vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2021-57-4-447-454vestifm-613Research ArticleФИЗИКАPHYSICSq-Аналог алгебры ХиггсаThe q-analogue of the Higgs algebrahttps://orcid.org/0000-0001-7384-3621ЛаврёновА. Н.LavrenovA. N.

Лаврёнов Александр Николаевич – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры информационных технологий в образовании

ул. Советская, 18, 220030, г. Минск

Alexandre N. Lavrenov – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of the Chair of Information Technologies in Education

18, Sovetskaya Str., 220050

lanin0777@mail.ruhttps://orcid.org/0000-0002-3650-8987ЛаврёновИ. А.LavrenovI. A.

Лаврёнов Иван Александрович – ведущий специалист

ул. Я. Купалы, 25, 220030, г. Минск

Ivan A. Lavrenov – Leading Specialist

25, Ya. Kupala Str., 220030, Minsk

lanin99@mail.ruБелорусский государственный педагогический университетBelarusian State Pedagogical UniversityООО «Октонион технолоджи»Octonion technology Ltd.202127122021574447454Copyright © Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А., 20212021Лаврёнов А.Н., Лаврёнов И.А.Lavrenov A.N., Lavrenov I.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/613

Рассмотрено q-обобщение алгебры Хиггса. Показана в явном виде реализация данной алгебры с помощью нелинейного преобразования операторов рождения и уничтожения q-гармонического осциллятора, которое представляет собой выполнение двух операций: «подправка» с помощью функции от исходного гамильтониана и возведение в четвертую степень операторов рождения и уничтожения q-гармонического осциллятора. Выбор «подправочной» функции обосновывается стандартным видом коммутационных соотношений для операторов метаплектической реализации Uq(SU(1,1)). Кратко обсуждены дальнейшие возможные направления исследований для обобщения полученных результатов. Первое направление достаточно очевидно – это рассмотрение проблемы при увеличении или при любом значении N размерности операторного пространства. Второе направление можно связать с анализом связи q-обобщений алгебр Хиггса и Хана.

In this paper, the q-generalization of the Higgs algebra is considered. The realization of this algebra is shown in an explicit form using a nonlinear transformation of the creation-annihilation operators of the q-harmonic oscillator. This transformation is the performance of two operations, namely, a “correction” using a function of the original Hamiltonian, and raising to the fourth power the creation and annihilation operators of a q-harmonic oscillator. The choice of the “correcting” function is justified by the standard form of commutation relations for the operators of the metaplectic realization Uq(SU(1,1)). Further possible directions of research are briefly discussed to summarize the results obtained. The first direction is quite obvious. It is the consideration of the problem when the dimension of the operator space increases or for any value N. The second direction can be associated with the analysis of the relationship between q-generalizations of the Higgs and Hahn algebras.

