vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-1-48-59vestifm-628Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSФормулы полной вероятности и Байеса для совместных многомерно-матричных гауссовских распределенийTotal probability and Bayes formulae for joint multidimensional-matrix Gaussian distributionsМухаВ. С.MukhaV. S.

Муха Владимир Степанович – доктор технических наук, профессор, профессор кафедры информационных технологий автоматизированных систем

ул. П. Бровки, 6, 220013, Минск

Vladimir S. Mukha – Dr. Sc. (Engineering), Professor, Professor of the Department of Information Technologies of Automated Systems

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk 

mukha@bsuir.byКакоН. Ф.KakoN. F.

Како Нэнси Форат – аспирант

ул. П. Бровки, 6, 220013, Минск

Nancy Forat Kako – Postgraduate Student

6, P. Brovka Str., 220013, Minsk 

kako.nancy@gmail.comБелорусский государственный университет информатики и радиоэлектроникиBelarusian State University of Informatics and Radioelectronics2022040420225814859Copyright © Муха В.С., Како Н.Ф., 20222022Муха В.С., Како Н.Ф.Mukha V.S., Kako N.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/628

Работа посвящена разработке математического аппарата для получения байесовских оценок параметров многомерных регрессионных объектов в их конечномерном многомерно-матричном описании. Такая потребность возникает, в частности, в задаче дуального управления регрессионными объектами, когда для описания многомерного управляемого объекта применяется многомерно-матричный математический аппарат. В статье вводится понятие одномерной случайной ячейки как совокупности многомерных случайных матриц (в соответствии с данными типа «массив ячеек» в системе программирования Матлаб) и дается определение совместного гауссовского распределения многомерных случайных матриц (определение гауссовской одномерной случайной ячейки). Это потребовало введения понятия одномерной ячейки математического ожидания и понятия двумерной ячейки вариаций-ковариаций одномерной случайной ячейки. Далее вычисляется один интеграл, связанный с функцией совместной гауссовской плотности вероятности многомерных случайных матриц. Приводятся две формулы полной вероятности и формула Байеса для совместных многомерно-матричных гауссовских распределений. На основе этих результатов получены байесовские оценки неизвестных коэффициентов многомерно-матричной полиномиальной функции регрессии. Алгоритм расчета байесовских оценок реализован в виде компьютерной программы. Представленные результаты обладают теоретической и алгоритмической общностью.

This paper is devoted to the development of a mathematical tool for obtaining the Bayesian estimations of the parameters of multidimensional regression objects in their finite-dimensional multidimensional-matrix description. Such a need arises, particularly, in the problem of dual control of regression objects when multidimensional-matrix mathematical formalism is used for the description of the controlled object. In this paper, the concept of a one-dimensional random cell is introduced as a set of multidimensional random matrices (in accordance with the “cell array” data type in the Matlab programming system), and the definition of the joint multidimensional-matrix Gaussian distribution is given (the definition of the Gaussian one-dimensional random cell). This required the introduction of the concepts of one-dimensional cell of the mathematical expectation and two-dimensional cell of the variance-covariance of the one-dimensional random cell. The integral connected with the joint Gaussian probability density function of the multidimensional matrices is calculated. The two formulae of the total probability and the Bayes formula for joint multidimensional-matrix Gaussian distributions are given. Using these results, the Bayesian estimations of the unknown coefficients of the multidimensional-matrix polynomial regression function are obtained. The algorithm of the calculation of the Bayesian estimations is realized in the form of the computer program. The results represented in the paper have theoretical and algorithmic generality.

случайная ячейкагауссовская случайная ячейкамногомерно-матричная регрессиябайесовские оценкиrandom cellGaussian random cellmultidimensional-matrix regressionBayesian estimationsReferencesMukha V. S. Calculation of integrals connected with the multivariate Gaussian distribution. Proceedings of the LETI, 1974, vol. 160, pp. 27–30 (in Russian).Mukha V. S. Calculation of integrals connected with the multivariate Gaussian distribution. Proceedings of the LETI, 1974, vol. 160, pp. 27–30 (in Russian).Mukha V. S., Sergeev E. V. Bayesian estimations of the parameters of the regression objects. Proceedings of the LETI, 1974, vol. 149, pp. 26–29 (in Russian).Mukha V. S., Sergeev E. V. Bayesian estimations of the parameters of the regression objects. Proceedings of the LETI, 1974, vol. 149, pp. 26–29 (in Russian).Mukha V. S., Kako N. F. Integrals and integral transformations connected with vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 457–466. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-457-466Mukha V. S., Kako N. F. Integrals and integral transformations connected with vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 4, pp. 457–466. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-4-457-466Mukha V. S., Kako N. F. Total probability formula for vector Gaussian distributions. Doklady BGUIR, 2021, vol. 19, no. 2, pp. 58–64. https://doi.org/10.35596/1729-7648-2021-19-2-58-64Mukha V. S., Kako N. F. Total probability formula for vector Gaussian distributions. Doklady BGUIR, 2021, vol. 19, no. 2, pp. 58–64. https://doi.org/10.35596/1729-7648-2021-19-2-58-64Mukha V. S., Kako N. F. The integrals and integral transformations connected with the joint vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 2, pp. 206–216. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-206-216Mukha V. S., Kako N. F. The integrals and integral transformations connected with the joint vector Gaussian distribution. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 2, pp. 206–216. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-2-206-216Feldbaum A. A. Optimal Control Systems. New York, London, Academic Press, 1965. 452 p.Feldbaum A. A. Optimal Control Systems. New York, London, Academic Press, 1965. 452 p.Mukha V. S. On the dual control of the inertialess objects. Proceedings of the LETI, 1973, vol. 130, pp. 31–37 (in Russian).Mukha V. S. On the dual control of the inertialess objects. Proceedings of the LETI, 1973, vol. 130, pp. 31–37 (in Russian).Mukha V. S., Kako N. F. Dual Control of Multidimensional-matrix Stochastic Objects. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2019 (ITS 2019): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, 30 oktyabrya 2019 g. [Information Technologies and Systems 2019 (ITS 2019): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, 30th October 2019]. Minsk, 2019, pp. 236–237 (in Russian)Mukha V. S., Kako N. F. Dual Control of Multidimensional-matrix Stochastic Objects. Informatsionnye tekhnologii i sistemy 2019 (ITS 2019): Materialy mezhdunarodnoi konferentsii, BGUIR, Minsk, 30 oktyabrya 2019 g. [Information Technologies and Systems 2019 (ITS 2019): Proceeding of the International Conference, BSUIR, Minsk, 30th October 2019]. Minsk, 2019, pp. 236–237 (in Russian)Mukha V. S. Analysis of Multidimensional Data. Minsk, Technoprint Publ., 2004. 368 p. (in Russian).Mukha V. S. Analysis of Multidimensional Data. Minsk, Technoprint Publ., 2004. 368 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.