vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-2-135-143vestifm-638Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSВещественная автономная квадратичная система трех дифференциальных уравнений с бесконечным числом предельных цикловA real autonomous quadratic system of three differential equations with an infinite number of limit cyclesГриньА. А.HrynA. A.

Гринь Александр Александрович – доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа, дифференциальных уравнений и алгебры

ул. Ожешко, 22, 230023, Гродно

Aliaksandr A. Hryn – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department of Mathematical Analysis, Differential Equations and Algebra

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

grin@grsu.byМусафировЭ. В.MusafirovE. V.

Мусафиров Эдуард Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры технической механики

ул. Курчатова, 1а, 230005

Eduard V. Musafirov – Ph. D. (Physics and Mathe matics), Associate Professor of the Department of Technical Mechanics

1а, Kurchatov Str., 230005, Grodno

Musafirov_ev@grsu.byПроневичА. Ф.PranevichA. F.

Проневич Андрей Францевич – кандидат физико-математических наук, доцент, проректор по научной работе

ул. Гаспадарчая, 23, 230005, Гродно

Andrei F. Pranevich – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Vice-Rector for Research

23, Gaspadarchaya Str., 230005, Grodno

pranevich@grsu.byГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno202205072022582135143Copyright © Гринь А.А., Мусафиров Э.В., Проневич А.Ф., 20222022Гринь А.А., Мусафиров Э.В., Проневич А.Ф.Hryn A.A., Musafirov E.V., Pranevich A.F.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/638

Рассматривается задача построения вещественных автономных квадратичных систем трех дифференциальных уравнений с нелокальным существованием бесконечного числа предельных циклов. Имеется в виду, что бесконечное число предельных циклов, появившись из фокуса за счет бифуркации Андронова – Хопфа, может существовать в фазовом пространстве не только в окрестности фокуса и не только для значений параметра, близких к бифуркационному значению. Для решения поставленной задачи применяется способ нахождения предельных циклов как линий пересечения инвариантной плоскости с семейством инвариантных эллиптических параболоидов. Затем исследование предельных циклов построенной системы третьего порядка сводится к исследованию соответствующей системы второго порядка на каждом из инвариантных эллиптических параболоидов. Доказательство нелокального существования предельного цикла и установление характера его устойчивости для такой системы второго порядка проводится с помощью построения топографической системы Пуанкаре или перехода к полярным координатам.

In this paper, we consider the problem of construction of real autonomous quadratic systems of three differential equations with the nonlocal existence of an infinite number of limit cycles. This means that an infinite number of limit cycles, emerging from the focus due to the Andronov – Hopf bifurcation, can exist in the phase space not only in the vicinity of the focus and not only for parameter values close to the bifurcation value. To solve this problem we use the method of determination of limit cycles as the curves of intersection of an invariant plane with a family of invariant elliptic paraboloids. Then the study of the limit cycles of the constructed system of the third order is reduced to the study of the corresponding system of the second order on each of the invariant elliptic paraboloids. The proof of the nonlocal existence of the limit cycle and the investigation of its stability for such a second-order system is carried out by constructing a topographic system of Poincaré functions or by transforming to polar coordinates.

