vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-3-353-373vestifm-603Research ArticleФИЗИКАPHYSICSТеория Фрадкина частицы со спином 3/2, нерелятивистский пределSpin 3/2 particle: Fradkin theory, nonrelativistic approximationИвашкевичА. В.IvashkevichA. V.

Ивашкевич Алина Валентиновна – магистрант

пр. Независимости, 68-2, 220072, г. Минск

Alina V. Ivashkevich – Undergraduate

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

ivashkevich.alina@yandex.byВасилюкО. А.VasiluykO. A.

Василюк Ольга Александровна – преподаватель

бульвар  Космонавтов, 21, 224016, г. Брест

Olga A. Vasiluyk – Teacher

21, boulevard Kosmonavtov, 224016, Brest

olya.vasiluyk.97@yandex.byОвсиюкЕ. М.OvsiyukE. M.

Овсиюк Елена Михайловна – кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой теоретической физики и прикладной информатики

ул. Студенческая, 28, 247760, г. Мозырь, Гомельская  обл.

Еlena М. Оvsiyuk – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Head of the Department of Theoretical Physics and Applied Informatics

28, Studencheskaya Str., 247760, Mozyr

e.ovsiyuk@mail.ruКисельВ. В.KiselV. V.

Кисель Василий Васильевич – кандидат физико математических наук, доцент, доцент кафедры физики

ул. П. Бровки, 6, 220013, г. Минск

Vasily V. Kisel – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Physics

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk

vasiliy_bspu@mail.ruРедьковВ. М.Red’kovV. M.

Редьков Виктор Михайлович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник центра «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика»

пр. Независимости, 68-2, 220072, г. Минск

Viktor M. Red’kov – Dr. Sc. (Physics and  Mathematics), Chief Researcher of the Center “Fundamental Interactions and Astrophysics”

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk

redkov@dragon.bas-net.byИнститут физики им. Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of BelarusБрестский государственный университет им. А. С. ПушкинаBrest State University named after A. S. PushkinМозырский государственный педагогический университет им. И. П. ШамякинаMozyr State Pedagogical University named after I. P. ShamyakinБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics202107102021573353373Copyright © Ивашкевич А.В., Василюк О.А., Овсиюк Е.М., Кисель В.В., Редьков В.М., 20212021Ивашкевич А.В., Василюк О.А., Овсиюк Е.М., Кисель В.В., Редьков В.М.Ivashkevich A.V., Vasiluyk O.A., Ovsiyuk E.M., Kisel V.V., Red’kov V.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/603

Известное уравнение для частицы со спином 3/2, предложенное Паули и Фирцем, основано на использовании волновой функции с трансформационными свойствами вектора-биспинора. Менее известным является уравнение, основанное также на 16-компонентной функции, которое было предложено Фрадкиным. При занулении дополнительного к заряду параметра Λ из уравнения Фрадкина следует уравнение Паули – Фирца. С целью установления физической интерпретации дополнительного параметра Λ в настоящей работе решен вопрос о получении нерелятивистского приближения в теории Фрадкина, при этом учитывается присутствие внешних электромагнитных полей. С использованием метода проективных операторов волновая функция разложена на нерелятивистские большие и малые составляющие, выведено обобщенное нерелятивистское уравнение для 16-компонентной волновой функции. Показывается, что при сохранении в этом уравнении членов первого порядка по параметру Λ после перехода к четырем независимым компонентам нерелятивистской волновой функции возникает обычное нерелятивистское уравнение для теории Паули – Фирца. Если сохранять члены второго порядка по Λ, то возникает 4-компонентное нерелятивистское уравнение с дополнительным членом взаимодействия, причем только с магнитным полем. Это взаимодействие квадратично по компонентам магнитного поля и зависит от шести 4-мерных матриц. Делается вывод, что теория Фрадкина описывает частицу с магнитным квадрупольным моментом.

The well-known relativistic wave equation for a spin 3/2 particle proposed by Pauli and Fierz is based on the use of the wave function with the transformation properties of vector-bispinor. Less known is the Fradkin theory based on the vector-bispinor wave function as well. At the vanishing Fradkin parameter Λ, this equation reduces to the Pauli – Fierz equation. To clarify the physical meaning of the additional parameter, in the present paper the nonrelativistic approximation in the Fradkin equation is studied, at this we take into account the presence of external electromagnetic fields. With the use of the technique of projective operators, we decompose the wave function into big and small constituents, and then derive a generalized nonrelativistic equation for a 16-component wave function. It is shown that when preserving only the terms of first order in the Fradkin parameter Λ after transition to 4 independent components of the nonrelativistic wave function there arises the ordinary nonrelativistic equation for the Pauli – Fierz theory without any additional interaction with electromagnetic fields. When preserving the terms of second order in parameter Λ, we obtain a 4-component nonrelativistic equation with additional interaction; however, only with the magnetic field. This interaction is quadratic in magnetic field components and governed by six 4-dimensional matrices. So the Fradkin theory may be understood as relevant to a particle with magnetic quadrupole moment.