q-гармонический осцилляторq-алгебра Хиггсанелинейное преобразованиеоператор рожденияоператор уничтоженияq-harmonic oscillatorq-Higgs algebranonlinear transformationcreation operatorannihilation operatorReferencesHiggs, P. W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I / P. W. Higgs // J. Phys. A. – 1979. – Vol. 12, № 4. – P. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Higgs P.W. Dynamical symmetries in a spherical geometry. I. Journal of Physics A, 1979, vol. 12, no. 4, pp. 309–323. https://doi.org/10.1088/0305-4470/12/3/006Курочкин, Ю. А. Аналог вектора Рунге – Ленца и энергетический спектр в задаче Кеплера на трехмерной сфере / Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. АН БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 987–990.Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. Analog of the Runge – Lenz vector and energy spectrum in the Kepler problem on a three-dimensional sphere. Doklady academii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1979, vol. 23, no. 11, pp. 987–990 (in Russian).Богуш, А. А. О квантовомеханической задаче Кеплера в трехмерном пространстве Лобачевского / А. А. Богуш, Ю. А. Курочкин, В. С. Отчик // Докл. АН БССР. – 1980. – Т. 24, № 1. – С. 19–22.Bogush A. A., Kurochkin Yu. A., Otchik V. S. The quantum-mechanical Kepler problem in three-dimensional Lobačevskiĭ space. Doklady academii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1980, vol. 24, no. 1, pp. 19–22 (in Russian).Chung, W. S. Holstein-Primakoff realization of Higgs algebra and its q-extension / W. S. Chung // Mod. Phys. Lett. A. – 2014. – Vol. 29, № 10. – P. 1450050–1450062. https://doi.org/10.1142/S0217732314500503Chung W. S. Holstein-Primakoff realization of Higgs algebra and its q-extension. Modern Physics Letters A, 2014, vol. 29, no. 10, pp. 1450050–1450062. https://doi.org/10.1142/S0217732314500503The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective / L. Frappat [et al.] // Phys. Lett. A. – 2019. – Vol. 383, № 14. – P. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024Frappat L., Gaboriaud J., Vinet L., Vinet S., Zhedanov A. S. The Higgs and Hahn algebras from a Howe duality perspective. Physics Letters A, 2019, vol. 383, no. 14, pp. 1531–1535. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2019.02.024The q-Higgs and Askey – Wilson algebras / L. Frappat [et al.] // Nucl. Phys. B. – 2019. – Vol. 944. – P. 114632–114645. https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2019.114632Frappat L., Gaboriaud J., Ragoucy E., Vinet L., Vinet S., Zhedanov A. S. The q-Higgs and Askey – Wilson algebras. Nuclear Physics B, 2019, vol. 944, pp. 114632–114645. https://doi.org/10.1016/j.nuclphysb.2019.114632Arik, M. Quantum algebraic structures compatible with the harmonic oscillator Newton equation / M. Arik, N. M. Atakishiyev, K. B. Wolf // J. Phys. A. – 1999. – Vol. 32, № 33. – P. L371–L376. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/33/101Arik M., Atakishiyev N. M., Wolf K. B. Quantum algebraic structures compatible with the harmonic oscillator Newton equation. Journal of Physics A, 1999, vol. 32, no. 33, pp. L371–L376. https://doi.org/10.1088/0305-4470/32/33/101Daskaloyannis, C. Generalized deformed oscillator and nonlinear algebras / C. Daskaloyannis // J. Phys. A. – 1991. – Vol. 24, № 15. – P. L789–L794. https://doi.org/10.1088/0305-4470/24/15/001Daskaloyannis C. Generalized deformed oscillator and nonlinear algebras. Journal of Physics A, 1991, vol. 24, no. 15, pp. L789–L794. https://doi.org/10.1088/0305-4470/24/15/001Zhedanov, A. S. The “Higgs algebra” as a ‘quantum’ deformation of SU(2) / A. S. Zhedanov // Mod. Phys. Lett. A. – 1992. – Vol. 07, № 06. – P. 507–512. https://doi.org/10.1142/S021773239200046XZhedanov A. S. The “Higgs algebra” as a ‘quantum’ deformation of SU(2). Modern Physics Letters A, 1992, vol. 07, no. 06, pp. 507–512. https://doi.org/10.1142/S021773239200046XDelbecq, C. Nonlinear deformations of SU(2) and SU(1,1) generalizing Witten’s algebra / C. Delbecq, C. Quesne // J. Phys. A. – 1993. – Vol. 26, № 4. – P. L127–L134. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/4/001Delbecq C., Quesne C. Nonlinear deformations of SU(2) and SU(1,1) generalizing Witten’s algebra. Journal of Physics A, 1993, vol. 26, no. 4, pp. L127–L134. https://doi.org/10.1088/0305-4470/26/4/001Feranchuk, I. D. The operator method of the approximate solution of the Schrödinger equation / I. D. Feranchuk, L. I. Komarov // Phys. Lett. A. – 1982. – Vol. 88, № 5. – Р. 211–214. https://doi.org/10.1016/0375-9601(82)90229-8Feranchuk I. D., Komarov L. I. The operator method of the approximate solution of the Schrödinger equation. Physics Letters A, 1982, vol. 88, no. 5, pp. 211–214. https://doi.org/10.1016/0375-9601(82)90229-8Gerry, C. C. Approximate energy eigenvalues from a generalized operator method / C. C. Gerry, S. Silverman // Phys. Lett. A. – 1983. – Vol. 95, № 9. – P. 481–483. https://doi.org/10.1016/0375-9601(83)90501-7Gerry C. C., Silverman S. Approximate energy eigenvalues from a generalized operator method. Physics Letters A, 1983, vol. 95, no. 9, pp. 481–483. https://doi.org/10.1016/0375-9601(83)90501-7Spiridonov, V. Periodic reduction of the factorization chain and the Hahn polynomials / V. Spiridonov, L. Vinet, A. Zhedanov // J. Phys. A. – 1994. – Vol. 27, № 18. – P. L669–L676. https://doi.org/10.1088/0305-4470/27/18/005Spiridonov V., Vinet L., Zhedanov A. Periodic reduction of the factorization chain and the Hahn polynomials. Journal of Physics A, 1994, vol. 27, no. 18, pp. L669–L676. https://doi.org/10.1088/0305-4470/27/18/005Веселов, А. П. Одевающая цепочка и спектральная теория оператора Шредингера / А. П. Веселов, А. Б. Шабат // Функцион. анализ и его приложения. – 1993. – Т. 27, вып. 2. – С. 81–96. https://doi.org/10.1007/BF01085979Veselov, A. P., Shabat, A. B. Dressing Chains and Spectral Theory of the Schrödinger Operator. Funktsional′nyi analiz i ego prilozheniya = Functional Analysis and Its Applications, 1993, vol. 27, no. 2, pp. 81–96 (in Russian). https://doi. org/10.1007/BF01085979Macfarlane, A. J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2)q / A. J. Macfarlane // J. Phys. A. – 1994. – Vol. 22, № 21. – P. 4581–4588. https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/21/020Macfarlane A. J. On q-analogues of the quantum harmonic oscillator and the quantum group SU(2)q. Journal of Physics A, 1994, vol. 22, no. 21, pp. 4581–4588. https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/21/020Biedenharn, L. C. The quantum group SUq(2) and a q-analogue of the boson operators / L. C. Biedenharn // J. Phys. A. – 1989. – Vol. 22, № 18. – P. L873–L878. https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/18/004Biedenharn L. C. The quantum group SUq(2) and a q-analogue of the boson operators. Journal of Physics A, 1989, vol. 22, no. 18, pp. L873–L878. https://doi.org/10.1088/0305-4470/22/18/004Floreanini, R. q-Oscillator Realizations of the Quantum Superalgebras SLq(m,n) and OSPq(m,2n) / R. Floreanini, V. P. Spiridonov, L. Vinet // Commun. Math. Phys. – 1991. – Vol. 137, № 1. – P. 149–160. https://doi.org/10.1007/BF02099120Floreanini R., Spiridonov V. P., Vinet L. q-Oscillator Realizations of the Quantum Superalgebras SLq(m,n) and OSPq(m,2n). Communications in Mathematical Physics, 1991, vol. 137, no. 1, pp. 149–160. https://doi.org/10.1007/BF02099120

The authors declare that there are no conflicts of interest present.