vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-1-21-33vestifm-626Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб эквивалентности операторного и комбинаторного подходов для одношаговых случайных марковских процессовOn the equivalence of operator and combinatorial approaches for onestep random Markov processesАйрянЭ. А.AyryanE. A.

Айрян Эдик Арташевич – кандидат физико-математических наук, заведующий сектором

ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, Дубна

ул. Университетская, 19, 141980, Дубна

Ереван, Республика Армения 

Edik A. Ayryan – Ph. D. (Physics and Mathematics), Head of Sector

6, Joliot-Curie Str., 141980, Dubna

19, Universitetskaja Str., 141980, Dubna

Yerevan, Republic of Armenia 

ayrjan@jinr.ruГнатичМ.HnaticM.

Гнатич Михал – доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора

ул. Жолио-Кюри, 6, 141980, Дубна

ул. Ватсонова, 47, 04001, Кошице, Словацкая Республика

Парк Ангелинум, 9, 04001, Кошице, Словацкая Республика

Michal Hnatic – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Deputy Director

6, Joliot-Curie Str., Dubna

47, Watsonova Str., Košice, Slovak Republic

9, Park Angelinum, Košice, Slovak Republic 

hnatic@saske.skМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Victor B. Malyutin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Principal Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

malyutin@im.bas-net.byЛаборатория информационных технологий имени М. Г. Мещерякова, Объединенный институт ядерных исследований; Государственный университет «Дубна»; Национальная научная лаборатория имени А. И. АлиханянаMeshcheryakov Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research; State University «Dubna»; A. I. Alikhanyan National Science LaboratoryЛаборатория теоретической физики имени Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований; Институт экспериментальной физики Словацкой академии наук; Факультет естествознания, Университет Павла Йозефа ШафарикаBogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research; Institute of Experimental Physics, Slovak academy of Sciences; Faculty of Sciences, P. J. Šafárik University in KošiceИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2022040420225812133Copyright © Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б., 20222022Айрян Э.А., Гнатич М., Малютин В.Б.Ayryan E.A., Hnatic M., Malyutin V.B.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/626

Для одношаговых случайных марковских процессов проводится сравнение операторного и комбинаторного методов, основанное на использовании функциональных интегралов. При комбинаторном подходе используется переход от стохастического дифференциального уравнения к функциональному интегралу, с помощью которого получено выражение для среднего размера популяции. При операторном подходе переход к функциональному интегралу осуществляется через операторы рождения и уничтожения. Показано, что средние значения, вычисленные с помощью функциональных интегралов, возникающих при комбинаторном и операторном подходах, совпадают.

Herein, for one-step random Markov processes the comparison of the operator and combinatorial methods based on the use of functional integrals is performed. With the combinatorial approach, the transition from the stochastic differential equation to the functional integral is used. This allows us to obtain the expression for the mean population size in terms of the functional integral. With the operator approach, the transition to the functional integral is performed via the creation and annihilation operators. It is shown that the mean values calculated using the functional integrals arising in the combinatorial and operator approaches coincide.