автономная квадратичная система третьего порядкапредельный циклинвариантная поверхностьточка покоябифуркация Андронова – Хопфаautonomous quadratic system of the third orderlimit cycleinvariant surfacestationary pointAndronov – Hopf bifurcationИсследование поддержано проектом Horizon 2020-2017-RISE-777911.The research is supported by the project Horizon 2020-2017-RISE-777911.ReferencesМетоды качественной теории в нелинейной динамике / Л. П. Шильников [и др.]. – М.; Ижевск: Ин-т компьютер. исслед., 2003. – 428 с.Shil′nikov L. P., Shil′nikov A. L., Turaev D. V., Chua L. Methods of Qualitative Theory in Nonlinear Dynamics. Moskow, Izhevsk, Institute for Computer Research, 2003. 428 p. (in Russian).Hirsch, M. V. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos / M. W. Hirsch, S. Smile, R. L. Devaney. – Amsterdam: Academic Press, 2013. – 418 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-61160-0Hirsch M. W., Smale S., Devaney R. L. Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos. Amsterdam, Academic Press, 2013. 418 p. https://doi.org/10.1016/C2009-0-61160-0Kuznetsov, Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory / Y. A. Kuznetsov. – 2nd ed. – New York: Springer-Verlag, 1998. – 593 p. – (Applied Mathematical Sciences; vol. 112). https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2421-9Kuznetsov Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory, 2nd ed. Applied Mathematical Sciences, vol. 112. New York, Springer-Verlag, 1998. 593 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2421-9Bifurcation Theory and Catastrophe Theory / V. I. Arnold [et al]; ed. V. I. Arnold. – New York: Springer-Verlag, 1994. – 274 p. – (Dynamical Systems V / Encyclopaedia of Mathematical Sciences; vol. 5). https://doi.org/10.1007/978-3-642-57884-7Arnold V. I., Afraimovich V. S., Il′yashenko Y. S., Shil′nikov L. P. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Dynamical Systems V. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol. 5. New York, Springer-Verlag, 1994. 274 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-57884-7Wiggins, S. Introduction to Applied Non-linear Dynamical Systems and Chaos / S. Wiggins. – 2nd ed. – New York: Springer-Verlag, 2003. – 844 p. – (Texts in Applied Mathematics; vol. 2).Wiggins S. Introduction to Applied Non-linear Dynamical Systems and Chaos, 2nd ed. Texts in Applied Mathematics, vol. 2. New York, Springer-Verlag, 2003. 844 p.Hassard, B. D. Theory and Applications of Hopf Bifurcation / B. D. Hassard, N. D. Kazarinoff, Y.-H. Wan. – Cambridge: Cambridge University Press, 1981. – 320 p. – (London Mathematical Society Lecture Note Series; vol. 41).Hassard B. D., Kazarinoff N. D., Wan Y.-H. Theory and Applications of Hopf Bifurcation. London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 41. Cambridge, Cambridge University Press, 1981. 320 p.Reyn, J. Phase portraits of planar quadratic systems / J. Reyn. – New York: Springer-Verlag, 2007. – 334 p. – (Mathematics and Its Applications; vol. 583). https://doi.org/10.1007/978-0-387-35215-2Reyn J. Phase Portraits of Planar Quadratic Systems. Mathematics and Its Applications, vol. 583. New York, Springer- Verlag, 2007. 334 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-35215-2Булгаков, В. И. Об одной бифуркации негрубого фокуса автономной системы третьего порядка / В. И. Булгаков, А. А. Гринь // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 12. – С. 1703.Bulgakov V. I., Grin A. A. On one bifurcation of a non-rough focus of a third-order autonomous system. Differential Equations, 1996, vol. 32, no. 12, pp. 1697–1698.Romanovski, V. G. Centers and limit cycles in polynomial systems of ordinary differential equations / V. G. Romanovski // Advanced Studies in Pure Mathematics. – 2016. – Vol. 68. – P. 267–373. https://doi.org/10.2969/aspm/06810267Romanovski V. G., Shafer D. S. Centers and limit cycles in polynomial systems of ordinary differential equations. Advanced Studies in Pure Mathematics, 2016, vol. 68, pp. 267–373. https://doi.org/10.2969/aspm/06810267Баутин, Н. Н. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости / Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович. – 2-е изд., доп. – М.: Наука, 1990. – 486 с.Bautin N. N., Leontovich E. A. Methods and Techniques for the Qualitative Study of Dynamical Systems on a Plane. Moscow, Nauka Publ., 1990. 486 p. (in Russian).Tigan, G. Degenerate Fold – Hopf Bifurcations in a Rössler-Type System / G. Tigan, J. Llibre, L. Ciurdariu // Int. J. Bifurcation Chaos. – 2017. – Vol. 27, № 5. – P. 1–8. https://doi.org/10.1142/S0218127417500687Tigan G., Llibre J., Ciurdariu L. Degenerate Fold–Hopf Bifurcations in a Rössler-Type System. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2017, vol. 27, no. 5, pp. 1–8. https://doi.org/10.1142/S0218127417500687Черкас, Л. А. Конструктивные методы исследования предельных циклов автономных систем второго порядка (численно-алгебраический подход) / Л. А. Черкас, А. А. Гринь, В. И. Булгаков. – Гродно: ГрГУ, 2013. – 489 с.Cherkas L. A., Grin A. A., Bulgakov V. I. Constructive Methods of Investigation of Limit Cycles of Second Order Autonomous Systems (Numerical-Algebraic Approach). Grodno, GrGU Publ., 2013. 489 p. (in Russian).Булгаков, В. И. О фазовом портрете автономной системы третьего порядка / В. И. Булгаков // Дифференц. уравнения. – 1988. – Т. 24, № 10. – С. 1821–1822.Bulgakov V. I. On the phase portrait of a third-order autonomous system. Differentsial′nye uravneniya [Differential Equations], 1988. vol. 24, no. 10, pp. 1821–1822 (in Russian).Булгаков, В. И. О бифуркациях предельных циклов квадратичной трехмерной системы в окрестности негрубого фокуса / В. И. Булгаков, Л. А. Черкас // Докл. АН БССР. – 1982. – Т. 26, № 108. – С. 681–684.Bulgakov V. I. About Bifurcations of Limit Cycles of a Quadratic Three-Dimensional System in a Neighborhood of a Non-Rough Focus. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1982. vol. 26, no. 108, pp. 681–684 (in Russian).Bibikov, Y. N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations / Y. N. Bibikov. – New York: Springer-Verlag, 1979. – 150 p. – (Lecture Notes in Mathematics; vol. 702).Bibikov Y. N. Local Theory of Nonlinear Analytic Ordinary Differential Equations. Lecture Notes in Mathematics, vol. 702. New York, Springer-Verlag, 1979. 150 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.