vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-2-190-207vestifm-643Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб особенностях нелинейного анализа динамических систем на основе метода матричной декомпозицииOn the features of nonlinear analysis of dynamical systems based on the matrix decomposition methodhttps://orcid.org/0000-0003-0705-010XКротА. М.KrotA. M.

Крот Александр Михайлович – доктор технических наук, профессор, заведующий лабораторией моделирования самоорганизующихся систем

ул. Сурганова, 6, 220012, Минск

Alexander M. Krot – Dr. Sc. (Engineering), Professor, Chief of the Laboratory of Self-Organization System Modeling

6, Surganov Str., 220012, Minsk

alxkrot@newman.bas-nethttps://orcid.org/0000-0002-1355-8965СычёвВ. А.SychouU. A.

Сычёв Владислав Анатольевич – научный сотрудник, лаборатория робототехнических систем

ул. Сурганова, 6, 220012, Минск

Uladzislau A. Sychou – Researcher at the Laboratory of Robotic Systems

6, Surganov Str., 220012, Minsk

vsychyov@robotics.byОбъединенный институт проблем информатики Национальной академии наук БеларусиUnited Institute of Informatics Problems of the National Academy of Sciences of Belarus202205072022582190207Copyright © Крот А.М., Сычёв В.А., 20222022Крот А.М., Сычёв В.А.Krot A.M., Sychou U.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/643

Рассматривается применение метода матричной декомпозиции для анализа хаотического осциллятора Чжуа. Показано, что система уравнений, описывающих осциллятор, методом матричной декомпозиции может быть разложена на линейный, квадратичный и кубический члены. Разложение в матричный ряд позволило рассмотреть переход к хаосу в системе Чжуа с точки зрения модели начальной турбулентности Л. Д. Ландау. Возникновение нового хаотического состояния в системе при выборе стационарного значения переменной пространства состояний объясняется методом сечений Пуанкаре. Для системы уравнений, полученных методом матричной декомпозиции, проведен спектральный и бифуркационный анализ. Выполнено компьютерное моделирование полученной системы в среде MATLAB-Simulink. Компьютерная Simulink-модель является основой построения информационной технологии распознавания хаотической динамики осцилляторов типа Чжуа.

In this paper, we consider the application of the matrix decomposition method to analyze Chua’s chaotic oscillator. It is shown that Chua’s system of equations describing the oscillator can be expanded into linear, quadratic, and cubic terms using the matrix decomposition method. Decomposition into a matrix series permits to study transition to chaos in Chua’s system from the point of view of Landau’s model of initial turbulence. The emerging new chaotic state in the system when a new stationary value of a state-space variable is chosen is explained using the Poincaré section method. For the system of equations that are obtained using the matrix decomposition method, the spectral and bifurcation analysis is conducted. Simulations using MATLAB and Simulink are carried out. A computational Simulink-model is the basis for building an information technology for recognizing the chaotic dynamics of Chua-type oscillators.

