Е. И. Моисеев, В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 10. – С. 1373–1385.Moiseev E. I., Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical solution of a problem with an integral condition for a one-dimensional wave equation. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 10, pp. 1364–1377. https://doi.org/10.1134/s0012266114100103Корзюк, В. И. Об условиях согласования в граничных задачах для гиперболических уравнений / В. И. Корзюк, И. С. Козловская // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2013. – Т. 57, № 5. – С. 37–42.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. About the matching conditions in boundary problems for hyperbolic equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2013, vol. 57, no. 5, pp. 37–42 (in Russian).Ломовцев, Ф. Е. Метод корректировки пробных решений общего волнового уравнения в первой четверти плоскости для минимальной гладкости его правой части // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2017. – № 3. – С. 38–52.Lomovtsev F. E. A method for correcting trial solutions of the general wave equation in the first quarter of the plane for minimal smoothness of its right-hand side. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Physics. Mathematics. Computer Science, 2017, no. 3, pp. 38–52 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.