vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-3-330-346vestifm-601Research ArticleФИЗИКАPHYSICSТочки ρ-либрации в задаче трех телρ-Libration point in the three body problemРябушкоА. П.RyabushkoA. P.

Рябушко Антон Петрович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики

пр. Независимости, 65, 220141, г. Минск

Anton P. Ryabushko – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Higher Mathematics

65, Nezavisimosti Ave., 220141, Minsk

ЖурТ. А.ZhurT. A.

Жур Татьяна Антоновна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики факультета предпринимательства и управления

пр. Независимости, 99, 220023,  г. Минск

Tatyana A. Zhur – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics of the Faculty of Entrepreneurship and Management

99, Nezavisimosti  Ave., 220023, Minsk

tatyana-zhur@mail.ruБелорусский национальный технический университетBelarusian National Technical UniversityБелорусский государственный аграрный технический университетBelarusian State Agrarian Technical University202107102021573330346Copyright © Рябушко А.П., Жур Т.А., 20212021Рябушко А.П., Жур Т.А.Ryabushko A.P., Zhur T.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/601

Рассмотрена ограниченная круговая задача трех тел в однородной и неоднородной средах. Особое внимание уделено точкам либрации, выведены условия, при которых они существуют или не могут существовать в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности. Указан ряд закономерностей, ньютоновских и релятивистских новых эффектов, возникающих благодаря воздействию на тела гравитационных полей сред и релятивистских силовых добавок в дифференциальных уравнениях движения тел. С использованием выведенных ранее уравнений движения двух тел A1, A2 в среде авторами обоснованы следующие утверждения. В однородной среде (плотность среды ρ = const) в ньютоновском приближении общей теории относительности существуют точки ρ-либрации , 1,...,5, движущиеся по тем же окружностям, что и эйлеровы и лагранжевы точки либрации Li, но с угловой скоростью 0 , большей угловой скорости ω0 точек либрации Li в пустоте. Тела A1, A2 по своим окружностям двигаются также с угловой скоростью 0 > w При переходе из ньютоновского приближения общей теории относительности в постньютоновское приближение общей теории относительности центр масс двух тел, покоившийся в однородной среде в ньютоновском приближении общей теории относительности, должен перемещаться по циклоиде, а траектории тел не могут быть окружностями, точки либрации Li исчезают. В случае неоднородной среды, распределенной, например, сферически симметрично, центр масс двух тел уже в ньютоновском приближении общей теории относительности должен двигаться по циклоиде, хотя в пустоте он покоился. Поэтому тела A1, A2 должны описывать витки, образующие, образно говоря, «кружева», как и в случае однородной среды в постньютоновском приближении общей теории относительности. В силу существования «кружевного» эффекта движения точки либрации Li уничтожаются. В частном случае, когда массы тел A1, A2 равны (m1 = m2), циклоиды исчезают и все точки ρ-либрации в однородной и неоднородной средах в ньютоновском и постньютоновском приближениях общей теории относительности существуют. Проведены численные оценки предсказываемых закономерностей и эффектов в Солнечной и других планетарных системах, в межзвездной и межгалактической средах. Смещения, связанные с упомянутыми эффектами, например смещение центра масс, могут достигать многих миллиардов километров за один оборот системы двух тел. Обсуждается возможная роль этих закономерностей и эффектов в теориях эволюции планетарных систем, галактик и их ансамблей. Дан краткий обзор исследований, проведенных белорусской научной школой по проблеме движения тел в средах в общей теории относительности.