марковские случайные процессыпроцессы рождения-гибелиодношаговые процессыкомбинаторный подходоператорный подходсредние значенияфункциональные интегралыrandom Markov processesbirth-death processesone-step processescombinatorial approachoperator approachmean valuesfunctional integralsИсследование выполнено при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований в рамках научного проекта № Ф20МС-005.The research was carried out under the financial support of the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research within the framework of Project no. Ф20МС-005.ReferencesГардинер, К. В. Стохастические методы в естественных науках / К. В. Гардинер. – М.: Мир, 1986. – 538 с.Gardiner C. W. A Handbook of Stochastic Methods. Berlin, Heidelberg, Springer, 1983. https://doi.org/10.1007/978-3-662-02377-8Ван-Кампен, Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван-Кампен. – М.: Высш. шк., 1990. – 376 с.Van Kampen N. G. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. North Holland, 1981.The method of stochastization of one-step processes / A. V. Demidova [et al.] // Mathematical Modeling and Computational Physics. – Dubna: JINR, 2013. – P. 67.Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. The method of stochastization of one-step processes. Mathematical Modeling and Computational Physics. Dubna, JINR, 2013, pp. 67.The method of constructing models of peer to peer protocols / A. V. Demidova [et al.] // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). – IEEE Computer Society, 2015. – P. 557–562. https://doi.org/10.1109/ICUMT.2014.7002162Demidova A. V., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastyanov L. A. The method of constructing models of peer to peer protocols. 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). IEEE Computer Society, 2015, pp. 557–562. https://doi.org/10.1109/ICUMT.2014.7002162Velieva, T. R. Designing installations for verification of the model of active queue management discipline RED in the GNS3 / T. R. Velieva, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). – IEEE Computer Society, 2015. – P. 570–577. https://doi.org/10.1109/ICUMT.2014.7002164Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing installations for verification of the model of active queue management discipline RED in the GNS3. 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). IEEE Computer Society, 2015, pp. 570–577. https://doi.org/10.1109/ICUMT.2014.7002164A new stage in mathematical teletraffic theory / G. P. Basharin [et al.] // Autom. Remote Control. – 2009. – Vol. 70, № 12. – P. 1954–1964. https://doi.org/10.1134/s0005117909120030Basharin G. P., Samouylov K. E., Yarkina N. V., Gudkova I. A. A new stage in mathematical teletraffic theory. Automation and Remote Control, 2009, vol. 70, no. 12, pp. 1954–1964. https://doi.org/10.1134/s0005117909120030Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process / M. Hnatič [et al.] // EPJ Web of Conferences. – 2016. – Vol. 108. – P. 02027. https://doi.org/10.1051/epjconf/201610802027Hnatič M., Eferina E. G., Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastyanov L. A. Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process. EPJ Web of Conferences, 2016, vol. 108, pp. 02027. https://doi.org/10.1051/epjconf/201610802027Stochastization of one-step processes in the occupations number representation / A. V. Korolkova [et al.] // Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. – 2016. – P. 698–704.Korolkova A. V., Eferina E. G., Laneev E. B. et al. Stochastization of one-step processes in the occupations number representation. Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2016. 2016, pp. 698–704.Hnatic, M. Field theoretic technique for irreversible reaction processes / M. Hnatic, J. Honkonen, T. Lucivjansky // Phys. Part. Nucl. – 2013. – Vol. 44, № 2. – P. 316–348. https://doi.org/10.1134/s1063779613020160Hnatic M., Honkonen J., Lucivjansky T. Field theoretic technique for irreversible reaction processes. Physics of Particles and Nuclei, 2013, vol. 44, no. 2, pp. 316–348. https://doi.org/10.1134/s1063779613020160Hnatic, M. Study of anomalous kinetics of the annihilation reaction A+A→О / M. Hnatic, J. Honkonen, T. Lucivjansky // Theor. Math. Phys. – 2011. – Vol. 169, № 1. – P. 1481–1488. https://doi.org/10.1007/s11232-011-0124-9Hnatic M., Honkonen J., Lucivjansky T. Study of anomalous kinetics of the annihilation reaction A+A→О. Theoretical and Mathematical Physics, 2011, vol. 169, no. 1, pp. 1481–1488. https://doi.org/10.1007/s11232-011-0124-9Dickman, R. Path integrals and perturbation theory for stochastic processes / R. Dickman, R. Vidigal // Brazilian J. Phys. – 2003. – Vol. 33, № 1. – P. 73–93. https://doi.org/10.1590/s0103-97332003000100005Dickman R., Vidigal R. Path integrals and perturbation theory for stochastic processes. Brazilian Journal of Physics, 2003, vol. 33, no. 1, pp. 73–93. https://doi.org/10.1590/s0103-97332003000100005Карлин, С. Основы теории случайных процессов / С. Карлин. – М.: Мир, 1971. – 536 с.Carlin S. A First Course in Stochastic Processes. Academic Press, 1968. https://doi.org/10.1016/c2013-0-12346-xRisken, H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications / Risken H. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1984. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96807-5Risken H. The Fokker-Plank Equation: Methods of Solution and Applications. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1984. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96807-5Langouche, F. Functional Integration and Semiclassical Expansions / F. Langouche, D. Roekaerts, E. Tirapegui. – Dordrecht: D. Reidel Publ. Co., 1982. – 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional Integration and Semiclassical Expansions. Dordrecht, D. Reidel Pub. Co., 1982. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Wio, H. S. Path Integration to Stochastic Process: an Introduction / H. S. Wio. – World Scientific Publ. Company, 2012. – 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Wio H. S. Path Integration to Stochastic Process: an Introduction. World Scientific Publ. Company, 2012. 176 p. https://doi.org/10.1142/8695Bennati, E. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results / E. Bennati, M. Rosa-Clot, S. Taddei // Int. J. Theor. Appl. Finan. – 1999. – Vol. 2, № 4. – P. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200Bennati E., Rosa-Clot M., Taddei S. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1999, vol. 2, no. 4, pp. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200Schulmann, L. S. Techniques and Applications of Path Integration / L. S. Schulmann. – New York: John Wiley and Sons, 1981. – 359 p.Schulmann L. S. Techniques and Applications of Path Integration. New York, John Wiley and Sons, 1981. 359 p. 18. Grosche C., Steiner F. Classification of solvable Feynman path integrals. Available at: https://arxiv.org/abs/hepth/9302053Grosche, C. Classification of solvable Feynman path integrals [Electronic Resource] / C. Grosche, F. Steiner. – Mode of access: https://arxiv.org/abs/hep-th/9302053Grosche, C. Classification of solvable Feynman path integrals [Electronic Resource] / C. Grosche, F. Steiner. – Mode of access: https://arxiv.org/abs/hep-th/9302053

The authors declare that there are no conflicts of interest present.