нелинейная динамическая системасистема Чжуастранный аттрактортеория Рюэля – Такенсаметод матричной декомпозиции в пространстве состоянийимитационная модельбифуркационный анализхаотическая динамикаnonlinear dynamical systemChua’s systemstrange attractortheory of Ruelle–Takensmatrix decomposition method in the state-spacecomputational modelbifurcation analysischaotic dynamicsРабота выполнена частично при финансовой поддержке Белорусского республиканского фонда фундаментальных исследований (проект № Ф20Р-329 «Теоретические основы исследования волновых процессов и явлений в ионосфере с использованием сигналов спутниковых радионавигационных систем») и частично при финансовой поддержке Государственной программы научных исследований «Цифровые и космические технологии, безопасность человека, общества и государства», задания 1.10.3 (Т 103) и 1.3.1 (Т 31).This work was partially supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. Ф20Р-329 “Theoretical foundations of the study of wave processes and phenomena in the ionosphere using signals from satellite radio navigation systems”), and The State Scientific Research Program “Digital and space technologies, security of man, society and state”, tasks1.10.3 (Т 103) and 1.3.1 (T 31).ReferencesKrot, A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system / A. M. Krot // EUSIPCO-2000: Proc. X Eur. Signal Process. Conf., Tampere, Finland, Sept. 4–8, 2000. – Tampere, 2000. – Vol. 3. – P. 2453–2456.Krot A. M. The decomposition of vector functions in vector-matrix series into state-space of nonlinear dynamic system. EUSIPCO-2000: Proceedings X European Signal Processing Conference, Tampere, Finland, September 4–8, 2000. Vol. 3. Tampere, 2000, pp. 2453–2456.Крот, А. М. Анализ аттракторов сложных нелинейных динамических систем на основе матричных рядов в пространстве состояний / А. М. Крот // Информатика. – 2004. – № 1. – С. 7–16.Krot A. M. Analysis of attractors of complex nonlinear dynamical systems on the basis of matrix series in the statespace. Informatica = Informatics, 2004, no. 1, pp. 7–16 (in Russian).Krot, A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals / A. M. Krot // DSP-2009: Proc. 16th IEEE Int. Conf. Digital Signal Process., Thira, Santorini, Greece, July 5–7, 2009. – Santorini, 2009. – P. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Krot A. M. The development of matrix decomposition theory for nonlinear analysis of chaotic attractors of complex systems and signals. DSP-2009: Proceedings 16th IEEE International Conference on Digital Signal Processing, Thira, Santorini, Greece, July 5–7, 2009. Santorini, 2009, pp. 1–5. https://doi.org/10.1109/icdsp.2009.5201123Крот, А. М. Анализ хаотических режимов функционирования схемы Чжуа с гладкой нелинейностью на основе метода матричной декомпозиции / А. М. Крот, В. А. Сычев // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-тэхн. навук. – 2018. – Т. 63, № 4. – С. 501–512. https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512Krot A. M., Sychou U. A. The analysis of chaotic regimes in Chua’s circuit with smooth nonlinearity based on the matrix decomposition method. Vestsi Natsyyanal’nai akademii navuk Belarusi. Seryya fizika-technichnych navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physical-technical series, 2018, vol. 63, no. 4, pp. 501–512 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8358-2018-63-4-501-512Крот, А. М. Эволюционная модель хаотических волновых процессов в сложных динамических системах на основе теории матричной декомпозиции / А. М. Крот // Доповіді Нац. акад. наук України. – 2019. – № 9. – С. 12–19. https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.012Krot A. M. An evolutionary model of chaotic wave processes in complex dynamical systems based on the matrix decomposition theory. Dopovіdі Natsіonal'noї akademії nauk Ukraїni = Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2019, no. 9, pp. 12–19 (in Russian). https://doi.org/10.15407/dopovidi2019.09.012Wu, S. Chua's circuit family / S. Wu // Proc. IEEE. – 1987. – Vol. 75, № 8. – P. 1022–1032. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13847Wu S. Chua's circuit family. Proceedings of the IEEE, 1987, vol. 75, no. 8, pp. 1022–1032. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13847Zhong, G.-Q. Implementation of Chua's circuit with a cubic nonlinearity / G.-Q. Zhong // IEEE Trans. Circuits Syst. I: Fundam. Theory Appl. – 1994. – Vol. 41, № 12. – P. 934–941. https://doi.org/10.1109/81.340866Zhong G.