Herein, the restricted circular three-body problem in homogeneous and inhomogeneous media is considered. Particular attention is paid to libration points. The conditions of their existence or non-existence in the Newtonian and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity are derived. Several regularities, new Newtonian and relativistic effects arising due to the impact of the additional relativistic forces on bodies of gravitational fields of mediums in the differential equations of the motion of bodies are indicated. Using the previously derived equations of the motion of two bodies A1, A2 in the medium, the authors substantiated the following statements. In a homogeneous medium (density of the medium ρ = const) in the Newtonian approximation of the general theory of relativity there are ρ-libration points , 1,...,5, moving along the same circles as the Euler and Lagrangian libration points Li but with an angular velocity 0 , greater than the angular velocity ω0 of libration points Li in a vacuum. Bodies A1, A2 also move along their circles with an angular velocity 0 > w When passing from the Newtonian approximation of the general theory of relativity to the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the centre of mass of two bodies, resting in a homogeneous medium in the Newtonian approximation of the general theory of relativity, must move along a cycloid. The trajectories of the bodies can not be circles, the libration points Li disappear. In the case of an inhomogeneous medium distributed, for example, spherically symmetrically, the centre of mass of two bodies, already in the Newtonian approximation of the general theory of relativity, must move along the cycloid, despite it was at rest in the void. Therefore, bodies A1, A2 must describe loops that form, figuratively speaking, a «lace», as in the case of a homogeneous medium in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. The figure illustrating the situation is provided. Due to the existence of the «lace» effect, the libration point Li movements are destroyed. In the special case, when the masses of bodies A1, A2 are equal (m1 = m2), the cycloids disappear and all the ρ-libration points exist in homogeneous and inhomogeneous media in the Newtonian and post-Newtonian approximations of the general theory of relativity. Numerical estimates of the predicted patterns and effects in the Solar and other planetary systems, interstellar and intergalactic mediums are carried out. For example, displacements associated with these effects, such as the displacement of the centre of mass, can reach many billions of kilometres per revolution of the two-body system. The possible role of these regularities and effects in the theories of the evolution of planetary systems, galaxies, and their ensembles is discussed. A brief review of the studies carried out by the Belarusian scientific school on the problem of the motion of bodies in media in the general theory of relativity is given.

