vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-4-401-416vestifm-608Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSФункциональное дифференцирование интегральных операторов специального вида и некоторые вопросы обратного интерполированияFunctional differentiation of integral operators of special form and some questions of the inverse interpolationhttps://orcid.org/0000-0002-8029-1842ИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

Игнатенко Марина Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования

пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск

Marina V. Ignatenko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of WebTechnologies and Computer Simulation Department

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

ignatenkomv@bsu.byЯновичЛ. А.YanovichL. A.

Янович Леонид Александрович – член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск

Leonid A. Yanovich – Corresponding Member, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

yanovich@im.bas-net.byБелорусский государственный университетBelarusian state UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202127122021574401416Copyright © Игнатенко М.В., Янович Л.А., 20212021Игнатенко М.В., Янович Л.А.Ignatenko M.V., Yanovich L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/608

Работа посвящена проблеме операторного интерполирования и функционального дифференцирования. Приведены некоторые сведения о вариационных производных и явные формулы точных решений простейших уравнений, содержащих первые вариационные производные искомого функционала. Для функционалов, заданных на множествах функций и квадратных матриц, построены различные интерполяционные многочлены эрмитова типа с двукратными узлами, содержащие первые вариационные производные интерполируемого оператора. Представленные решения интерполяционных задач Эрмита основаны на алгебраической чебышевской системе функций. Получены явные формулы первообразных функционалов для аналитических функций с аргументом из множества квадратных матриц. Найдено решение отдельных дифференциальных уравнений с интегральными операторами специального вида и первыми вариационными производными. Рассмотрена задача обратного интерполирования функций и операторов. Демонстрируются явные схемы построения обратных функций и функционалов, в том числе в случае функций матричной переменной, полученные с применением отдельных известных результатов теории интерполирования. Изложение материала иллюстрируется рядом примеров.

This article is devoted to the problem of operator interpolation and functional differentiation. Some information about the variational derivatives and explicit formulas for the exact solutions of the simplest equations containing the first variational derivatives of the required functional are given. For functionals defined on sets of functions and square matrices, various interpolating polynomials of the Hermitе type with nodes of the second multiplicity, which contain the first variational derivatives of the interpolated operator, are constructed. The presented solutions of the Hermitе interpolation problems are based on the algebraic Chebyshev system of functions. For analytic functions with an argument from a set of square matrices, explicit formulas for antiderivatives of functionals are obtained. The solution of some differential equations with integral operators of a special form and the first variational derivatives is found. The problem of the inverse interpolation of functions and operators is considered. Explicit schemes for constructing inverse functions and functionals, including the case of functions of a matrix variable, obtained using certain well-known results of interpolation theory, are demonstrated. Data representation is illustrated by a number of examples.

