vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-3-296-310vestifm-598Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSРешение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с определителями типа вронскиановA solution of the hypersingular integro-differential equation with determinants of the Vronsky typeШилинА. П.ShilinA. P.

Шилин Андрей Петрович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и математической физики

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Andrey P. Shilin – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Physics

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетБеларусьBelarusian State UniversityBelarus202106102021573236310Copyright © Шилин А.П., 20212021Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/598

Рассмотрено новое гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение произвольного порядка на замкнутой кривой, расположенной в комплексной плоскости. Интегралы в уравнении понимаются в смысле конечной части по Адамару. Уравнение относится к линейным интегро-дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами частного вида, характерной особенностью является его запись с помощью определителей, близких к определителям Вронского. Для исследования привлекается метод аналитического продолжения, свойства определителей, обобщенные формулы Сохоцкого. Уравнение сводится к краевой задаче Римана о скачке в некотором классе функций. Если задача Римана оказывается разрешимой, то далее следует решать линейные неоднородные дифференциальные уравнения в классе аналитических функций в областях комплексной плоскости. Неочевидным является анализ получаемых решений в бесконечно удаленной точке. Исследование носит законченный характер. В явном виде выписаны условия разрешимости исходного уравнения. При их выполнении в явном виде записано решение, приведен пример.

In this paper, we consider a new hypersingular integro-differential equation of arbitrary order on a closed curve located in the complex plane. The integrals in the equation are understood in the sense of the finite Hadamard part. The equation refers to linear integro-differential equations with variable coefficients of a particular form. A characteristic feature of the equation is its representation with the help of determinants close to the Vronsky ones. The method of analytical continuation, properties of determinants, and generalized Sokhotsky formulas are used for the study. The equation reduces to the Riemann boundary value problem of a jump in a certain class of functions. If the Riemann boundary problem turns out to be solvable, then one should solve linear inhomogeneous differential equations in the class of analytic functions in the domains of the complex plane. The analysis of the obtained solutions in an infinitely distant point is not evident. The study has a complete look. The conditions for the solvability of the original equation are explicitly written out. When they are fulfilled, the solution is explicitly written, to which an example is given.

интегро-дифференциальное уравнениегиперсингулярный интегралобобщенные формулы Сохоцкогокраевая задача Риманалинейное дифференциальное уравнениеопределительintegro-differential equationhypersingular integralgeneralized Sokhotsky formulasRiemann boundary problemlinear differential equationdeterminantReferencesАдамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – М.: Наука, 1978. – 352 с.Adamar Zh. The Cauchy Problem of Linear Equations with Partial Derivatives of Hyperbolic Type. Moscow, Nauka Publ., 1978. 352 p. (in Russian).Бойков, И. В. Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Динам. системы. – 2019. – T. 9, № 3. – С. 244–272.Boykov I. V. Analytical and numerical methods for solving hypersingular integral equations. Dinamicheskie Sistemy, vol. 9, no. 3, pp. 244–272 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.Zverovich E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5–8 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида / Э. И. Зверович, А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Zverovich E. I., Shilin A. P. Integro-differential equations with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 404–407 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Шилин, А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типа / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 17–29. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equation of the Euler type. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 17–29 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Шилин, А. П. О решении одного интегро-дифференциального уравнения с сингулярным и гиперсингулярным интегралами / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 298–309. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Shilin A. P. On the solution of one integro-differential equation with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 298–309 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Шилин, А. П. Дифференциальная краевая задача Римана и ее приложение к интегро-дифференциальным уравнениям / А. П. Шилин // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 4. – С. 391–397. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Shilin A. P. Riemann’s differential boundary-value problem and its application to integro-differential equations. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 391–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-4-391-397Шилин, А. П. Решение одного интегро-дифференциального уравнения второго порядка, заданного с помощью определителей / А. П. Шилин // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем: материалы XV Междунар. науч.-техн. конф. (Пенза, Россия, 1–4 дек. 2020 г.) / под ред. д-ра физ.-мат. наук, проф. И. В. Бойкова. – Пенза, 2020. – С. 18–22.Shilin A. P. Solution of a second-order integro-differential equation given by the determinants. Analiticheskie i chislennye metody modelirovaniya estestvenno-nauchnykh i sotsial’nykh problem: materialy XV Mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii (Penza, Rossiya, 1–4 dekabrya 2020 g.) [Analytical and Numerical Methods of Modelling of Natural Science and Social Problems. Proceedings of the XV International Conference ANM-2020. Penza, Russian Federation, 1–4 December, 2020]. Penza, 2020, pp 18–22 (in Russian).Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. физ.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sohotsky formulas. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizikamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.