общая теория относительноститри телаточки ρ-либрацииоднородная и неоднородная плотность средцентр массньютоновское и постньютоновское приближенияgeneral theory of relativitythree bodiesρ-libration pointshomogeneous and inhomogeneous density of mediumscentre of massNewtonian and post- Newtonian approximationsReferencesШарлье, К. Небесная механика / К. Шарлье. – М.: Наука, 1966. – 628 с.Charlier C. L. Celestial Mechanics. Moscow, Naukа Publ., 1966. 628 p. (in Russian).Субботин, М. Ф. Введение в теоретическую астрономию / М. Ф. Субботин. – М.: Наука, 1968. – 800 с.Subbotin M. F. Introduction to Theoretical Astronomy. Moscow, Naukа Publ., 1968. 800 p. (in Russian).Гребеников, Е. А. Задача трех тел / Е. А. Гребеников // Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. – М. : Наука, 1976. – Ч. 5. – С. 524–553.Grebenikov E. A. The problem of three bodies. Reference Guide to Celestial Mechanics and Astrodynamics. Part 5. Moscow, Nauka Publ., 1976, pp. 524–553 (in Russian).Дубошин, Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы / Г. Н. Дубошин. – М.: Наука, 1978. – 456 с.Duboshin G. N. Celestial Mechanics. Analytical and Qualitative Methods. Moscow, Naukа Publ., 1978. 456 p. (in Russian).Маркеев, А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике / А. П. Маркеев. – М.: Наука, 1978. – 312 с.Markeev A. P. Libration Points in Celestial Mechanics and Cosmodynamics. Moscow, Naukа Publ., 1978. 312 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Движение тел в общей теории относительности / А. П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1979. – 240 с.Ryabushko A. P. Motion of Bodies in the General Theory of Relativity. Minsk, Vysheishaya shkola Publ., 1979. 240 p. (in Russian).Себехей, В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел / В. Себехей. – М.: Наука, 1982. – 656 с.Szebehely V. Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies. Moscow, Naukа Publ., 1982. 656 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Проблема устойчивости движения тел в общей теории относительности / А. П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1987. – 112 с.Ryabushko A. P. The Problem of the Stability of the Motion of Bodies in the General Theory of Relativity. Minsk, Vysheishaya shkola Publ., 1987. 112 p. (in Russian).Euler, L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium / L. Euler // Novi Comm. Acad. Sci. Imp. Petrop. – 1767. – Vol. 11. – P. 144–151.Euler L. De motu rectilineo trium corporum se mutuo attrahentium. Novi commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1767, vol. 11, pp. 144–151.Lagrange, J. Essais sur le problem des trois corps / J. Lagrange. – Paris, 1772.Lagrange J. Essais Sur le Problem des Trois Corps. Paris, 1772.Дубошин, Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы / Г. Н. Дубошин. – М.: Наука, 1975. – 800 с.Duboshin G. N. Celestial Mechanics. Main tasks and Methods. Moscow, Naukа Publ., 1975. 800 p. (in Russian).Ипатов, С. И. Миграция небесных тел в Солнечной системе / С. И. Ипатов. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 320 с.Ipatov S. I. Migration of Celestial Bodies in the Solar System. Мoscow, Editorial URSS Publ., 2000. 320 p. (in Russian).Kordylevski, K. Photographische Untersungen Libration-spunktes L5 im System Erdi-Mond / K. Kordylevski // Acta Astron. – 1961. – Vol. 11. – P. 165–169.Kordylevski K. Photographische Untersungen Libration-spunktes L5 im System Erdi-Mond. Acta Astronomica, 1961, vol. 11, pp. 165–169.Kordylevski, K. Dust Cloud Moons of the Earth / K. Kordylevski // Phis. Today. – 1967. – Vol. 20, № 2. – P. 39–46. https://doi.org/10.1063/1.3034149Kordylevski K. Dust Cloud Moons of the Earth. Phisics Today. 1967, vol. 20, no. 2, pp. 39–46. https://doi.org/10.1063/1.3034149Клищенко, А. П. Астрономия / А. П. Клищенко, В. И. Шупляк. – М.: Новое знание, 2004. – 224 с.Klischenko A. P., Shuplyak V. I. Astronomy. Moscow, Novoe znanie Publ., 2004. 224 p. (in Russian).Стражев, В. И. К тайнам Вселенной / В. И. Стражев. – Минск: РИВШ, 2006. – 160 с.Strazhev V. I. To the Secrets of the Universe. Minsk, National Institute of Higher Education, 2006. 160 p.Рябушко, А. П. Уравнения движения и движение вращающихся симметричных масс в общей теории относительности: автореф. дисc. … канд. физ.-мат. наук / А. П. Рябушко. – Минск, 1958. – 8 с.Ryabushko A. P. Equations of Motion and Motion of Rotating Symmetric Masses in the General Theory of Relativity. Minsk, 1958. 8 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Движение тел в общей теории относительности: автореф. дисc. … д-ра физ.-мат. наук / А. П. Рябушко. – Минск, 1972. – 16 с.Ryabushko A. P. The Motion of Bodies in General Relativity. Minsk, 1972. 16 p. (in Russian).Баханьков, А. А. Устойчивость движения вращающихся тел в общей теории относительности: автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / А. А. Баханьков. – Минск: БГУ. – 1981. – 16 с.Bakhankov A. A. Stability of Motion of Rotating Bodies in the General Theory of Relativity. Minsk, 1981. 