функциональное дифференцированиевариационная производнаядифференциал Гатооператорное интерполирование эрмитова типаобратное интерполированиеfunctional differentiationvariational derivativeGateaux differentialoperator interpolation of Hermite typeinverse interpolationРабота выполнена в рамках ГПНИ «Конвергенция-2025», подпрограмма «Математические модели и методы», задание 1.3.01.ReferencesСмирнов, В. И. Вариационное исчисление / В. И. Смирнов, В. И. Крылов, Л. В. Канторович. – Л.: Кубуч, 1933. – 204 с.Smirnov V. I., Krylov V. I., Kantorovich L. V. Variation Calculus. Leningrad, Kubuch Publ., 1933. 204 p. (in Russian).Леви, П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. – М.: Наука, 1967. – 510 с.Lévy P. Concrete Problems of Functional Analysis. Moscow, Nauka Publ., 1967. 510 p. (in Russian).Вайнберг, М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов / М. М. Вайнберг. – М.: Гостехиздат, 1956. – 345 с.Vainberg M. M. Variational Methods for Investigation of Non-linear Operators. Moscow, Gostekhizdat Publ., 1956. 345 p. (in Russian.).Вольтерра, В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Вольтера. – М.: Наука, 1982. – 304 с.Volterra V. Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations. New York, Dover Publications, 2005. 288 p.Далецкий, Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения / Ю. Л. Далецкий // Успехи мат. наук. – 1967. – Т. 22, вып. 4 (136). – С. 3–54.Daletsky Yu. L. Infinite-dimensional Elliptic Operators and Parabolic Equations Connected with them. Uspekhi matematicheskikh nauk = Successes of Mathematical Sciences. 1967, vol 22, no. 4 (136), pp. 3–54 (in Russian).Далецкий, Ю. Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю. Л. Далецкий // Докл. АН СССР. – 1966. – Т. 166, № 5. – С. 1035–1038.Daletsky Yu. L. Differential Equations with Functional Derivatives and Stochastic Equations for Generalized Random Processes. Doklady academii nauk SSSR = Doklady of the Academy of Sciences of USSR, 1966, vol. 166, no. 5, pp. 1035–1038 (in Russian).Задорожний, В. Г. О дифференциальных уравнениях второго порядка в вариационных производных / В. Г. Задорожний // Дифференц. уравнения. – 1989. – Т. 25, № 10. – С. 1679–1683.Zadorozhniy V. G. Second-order Differential Equations with Variational Derivatives. Differentsial'nyye uravneniya = Differential equations, 1989, vol. 25, no. 10, pp. 1679–1683 (in Russian).Данилович, В. П. Формула Коши для линейных уравнений с функциональными производными / В. П. Данилович, И. М. Ковальчик // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 8. – С. 1509–1511.Danilovich V. P., Kovalchik I. M. Cauchy Formula for Linear Equations with Functional Derivatives. Differentsial'nyye uravneniya = Differential equations, 1977, vol. 13, no. 8, pp. 1509–1511 (in Russian).Ковальчик, И. М. Линейные уравнения с функциональными производными / И. М. Ковальчик // Докл. АН СССР. – 1970. – Т. 194, № 4. – С. 763–766.Kovalchik I. M. Linear Equations with Functional Derivatives. Doklady academii nauk SSSR = Doklady of the Academy of Sciences of USSR, 1970, vol. 194, no. 4, pp. 763–766 (in Russian).Ковальчик, И. М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И. М. Ковальчик // Докл. АН УССР. Сер. А, Физ.-мат. и техн. науки. – 1978. – Т. 12. – С. 1079–1083.Kovalchik I. M. Representation of Solutions of Certain Equations with Functional Derivatives Using Wiener Integrals. Doklady academii nauk Ukraїni. Seriya A. Fiziko-matematicheskiye i tekhnicheskiye nauki = Doklady of the Academy of Sciences of Ukraine. Series A. Physical, Mathematical, and Technical Sciences, 1978, vol. 12, pp. 1079–1083 (in Russian).Авербух, В. И. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах / В. И. Авербух, О. Г. Смолянов // Успехи мат. наук. – 1967. – Т. 22, вып. 6 (138). – С. 201–260.Averbukh V. I., Smolyanov O. G. The Theory of Differentiation in Linear Topological Spaces. Uspekhi matematicheskikh nauk = Successes of Mathematical Sciences. 1967, vol. 22, no. 6 (138), pp. 201–260 (in Russian).Макаров, В. Л. Интерполирование операторов / В. Л. Макаров, В. В. Хлобыстов, Л. А. Янович. – Киев: Наук. думка, 2000. – 407 с.Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Interpolation of Operator. Кiеv, Naukova Dumka Publ., 2000. 407 p. (in Russian).Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2010. – 517 с. – (Праці Ін-ту математики НАН України. – Vol. 83: Математика та ii застосування).Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Methods of Operator Interpolation. Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. Vol. 83: Mathematics and its applications. Kiev, 2010. 516 p.Янович, Л. А. Основы теории интерполирования функций матричных переменных / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т математики. – Минск: Беларус. навука, 2016. – 281 c.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Bases of the theory of interpolation of functions of matrix variables. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2016. 281 р. (in Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные методы аппроксимации операторов, заданных на функциональных пространствах и множествах матриц / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т математики. – Минск: Беларус. навука, 2020. – 476 c.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Interpolation methods for approximation of operators defined on function spaces and sets of matrices. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2020. 476 р. (in Russian).Крылов, В. И. Вычислительные методы: в 2 т. / В. И. Крылов, В. В. Бобков, П. И. Монастырный. – M.: Наука, 1976–1977. – 2 т.Krylov V. I., Bobkov V. V., Monastyrny P. I. Computational methods. 2 vol. Moscow, Nauka Publ., 1976–1977 (in Russian).Мысовских, И. П. Лекции по методам вычислений: учеб. пособие / И. П. Мысовских. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. ун-та, 1998. – 472 с.Mysovskikh I. P. Lectures on computational methods: textbook. St. Petersburg, Publishing House St. Petersburg State University, 1998. 472 p. (in Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные функциональные многочлены ньютонова типа с двукратными узлами / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: сб. науч. тр. – Минск: Изд. центр БГУ, 2012. – С. 229–240.Yanovich, L. A., Ignatenko M. V. Newton-Type Interpolation Functional Polynomials with nodes of the second multiplicity. Analiticheskiye metody analiza i differentsial'nykh uravneniy. Sbornik nauchnykh trudov = Analytical methods of analysis and differential equations. Collection of Sceintific Papers. Minsk, Belarussian State University, 2012, pp. 229–240 (in Russian).Игнатенко, М. В. О точном и приближенном решении отдельных дифференциальных уравнений с вариационными производными первого и второго порядков / М. В. Игнатенко, Л. А. Янович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 51–71. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-51-71Ignatenko M. V., Yanovich L. A. Оn the exact and approximate solution of several differential equations with variational derivatives of the first and second orders. Vestsі Natsyianal'nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 51–71 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-51-71Янович, Л. А. К теории интерполирования Эрмита – Биркгофа нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2017. – № 2. – С. 7–23.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. To the theory of Hermite – Birkhoff interpolation of nonlinear ordinary differential operators. Vestsі Natsyianal'nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2017, no. 2, pp. 7–23 (in Russian).Игнатенко, М. В. К теории интерполирования дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных / М. В. Игнатенко // Тр. Ин-та математики Нац. акад. наук Беларуси. – 2017. – Т. 25, № 2. – С. 11–20.Ignatenko M. V. To the interpolation theory of dierential operators of arbitrary order in partial derivatives. Trudy Instituta matematiki Natsional'noy akademii nauk Belarusi = Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2017, vol. 25, no. 2, pp. 11–20 (in Russian).Игнатенко, М. В. Обобщенные интерполяционные многочлены Эрмита – Биркгофа для дифференциальных операторов произвольного порядка в частных производных / М. В. Игнатенко, Л. А. Янович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 2. – С. 149–163. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-2-149-163Ignatenko M. V., Yanovich L. A. Generalized interpolation Hermite – Birkhoff polynomials for arbitrary-order partial differential operators. Vestsі Natsyianal'nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 2, pp. 149–163 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-2-149-163

The authors declare that there are no conflicts of interest present.