vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-2-144-154vestifm-639Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОбобщенные решения уравнения РиккатиGeneralized solutions of the Riccati equationhttps://orcid.org/0000-0002-6773-1743КузьминаЕ. В.KuzminaE. V.

Кузьмина Елена Викторовна – старший преподаватель кафедры высшей математики

ул. Московская, 267, 224017, Брест

Elena V. Kuzmina – Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics

267, Moskovskaya Str., 224017, Bres

elena_kuzmina@inbox.ruБрестский государственный технический университетBrest State Technical University202205072022582144154Copyright © Кузьмина Е.В., 20222022Кузьмина Е.В.Kuzmina E.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/639

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка иерархии Риккати. Понятие обобщенного решения для такого уравнения не может быть введено в рамках классической теории обобщенных функций ввиду того, что не определено произведение обобщенных функций. Для введения понятия обобщенного решения рассмотрены два подхода. При первом подходе использована аппроксимация решениями задачи Коши с комплексными начальными условиями и обобщенные решения определены как пределы аппроксимирующих семейств в смысле сходимости в D′(¡). Показано, что существуют два обобщенных решения задачи Коши. Вид решения зависит от того, в верхней или в нижней полуплоскости расположены полюсы аппроксимирующего решения. При втором подходе используется аппроксимация с помощью системы уравнений. Показано, что существует много аппроксимирующих систем и обобщенные решения задачи Коши зависят от выбора аппроксимирующей системы.

In this paper, we consider a nonlinear differential equation of the first order of the Riccati hierarchy. The concept of a generalized solution for such an equation cannot be introduced within the framework of the classical theory of generalized functions because the product of generalized functions is not defined. To introduce the concept of a generalized solution, two approaches are considered. In the first approach, approximation by solutions of the Cauchy problem with complex initial conditions is used, and generalized solutions are defined as limits of approximating families in the sense of convergence in D′(¡). It is shown that there are two generalized solutions of the Cauchy problem. The type of solution depends on whether the poles of the approximating solution are located in the upper or lower half-plane. The second approach uses approximation with a system of equations. It is shown that there are many approximating systems, meanwhile, generalized solutions of the Cauchy problem depend on the choice of the approximating system.

обобщенная функцияобобщенное решение нелинейного уравнениясвойство Пенлевеаппроксимирующая системаgeneralized functiongeneralized solution of a nonlinear equationPainlevé propertyapproximating systemReferencesВладимиров, В. С. Обобщенные функции в математической физике / В. С. Владимиров. – М.: Наука, 1979. – 320 с.Vladimirov V. S. Generalized Functions in Mathematical Physics. Moscow, Nauka Publ., 1979. 320 p. (in Russian).Ince, E. L. Ordinary differential equations / E. L. Ince. – New York: Dover Publications, 1944. – 558 p.Ince E. L. Ordinary Differential Equations. New York, Dover Publ., 1944. 558 p.Громак, В. И. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве / В. И. Громак, Н. А. Лукашевич. – Минск: Университетское, 1990. – 157 с.Gromak V. I., Lukashevich N. A. Analytical Properties of Solutions of the Painlevé Equations. Minsk, Universitetskoe Publ., 1990. 157 p. (in Russian).Громак, В. И. О решениях второго уравнения Пенлеве / В. И. Громак // Дифференц. уравнения. – 1982. – Т. 18, № 5. – С. 753–763.Gromak V. I. Solutions of the third Painlevé equation. Differentsial'nyye uravneniya = Differential equations, 1982, vol. 18, no. 5, pp. 753–763 (in Russian).Альбеверио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, Х. Холден. – М.: Мир, 1991. – 568 с.Albeverio S., Gesztesy F., Høegh-Krohn R., Holden H. Models in Quantum Mechanics. Berlin etc., Springer-Verlag, 1988. 452 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-88201-2Данилов, В. Г. Алгебры особенностей сингулярных решений квазилинейных строго гиперболических систем первого порядка / В. Г. Данилов, В. П. Маслов, В. М. Шелкович // Теор. и мат. физика. – 1998. – Т. 114, № 1. – С. 3–55.Danilov V. G., Maslov V. P., Shelkovich V. M. Algebras of the singularities of singular solutions to first-order quasi-linear strictly hyperbolic systems. Theoretical and Mathematical Physics, 1998, vol. 114, no. 1, pp. 1–42. https://doi.org/10.1007/bf02557106Антоневич, А. Б. Обобщенные решения одного дифференциального уравнения с рациональным коэффициентом / А. Б. Антоневич, Т. Г. Шагова // Таврич. вестн. информатики и математики. – 2019. – № 3. – С. 23–36. sAntonevich A. B., Shahava T. G. Solutions of some differential equations in the distributions space. Tavriceskii vestnik informatiki i matematiki = Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics, 2019, no. 3, pp. 23–36 (in Russian). sАнтоневич, А. Б. Решения дифференциального уравнения u′ + u = 0 в пространстве распределений / А. Б. Ан- x тоневич, E. B. Кузьмина // Весн. Гродз. дзярж. ун-та імя Я. Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2020. – Т. 10, № 2. – С. 56–66.Antonevich A. B., Kuzmina E. V. Solutions of the differential equation u′ + u = 0 in the distributions space. Vesnik Hrodzenskaha Dziarzhaunaha Universiteta Imia Ianki Kupaly. Seryia 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naia x Tekhnika i Kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Technology and its Control, 2017, vol. 10, no. 22, pp. 56–66 (in Russian).Кузьмина, Е. В. Обобщенные решения дифференциального уравнения первого порядка с рациональным коэффициентом специального вида / E. B. Кузьмина // Проблемы физики, математики и техники. – 2021. – № 1 (46). – С. 54–61.Kuzmina E. V. Generalized solutions of the differential first-order equation with the special rational coefficient. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2021, no. 1 (46), pp. 54–61 (in Russian).Грицук, Е. В. Исследование обобщенной иерархии уравнения Риккати на свойство Пенлеве / Е. В. Грицук, E. B. Кузьмина // Весн. Брэсц. ун-та. Сер. 4, Фізіка. Матэматыка. – 2017. – № 2. – С. 64–72.Gritsuk Е. V., Kuzmina E. V. The study of the generalized hierarchy of the equation of Riссati on the Painlevé property. Vesnіk Brestskaga ўnіversіteta. Seryia 4. Fіzіka. Matematyka = Vesnik of Brest University. Series 4. Physics. Mathematics, 2017, no. 2, pp. 64–72 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.