спин 3/2теория Паули – Фирцатеория Фрадкинапроективные операторынерелятивистское приближениеквадрупольный магнитный моментspin 3/2Pauli – Fierz theoryFradkin theoryprojective operatorsnonrelativistic approximationmagnetic quadrupole momentИсследование выполнено при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (грант № Ф20-РА-007).The research was carried out under the financial support of the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (grant no. Ф20-РА-007).ReferencesDirac, P. A. M. Relativistic wave equations / P. A. M. Dirac // Proc. R. Soc. London. Ser. A. – Math. Phys. Sci. – 1936. – Vol. 155, № 886. – P. 447–459. https://doi.org/10.1098/rspa.1936.0111Dirac P. A. M. Relativistic wave equations. Proceedings of the Royal Society of London. Series A – Mathematical and Physical Sciences, 1936, vol. 155, no. 886, pp. 447–459. https://doi.org/10.1098/rspa.1936.0111Majorana, E. Teoria simmetrica dell elettrone e dell positrone / E. Majorana // Nuovo Cimento. – 1937. – Vol. 14, № 4. – P. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02961314Majorana E. Teoria simmetrica dell elettrone e dell positrone. Nuovo Cimento, 1937, vol. 14, no. 4, pp. 171–186. https://doi.org/10.1007/bf02961314Fierz, M. Über die relativistische theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin / M. Fierz // Helv. Phys. Acta. – 1939. – Vol. 12. – P. 3–37.Fierz M. Über die relativistische theorie Kraftefreier Teilchen mit beliebigem Spin. Helvetica Physica Acta, 1939, vol. 12, pp. 3–37.Pauli, W. Überrelativistische Feldleichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetishen Feld / W. Pauli // Helv. Phys. Acta. – 1939. – Vol. 12. – P. 297–300.Pauli W. Über relativistische Feldleichungen von Teilchen mit beliebigem Spin im elektromagnetishen Feld. Helvetica Physica Acta, 1939, vol. 12, pp. 297–300.Rarita, W. On a theory of particles with half-integral spin / W. Rarita, J. S. Schwinger // Phys. Rev. – 1941. – Vol. 60, № 1. – P. 61–64. https://doi.org/10.1103/physrev.60.61Rarita W., Schwinger J. S. On a theory of particles with half-integral spin. Physical Review, 1941, vol. 60, no. 1, pp. 61–64. https://doi.org/10.1103/physrev.60.61Bhabha, H. J. Relativistic Wave Equations for the Elementary Particles / H. J. Bhabha // Rev. Mod. Phys. – 1945. – Vol. 17, № 2/3. – P. 200–216. https://doi.org/10.1103/revmodphys.17.200Bhabha H. J. Relativistic Wave Equations for the Elementary Particles. Reviews of Modern Physics, 1945, vol. 17, no. 2–3, pp. 200–216. https://doi.org/10.1103/revmodphys.17.200Гельфанд, И. М. Общие релятивистские инвариантные уравнения и бесконечномерные представления группы Лоренца / И. М. Гельфанд, А. М. Яглом // ЖЭТФ. – 1948. – Т. 18, вып. 8. – С. 703–733.Gelfand I. M., Yaglom A. M. General relativistically invariant equations and infinite-dimensional representations of the Lorentz group. Zhurnal Eksperimentalnoy i Teoreticheskoy Fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1948, vol. 18, no. 8, pp. 703–733 (in Russian).Фрадкин, Е. С. К теории частиц с высшими спинами / Е. С. Фрадкин // ЖЭТФ. – 1950. – Т. 20, вып. 1. – С. 27–38.Fradkin E. S. To the theory of particles with higher spins. Zhurnal Eksperimentalnoy i Teoreticheskoy Fiziki = Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1950, vol. 20, no. 1, pp. 27–38 (in Russian).Федоров, Ф. И. Обобщенные релятивистские волновые уравнения / Ф. И. Федоров // Докл. Акад. наук СССР. – 1952. – Т. 82, № 1. – С. 37–40.Fedorov F. I. Generalized relativistic wave equations. Doklady Akademii nauk SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 1952, vol. 82, no. 1, pp. 37–40 (in Russian).Файнберг, В. Я. К теории взаимодействия частиц с высшими спинами с электромагнитными и мезонными полями / В. Я. Файнберг // Тр. ФИАН СССР. – 1955. – Т. 6. – С. 269–332.Feinberg V. Ya. On the theory of interaction of particles with higher spins with electromagnetic and meson fields. Trudy Fizicheskogo instituta im. P. N. Lebedeva Akademii nauk SSSR = Proceedings of the Lebedev Physics Institute of the Academy of Sciences of the USSR, 1955, vol. 6, pp. 269–332 (in Russian).Petras, M. A note to Bhabha’s equation for a particle with maximum spin 3/2 / M. Petras // Czech. J. Phys. – 1955. – Vol. 5, № 3. – P. 418–419.Petras M. A note to Bhabha’s equation for a particle with maximum spin 3/2. Czechoslovak Journal of Physics, 1955, vol. 5, no. 3, pp. 418–419.Богуш, А. А. Уравнение для частицы со спином 3/2, обладающей аномальным магнитным моментом / А. А. Богуш, В. В. Кисель // Изв. вузов. Физика. – 1984. – № 1. – С. 23–27.Bogush A. A., Kisel V. V. Equation for a 3/2 particle with anomalous magnetic moment. