vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-1-34-47vestifm-627Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПроизвольной гладкости классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – ФокаThe classical solution of arbitrary smoothness for the first mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equationКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Корзюк Виктор Иванович – академик Национальной  академии наук Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Viktor I. Korzyuk – Academician of the National Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk 

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0001-6839-7997СтолярчукИ. И.StolyarchukI. I.

Столярчук Иван Игоревич – кандидат физико-математических наук

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Ivan I. Stolyarchuk – Ph. D. (Physics and Mathematics)

11, Surganov Str., 220072, Minsk 

ivan.telkontar@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2022040420225813447Copyright © Корзюк В.И., Столярчук И.И., 20222022Корзюк В.И., Столярчук И.И.Korzyuk V.I., Stolyarchuk I.I.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/627

Рассматривается первая смешанная задача для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе, при этом исследуется существование и единственность решения произвольной гладкости. При решении данной задачи с помощью метода характеристик возникают эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры второго рода. Для полученных интегральных уравнений доказано существование единственного решения в классе n раз непрерывно дифференцируемых функций при заданной гладкости начальных данных. Показано также, что для гладкости решения исходной задачи необходимо и достаточно выполнения условий согласования заданных функций при их достаточной гладкости. Метод характеристик сводится к разбиению всей области решения на подобласти, в каждой из которых строятся решения подзадач с использованием начальных и граничных условий. Полученные решения затем склеиваются в общих точках, порождая условия склейки, которые и являются условиями согласования. Данный подход позволяет строить как точные, так и приближенные решения. Точные решения могут быть найдены тогда, когда удается разрешить эквивалентные интегральные уравнения Вольтерры. В противном случае можно найти приближенное решение задачи либо в аналитическом, либо в численном виде. Наряду с этим при построении приближенного решения существенными оказываются условия согласования, которые необходимо учитывать при использовании численных методов решения задачи.

In this paper, we consider the first mixed problem for the one-dimensional Klein – Gordon – Fock type equation in a half-strip. Meanwhile, the existence and uniqueness of a solution of arbitrary smoothness is researched. While solving this problem using the method of characteristics, equivalent second type Volterra integral equations appear. The existence of a unique solution in the class of n times continuously differentiable functions is proven for these equations when initial functions are smooth enough. Moreover, it is shown that for the smoothness of the solution of the initial problem it is necessary and sufficient that the matching conditions for the given functions be fulfilled if they are sufficiently smooth. The method of characteristics, used for problem analysis, is reduced to separating the total area of the solution on subdomains in each of them so that the solution of the subproblem is constructed with the help of the initial and boundary conditions. Then, the obtained solutions are glued in common points, and the received glued conditions are the matching conditions. This approach permits to construct both exact and approximate solutions. The exact solutions can be found when it is possible to solve the equivalent Volterra integral equations. Otherwise, one can find an approximate solution of the problem either in analytical or numerical form. Along with this, when constructing an approximate solution, the matching conditions turn out to be essential, which must be taken into account when using numerical methods for solving the problem.

уравнение Клейна – Гордона – Фокаметод характеристикклассическое решениепервая смешанная задачаусловия согласованияKlein – Gordon – Fock equationmethod of characteristicsclassical solutionfirst mixed problemmatching conditionsReferencesКорзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1105–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein – Gordon – Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. https://doi.org/10.1134/S0374064114080081Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 1. – С. 77–88.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical Solution of the First Mixed Problem for Second-Order Hyperbolic Equation in Curvilinear Half-Strip with Variable Coefficients. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 74–85. https://doi.org/10.1134/S0012266117010074Корзюк, В. И. Граничные задачи для слабо нагруженного оператора гиперболического уравнения второго порядка в цилиндрической области / В. И. Корзюк, М. Т. Дженалиев, И. С. Козловская // Докл. Нац. акад. наук Беларуcи. – 2015. – Т. 59, № 6. – С. 33–39.Korzyuk V. I., Dzhenaliev M. T., Kozlovskaya I. S. Boundary problems for a weakly loaded operator of the second order hyperbolic equation in th cylindrical area. Doklady Natsionalꞌnoi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2015, vol. 59, no. 6, pp. 33–39 (in Russian).Ладыженская, О. А. О решении смешанной задачи для гиперболических уравнений / О. А. Ладыженская // Изв. Акад. наук СССР. Мат. серия. – 1951. – № 15. – С. 545–562.Ladyzhenskaya O. A. On the Solvability of Mixed Boundary Value Problems for hyperbolic equations. Izvestia Akademii nauk SSSR Matemticheskay seriya [Proceedings of the Academy of Sciences of USSR. Mathematical series], 1951, no. 15, pp. 545–562 (in Russian).Моисеев, Е. И. Разрешимость смешанной задачи для волнового уравнения с динамическим граничным условием / Е. И. Моисеев, А. А. Холомеева // Дифференц. уравнения. – 2012. – Т. 48, № 10. – С. 1412–1417.Moiseev E. I., Kholomeeva A. A. Solvability of the mixed problem for the wave equation with a dynamic boundary condition. Differential Equations, 2012, vol. 48, no. 10, pp. 1392–1397. https://doi.org/10.1134/S0012266112100096Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для волнового уравнения в цилиндрической области / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2021. – Т. 65, № 1. – С. 135–138.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the wave equation in the cylyndrical domain. Doklady Natsionalꞌnoi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2021, vol. 65, no. 2, pp. 135–138 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-2-135-138Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для уравнения Клейна – Гордона – Фока с нелокальными условиями / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Тр. Ин-та математики. – 2018. – Т. 26, № 1. – C. 56–72.Korzyuk V. I. Classical solution to the mixed problem for the Kleina – Gordona – Foka equation with the unlocal conditions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2018. vol. 26, no. 1, pp. 56–72 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.