vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-1-71-75vestifm-630Research ArticleФИЗИКАPHYSICSКвантовый ротатор на трехмерной сфереA quantum rotator on a three-dimensional sphereКурочкинЮ. А.KurochkinYu. A.

Курочкин Юрий Андреевич – доктор физико-математических наук, заведующий центром «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика»

пр. Независимости, 68-2, 220072, Минск

Yurii A. Kurochkin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Head of the Center “Fundamental Interactions and Astrophysics”

68-2, Nezavisimosti Ave., 220072, Minsk 

yukuroch@dragon.bas-net.byИнститут физики имени Б. И. Степанова Национальной академии наук БеларусиB. I. Stepanov Institute of Physics of the National Academy of Sciences of Belarus2022040420225817175Copyright © Курочкин Ю.А., 20222022Курочкин Ю.А.Kurochkin Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/630

На основе ранее решенной классической задачи сформулирована квантово-механическая задача о движении двух материальных точек различных масс на трехмерной сфере с нефиксированным положением центра масс системы. Показано, что в установленное уравнение Шредингера входят две различные приведенные массы, зависящие от расстояния между точками. Для случая потенциала взаимодействия точек, который зависит только от расстояния между ними, данное уравнение допускает разделение переменных на радиальную, зависящую от относительного расстояния, и обоих приведенных масс, а также сферическую части. Уравнение для сферической части зависит только от одной из приведенных масс и позволяет сформулировать и решить задачу о жестком ротаторе. Найдены решение и спектр задачи о жестком ротаторе. Показано, что спектр системы имеет верхнюю границу, не зависящую от расстояния между точками в отличие от спектра в плоском пространстве.

In this work, the quantum-mechanical problem of the motion of two material points of different masses on a three-dimensional sphere with a non-fixed position of the center of mass of the system is formulated on the basis of the previously solved classical problem. It is shown that the established Schrödinger equation includes two different reduced masses, depending on the distance between the points. For the case of the interaction potential of points, depending only on the distance between them, this equation allows the separation of variables into a radial, depending on the relative distance and both the reduced masses and the spherical part. The equation for the spherical part depends only on one of the above reduced mass and allows one to formulate and solve the problem of a rigid rotator - the distance between the points is fixed. The solution and spectrum of the problem of a rigid rotator are found. It is shown that the spectrum of the system has an upper limit that does not depend on the distance between points, in contrast to the spectrum in a flat space.

центр масстрехмерная сферауравнения Гамильтона – ЯкобиШредингераприведенная массаметрикаротаторспектрcenter massthree dimension sphereHamilton – Jacoby equationSchrödinger equationreduce massmetricsrotatorspectrumАвтор благодарит В. М. Редькова и участников семинара центра «Фундаментальные взаимодействия и астрофизика» за интересную дискуссию, Н. Д. Шайковскую за полезные замечания.The author is thankful to V. M. Redkov and participants of the seminar of the Center “Fundamental Interactions and Astrophysics” for an interesting discussion, N. D. Shaikovskaya for useful comments.ReferencesKurochkin, Yu. On the separation of variables into relative and center of mass motion for two-body system in three-dimensional spaces of constant curvature / Yu. Kurochkin, Dz. Shoukavy, I. Boyarina // Nonlinear Phenom. Complex Syst. – 2016. – Vol. 19, № 4. – P. 378–386.Kurochkin Yu., Shoukavy Dz., Boyarina I. On the separation of variables into relative and center of mass motion for two-body system in three-dimensional spaces of constant curvature. Nonlinear Phenomena in the Complex Systems, 2016, vol. 19, no. 4, pp. 378–386.Гальперин, Г. А. О понятии центра масс системы материальных точек в пространствах постоянной кривизны / Г. А. Гальперин // Докл. Акад. наук СССР. – 1988. – Т. 302, № 5. – С. 1039–1044.Gal’perin G. A. On the concept of the center of mass of a system of material points in spaces of constant curvature. Doklady Akademii nauk SSSR = Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 1988, vol. 302, no. 5, pp. 1039–1044 (in Russian).Щепетилов, А. В. Анализ и механика на двухточечно-однородных римановых пространствах / А. В. Щепетилов. – Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ин-т компьютер. исслед., 2008. – 360 с.Shchepetilov A. V. Calculus and Mechanics on Two-Point Homogenous Riemannian Spaces. Berlin, Heidelberg, Springer, 2006. 242 p. https://doi.org/10.1007/b11771456Курочкин, Ю. А. Теорема о центре масс в трехмерных пространствах постоянной кривизны / Ю. А. Курочкин, Д. В. Шелковый, И. П. Боярина // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 328– 334. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-328-334Kurochkin Yu. A., Shoukavy Dz. V., Boyurina I. P. Center mass theorem in three dimensional spaces with constant curvature. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 328–334 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-328-334

The authors declare that there are no conflicts of interest present.