16 p. (in Russian).Мартынов, Д. Я. Курс общей астрофизики / Д. Я. Мартынов. – М.: Наука, 1988. – 616 с.Мartinov D. Y. General Astrophysics Course. Moscow, Nauka Publ., 1988. 616 p. (in Russian).Кононович, Э. В. Общий курс астрономии / Э. В. Кононович, В. И. Мороз. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 544 с.Kononovich E. V., Moroz V. I. General Course of Astronomy. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004. 544 p. (in Russian).Засов, А. В. Общая астрофизика / А. В. Засов, К. А. Постнов. – Фрязино: Век-2, 2011. – 576 с.Zasov A. V., Postnov K. A. General Astrophysics. Fryazino, Vek-2 Publ., 2011. 576 p. (in Russian).Райзен, И. Новый сюрприз Вселенной: темная энергия / И. Райзен // Наука и жизнь. – 2004. – № 3. – С. 38–42.Reisen I. The new surprise of the Universe: dark energy. Nauka i zhizn’ [Science and life], 2004, no. 3, pp. 38–42 (in Russian).Лукаш, В. Н. Темная энергия: мифы и реальность / В. Н. Лукаш, В. А. Рубаков // Успехи физ. наук. – 2008. – Т. 178, № 3. – С. 301–308.Lukash V. N., Rubakov V. A. Dark Energy: Myths and Reality. Physics-Uspekhi, 2008, vol. 51, no. 3, pp. 283. https://doi.org/10.1070/pu2008v051n03abeh006567Неманова, И. Т. Релятивистское движение тел в среде: автореф. дисc. … канд. физ.-мат. наук: 01.04.02. / И. Т. Неманова. – Минск, 1987. – 14 с.Nemanova I. T. Relativistic Motion of Bodies in the Environment. Minsk, 1987. 14 p. (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское движение вращающихся тел в среде: автореф. дисc. … канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / Т. А. Жур. – Минск, 1999. – 18 с.Zhur T. A. Relativistic Motion of Rotating Bodies in the Environment. Minsk, 1999. 18 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Гравитационное поле притягивающего центра, окруженного пылевидным облаком, в постньютоновском приближении общей теории относительности / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1983. – Т. 27, № 10. – С. 889–892.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. The Gravitational Field of an Attractive Center Surrounded by a Dusty Cloud in the Post-Newtonian Approximation of the General Theory of Relativity. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1983, vol. 27, no. 10, pp. 889–892 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские эффекты движения пробных тел в газопылевом шаре с притягивающим центром / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1984. – Т. 28, №9. – С. 806–809.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. Relativistic Effects of the Motion of Test Bodies in the Gas-Dust Ball with an Attractive Center. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1984, vol. 28, no. 9, pp. 806–809 (in Russian).Рябушко, А. П. Гравитационное поле газопылевого шара с двумя притягивающими центрами в общей теории относительности / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1987. – Т. 31, № 8. – С. 519–522.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. The gravitational field of the gas-dust ball with two attractive centers in the general theory of relativity. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1987, vol. 31, no. 8, pp. 519–522 (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское поступательное движение вращающейся частицы в среде / Т. А. Жур, И. Т. Неманова, А. П. Рябушко // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1998. – № 1. – С. 79–83.Zhur T. A., Nemanova I. T., Ryabushko A. P. Relativistic translational motion of the rotating particle in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1998, no. 1, pp. 79–83 (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское вращение частицы в среде / Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 1998. – № 3. – С. 82–85.Zhur T. A. Relativistic rotation of the particle in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1998, no. 3, pp. 82–85 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские уравнения поступательного движения двух вращающихся тел сравнимых масс в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2001. – № 3. – С. 64–68.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic equations of translational motion of two rotating bodies of comparable mass in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2001, no. 3, pp. 64–68 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистское поступательное движение двух вращающихся тел сравнимых масс в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2003. – № 3. – С. 68–73.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic translational motion of two rotating bodies of comparable mass in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2003, no. 3, pp. 68–73 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские собственные вращения двух тел в гравитирующей среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. – 2004. – № 2. – С. 61–65.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic proper rotations of two bodies in the gravitational environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2004, no. 2, pp. 61–65 (in Russian).