vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-1-60-70vestifm-629Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSПостроение решений отдельных классов модельных задач с разрешающими уравнениями дробного порядкаThe construction of solutions for some model problem classes with resolvent equations of a fractional orderЖуравковМ. А.ZhuravkovM. A.

Журавков Михаил Анатольевич – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики

ул. Бобруйская, 9, 220006, Минск

Michael A. Zhuravkov – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Theoretical and Applied Mechanics

9, Bobruiskaya Str., 220030, Minsk

zhuravkov@bsu.byКолячкоВ. В.KolyachkoV. V.

Колячко Владислав Владимирович – ассистент лаборатории прикладной механики, кафедра теоретической и прикладной механики

ул. Бобруйская, 9, 220006, Минск

Vladislav V. Kolyachko – Assistant of Laboratory of Applied Mechanics, Theoretical and Applied Mechanics Department

9, Bobruiskaya Str., 220030, Minsk 

Белорусский государственный университетBelarusian State University2022040420225816070Copyright © Журавков М.А., Колячко В.В., 20222022Журавков М.А., Колячко В.В.Zhuravkov M.A., Kolyachko V.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/629

Приведены новые примеры построения модельных задач механики деформируемого твердого тела с использованием аппарата дробного дифференцирования. Построены решения краевых задач механики, в которых определяющие дифференциальные уравнения имеют дробный порядок. Рассмотрены, в частности, такие задачи, как модель «фрактального» осциллятора, модельная задача о распространении динамических волн в массивах горных пород, модельные задачи о распространении волн деформаций в деформируемых вязкоупругих средах (полубесконечном вязкоупругом стержне) для различных моделей вязкоупругости. При построении решений использовался алгоритм Майнарди и преобразование Лапласа. Найдены модельные решения для рассмотренных классов задач. Получены асимптотические решения уравнений распространения волн в вязкоупругих средах при различных моделях вязкоупругости.

In this paper, we represent new examples of constructing model problems of the mechanics of a deformable solid using a fractional differentiation apparatus. The solutions to boundary problems of mechanics are found, in which the defining differential equations have a fractional order. In particular, such problems as a model of a “fractal” oscillator, a model problem on the dynamic of wave propagation in rock, model problems on the deformation of wave propagation in deformable viscoelastic media (a semi-infinite viscoelastic rod) for various viscoelasticity models are considered. When building the solutions, the Mainardi algorithm and the Laplace transformation are used. Model solutions for the considered problems are built. Asymptotic solutions of wave propagation equations in viscoelastic media under different viscoelasticity models are obtained.

дробная производная Римана – Лиувиллядробная производная Капутопреобразование Лапласаалгоритм Майнардимодель «фрактального» осциллятораволновое фрактальное уравнение геомеханикидробные модели вязкоупругостиfractional derivative of Riemann – Liouvillefractional Caputo derivativeLaplace transformMainardi algorithmfractal oscillator modelwave fractal equation of geomechanicsfractional viscoelasticity modelsReferencesСамко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. – Минск: Наука и техника, 1987. – 687 с.Samko S. G., Kilbas A. А., Marichev A. I. Fractional Integrals and Derivatives and Some Applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1987. 687 p. (in Russian)Miller, K. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations / K. Miller, B. Ross. – New York: Wiley, 1993. – 384 p.Miller K., Ross B. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. New York, Wiley, 1993. 384 p.Zhuravkov, M. Review of methods and approaches for mechanical problem solutions based on fractional calculus / M. Zhuravkov, N. Romanova // Math. Mech. Solids. – 2014. – Vol. 21, № 5. – P. 595–620. https://doi.org/10.1177/1081286514532934Zhuravkov M., Romanova N. Review of methods and approaches for mechanical problem solutions based on fractional calculus. Mathematics and Mechanics of Solids, 2014, vol. 21, no. 5, pp. 595–620 https://doi.org/10.1177/1081286514532934Bosiakov, S. Fractional Calculus in Biomechanics / S. Bosiakov // Encyclopedia of Continuum Mechanics. – Berlin; Heidelberg: Springer, 2020. – Vol. 2. – P. 946–953. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55771-6_76Bosiakov S. Fractional Calculus in Biomechanics. Encyclopedia of Continuum Mechanics, vol. 2. Berlin, Heidelberg, Springer, 2020, pp. 946–953. https://doi.org/10.1007/978-3-662-55771-6_76Rossikhin, Y. A. Calculus Models in Dynamic Problems / Y. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Viscoelastivity. Handbook of Fractional Calculus with Applications. – 2019. – Vol. 7, part A. – P. 139–158.Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Calculus Models in Dynamic Problems. Viscoelastivity. Handbook of Fractional Calculus with Applications, 2019, vol. 7, part A, pp. 139–158.Мейланов, Р. П. Фрактальный осциллятор с затуханием / Р. П. Мейланов, М. А. Назаралиев, В. Д. Бейбалаев // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: материалы Первой междунар. науч. конф. – Махачкала, 2003. – С. 70–71.Meylanov R. P., Nazarliev M. A., Beybalaev V. D. Fractal oscilyator c zatuxaniem (Fractal oscillator with attenuation). Funktsional’no-differentsial’nye uravneniya i ikh prilozheniya: materialy Pervoi mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii [Functional differential equations and their applications: Proceedings of the First International Scientific Conference]. Makhachkala, 2003, pp. 70–71 (in Russian).Gudehus, G. Clasmatic seismodynamics – Oxymoron or pleonasm? / G. Gudehus, A. Touplikiotis // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. – 2012. – Vol. 38. – P. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.soildyn.2011.11.002Gudehus G., Touplikiotis A. Clasmatic seismodynamics – Oxymoron or pleonasm? Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2012, vol. 38, pp. 1–14. https://doi.org/10.1016/j.soildyn.2011.11.002Gorenfo, R. Stability and seismicity of fractal fault systems in a fractional image / R. Gorenfo, G. Gudehus, A. Touplikiotis // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik. – 2014. – Vol. 95, № 11. – P. 1–39. https://doi.org/10.1002/zamm.201300020Gorenfo R., Gudehus G., Touplikiotis A. Stability and seismicity of fractal fault systems in a fractional image. Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanic, vol. 95, no. 11, pp. 1–39. https://doi.org/10.1002/zamm.201300020Журавков, М. А. Механика сплошных сред. Теория упругости и пластичности / М. А. Журавков, Э. И. Старовойтов. – Минск: БГУ, 2011. – 543 с.Zhuravkov M. A., Starovoytov E. I. Continua Mechanics. The Theory of Elasticity and Plasticity. Minsk, BSU, 2011. 543 p. (in Russian).Colombaro, I. On Transient Waves in Linear Viscoelasticity / I. Colombaro, A. Giusti, F. Mainardi // Wave Motion. – 2017. – Vol. 74. – P. 191–212. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2017.07.008Colombaro I., Giusti A., Mainardi F. On Transient Waves in Linear Viscoelasticity. Wave Motion, 2017, vol. 74, pp. 191–212. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2017.07.008Mainardi, F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity / F. Mainardi. – London: Imperial College Press, 2010. – 368 p. https://doi.org/10.1142/p614Mainardi F. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity. London, Imperial College Press, 2010. 368 p. https://doi.org/10.1142/p614

The authors declare that there are no conflicts of interest present.