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika = Russian Physics Journal, 1984, vol. 1, pp. 23–27 (in Russian).Плетюхов, В. А. К теории частиц со спином 3/2 / В. А. Плетюхов, В. И. Стражев // Изв. вузов. Физика. – 1985. – № 1. – С. 91–95.Pletyukhov V. A., Strazhev V. I. To the theory of particles of spin 3/2. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika = Russian Physics Journal, 1985, vol. 28, no. 1, pp. 91–95 (in Russian).Плетюхов, В. А. О взаимосвязи между различными формулировками теории частиц со спином 3/2 / В. А. Плетюхов, В. И. Стражев // Вес. Акад. навук БССР. Cер. фiз.-мат. навук. – 1985. – № 5. – С. 90–95.Pletyukhov V. A., Strazhev V. I. On the relationship between various formulations of particle theory with spin 3/2. Vestsі Akademіі navuk Belarusі BSSR. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of the BSSR. Physics and Mathematics series, 1985, vol. 5, pp. 90–95 (in Russian).Редьков, В. М. Поля частиц в римановом пространстве и группа Лоренца / В. М. Редьков. – Минск: Белорус. наука, 2009. – 486 с.Red’kov V. M. Particle Fields in the Riemann Space and the Lorents Group. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2009. 486 p. (in Russian).Плетюхов, В. А. Релятивистские волновые уравнения и внутренние степени свободы / В. А. Плетюхов, В. М. Редьков, В. И. Стражев. – Минск: Беларус. навука, 2015. – 328 с.Pletyukhov V. A., Red’kov V. M., Strazhev V. I. Relativistic Wave Equations and Internal Degrees of Freedom. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2015. 328 p. (in Russian).Elementary particles with internal structure in external fields. I. General theory, II. Physical problems / V. V. Kisel [et al.]. – New York: Nova Science Publishers Inc., 2018. – 404 p.Kisel V. V., Ovsiyuk E. M., Veko O. V., Voynova Ya. A., Balan V., Red’kov V. M. Elementary Particles with Internal Structure in External Fields. I. General Theory, II. Physical Problems. New York, Nova Science Publishers Inc., 2018. 404 p.Fradkin Equation for a Spin 3/2 Particle in Presence of External Electromagnetic and Gravitational Fields / V. V. Kisel [et al.] // Ukr. J. Phys. – 2019. – Vol. 64, № 12. – P. 1112–1117. https://doi.org/10.15407/ujpe64.12.1112Kisel V. V., Ovsiyuk E. М., Ivashkevich A. V., Red’kov V. M. Fradkin Equation for a Spin 3/2 Particle in Presence of External Electromagnetic and Gravitational Fields. Ukraine Journal of Physics, 2019, vol. 64, no. 12, pp. 1112–1117. https://doi.org/10.15407/ujpe64.12.1112Ивашкевич, А. В. Безмассовое поле со спином 3/2: решения волнового уравнения и оператор спиральности / А. В. Ивашкевич, Е. М. Овсиюк, В. М. Редьков // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 3. – С. 338–354. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-3-338-354Ivashkevich A. V., Оvsiyuk Е. М., Red’kov V. M. Zero mass field with the spin 3/2: solutions of the wave equation and the helicity operator. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 3, pp. 338– 354 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-3-338-354Сферические решения уравнения для частицы со спином 3/2 / А. В. Ивашкевич [и др.] // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 3. – С. 282–290. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-282-290Ivashkevich A. V., Ovsiyuk Е. M., Kisel V. V., Red’kov V. M. Spherical solutions of the wave equation for a spin 3/2 particle. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 3, pp. 282–290 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-282-290Частица со спином 3/2: теория Паули – Фирца, нерелятивистский предел / А. В. Ивашкевич [и др.] // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 335–349. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-335-349Ivashkevich A. V., Voynova Ya. A., Ovsiyuk E. M., Kisel V. V., Red’kov V. M. Spin 3/2 particle: Puali – Fierz theory, non-relativistic approximation. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 335– 349 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-335-349Spin 3/2 particle: the Fradkin theory, non-relativistic approximation / A. V. Ivashkevich [et al.] // Nonlinear Dyn. Appl. – 2021. – Vol. 27. – P. 138–175.Ivashkevich A. V., Vasiluyk O. A., Kisel V. V., Red’kov V. M. Spin 3/2 particle: the Fradkin theory, non-relativistic approximation. Nonlinear Dynamics and Applications, 2021, vol. 27, pp. 138–175.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.