Рябушко, А. П. Риманово пространство-время, определяемое неоднородным газопылевым шаром с гравитирующим центром, в общей теории относительности / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2005. – № 4. – С. 77–85.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Riemannian space-time, defined by an inhomogeneous gas-dust ball with the gravitational center, in general relativity. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2005, no. 4, pp. 77–85 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские эффекты движения тела в гравитационном поле неоднородной среды. II. Постньютоновское приближение общей теории относительности / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 1. – С. 86–90.Ryabushko A. P., Zhur T. A. Relativistic effects of the motion of the body in the gravitational field of an inhomogeneous environment. II. Post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2009, no. 1, pp. 86–90 (in Russian).Рябушко, А. П. Pioneer anomaly как реликтовое ускорение пробного тела в Солнечной системе / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 3. – С. 99–104.Ryabushko A. P., Zhur T. A. Pioneer anomaly as the relict acceleration of a test body in the Solar system. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2009, no. 3, pp. 99–104 (in Russian).Ryabushko, A. P. Motion of Bodies and Its Stability in the General Relativity Theory / A. P. Ryabushko, T. A. Zhur, I. T. Nemanova // AIP Conference Proceedings. – 2010. – Vol. 1215. – P. 148–154. https://doi.org/10.1063/1.3382322Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Motion of Bodies and Its Stability in the General Relativity Theory. AIP Conference Proceedings, 2010, vol. 1215, pp. 148–154. https://doi.org/10.1063/1.3382322Рябушко, А. П. Решение лагранжевой ограниченной треугольной задачи трех тел при учете гравитационного поля газопылевой среды / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2013. – № 3. – С. 107–112.Ryabushko A. P., Nemanova I. T., Zhur T. A. Solution of the Lagrangian limited triangular three-body problem with allowance for the gravity field of the gaseous dust environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2013, no. 3, pp. 107–112 (in Russian).Рябушко, А. П. Движение релятивистского центра масс системы двух тел в среде / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 77–82. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-77-82Ryabushko A. P., Nemanova I. T., Zhur T. A. Motion of the relativistic center of mass of the two-body system in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 77–82 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-77-82Рябушко, А. П. Движение системы двух тел и их центра масс в неоднородной среде / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 2. – С. 194–205. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-194-205Ryabushko A. P., Nemanova I. T., Zhur T. A. The Motion of the system of two bodies and their center of mass in an inhomogeneous environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 2, pp. 194– 205 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-194-205Ландау, Л. Д. Теория поля / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – М.: Наука, 1988. – 512 с.Landau L. D., Lifshitz Е. М. The Field Theory. Moscow, Nauka Publ., 1988. 512 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские уравнения движения пробного тела в поле тяготения неоднородного газопылевого шара с гравитирующим центром / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2006. – № 3. – С. 64–71.Ryabushko A. P., Nemanova I. T., Zhur T. A. Relativistic equations of motion of the test body in the gravitational field of an inhomogeneous gas-dust ball with a gravitational center. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2006, no. 3, pp. 64–71 (in Russian).Бочкарев, Н. Г. Основы физики межзвездной среды / Н. Г. Бочкарев. – М.: МГУ, 1992. – 392 с.Bochkarev N. G. Fundamentals of physics of the interstellar environment. Moscow, Moscow State University, 1992. 392 p. (in Russian).Радзиевский, В. В. Солнечная система / В. В. Радзиевский // Физика космоса: маленькая энциклопедия. – М.: Сов. энцикл., 1976. – С. 61–80.Radzievski V. V. Solar system. Space Physics: A Little Encyclopedia. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1976, 61–80 (in Russian).Nieto, M. M. Directly measured limit on the interplanetary matter density from Pioneer 10 and 11 / M. M. Nieto, S. G. Turyshev, J. D. Anderson // Phys. Lett. B. – 2005. – Vol. 613, № 1/2. – P. 11–19. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2005.03.035Nieto M. M., Turysher S. G., Anderson J. D. Directly measured limit on the interplanetary matter density from Pioneer 10 and 11. Physics Letters B, 2005, vol. 613, no. 1–2, pp. 11–19. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2005.03.035

The authors declare that there are no conflicts of interest present.