-Q. Implementation of Chua's circuit with a cubic nonlinearity. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 1994, vol. 41, no. 12, pp. 934–941. https://doi.org/10.1109/81.340866Matsumoto, T. A chaotic attractor from Chua's circuit / T. Matsumoto // IEEE Trans. Circuits Syst. – 1984. – Vol. 31, № 12. – P. 1055–1058. https://doi.org/10.1109/tcs.1984.1085459Matsumoto T. A chaotic attractor from Chua's circuit. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1984, vol. 31, no. 12, pp. 1055–1058. https://doi.org/10.1109/tcs.1984.1085459Chua’s equation with cubic nonlinearity / A. Huang [et al.] // Int. J. Bifurc. Chaos. – 1996. – Vol. 06, № 12a. – P. 2175–2222. https://doi.org/10.1142/s0218127496001454Huang A., Pivka L., Wu C. H., Franz M. Chua’s equation with cubic nonlinearity. International Journal of Bifurcation and Chaos, 1996, vol. 06, no. 12a, pp. 2175–2222. https://doi.org/10.1142/s0218127496001454Choose a Solver [Electronic resource] // Mathworks help center. – 2021. – Mode of access: https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/choose-a-solver.html. – Date of access: 25.08.2021.Choose a Solver. Mathworks help center, 2021, Avaliable at: https://www.mathworks.com/help/simulink/ug/choosea-solver.html (accessed 25 August 2021).Ландау, Л. Д. К проблеме турбулентности / Л. Д. Ландау // Докл. Акд. наук СССР. – 1944. – Т. 44, № 8. – C. 339–342.Landau L. D. To the problem of turbulence. Doklady Akademii nauk SSSR = Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1944, vol. 44, no. 8, pp. 339–342 (in Russian).Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для студентов физ. специальностей ун-тов: в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц; под ред. Л. П. Питаевского. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, 1986.– Т. 6: Гидродинамика. – 736 с.Landau L. D., Lifschitz E. M. Fluid Mechanics. Oxford, Pergamon, 1959. XIII, 539 p.Ruelle, D. On the nature of turbulence / D. Ruelle, F. Takens // Commun. Math. Phys. – 1971. – Vol. 21, № 3. – P. 167– 192. https://doi.org/10.1007/bf01646553Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence. Communications in Mathematical Physics, 1971, vol. 21, no. 3, рp. 167–192. https://doi.org/10.1007/bf01646553Newhouse, S. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flows on Tm, m ≥ 3 / S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens // Commun. Math. Phys. – 1978. – Vol. 64, № 1. – P. 35–40. https://doi.org/10.1007/bf01940759Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi periodic flows on Tm, m ≥ 3. Communications in Mathematical Physics, 1978, vol. 64, no. 1, рр. 35–40. https://doi.org/10.1007/bf01940759Берже, П. Порядок в хаосе: о детерминистском подходе к турбулентности / П. Берже, И. Помо, К. Видаль. – М.: Мир, 1991. – 368 c.Bergé P., Pomeau Y., Vidal C. L’ordre dans le chaos: Vers une approche déterministe de la turbulence. Paris, Hermann, 1988.Matsumoto, T. Chaos in electronic circuits / T. Matsumoto // Proc. lEEE. – 1987. – Vol. 75, № 8. – P. 1033–1057. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13848Matsumoto T. Chaos in electronic circuits. Proceedings of the IEEE, 1987, vol. 75, no. 8, pp. 1033–1057. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13848Feigenbaum, M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. – 1978. – Vol. 19, № 1. – P. 25–52. https://doi.org/10.1007/bf01020332Feigenbaum M. J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 1978, vol. 19, no. 1, pp. 25–52. https://doi.org/10.1007/bf01020332Feigenbaum, M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations / M. J. Feigenbaum // J. Stat. Phys. – 1979. – Vol. 21, № 6. – P. 669–706. https://doi.org/10.1007/bf01107909Feigenbaum M. J. The universal metric properties of nonlinear transformations. Journal of Statistical Physics, 1979, vol. 21, no. 6, pp. 669–706. https://doi.org/10.1007/bf01107909Фейгенбаум, М. Универсальность в поведении нелинейных систем / М. Фейгенбаум // Успехи физ. наук. – 1983. – Т. 141, вып. 2. – С. 343–374.Feigenbaum M. J. Universal behavior in nonlinear systems. Los Alamos Science. 1980, vol. 1, no.1, pp. 4–27.Hasler, M. J. Electrical circuits with chaotic behavior / M. J. Hasler // Proc. IEEE. – 1987. – Vol. 75, № 8. – P. 1009– 1021. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13846Hasler M. J. Electrical circuits with chaotic behavior. Proceedings of the IEEE, 1987, vol. 75, no. 8, pp. 1009–1021. https://doi.org/10.1109/proc.1987.13846Handbook of Chaos Control / ed.: E. Schöll, H. G. Schuster. – Weinheim: Wiley VCH Verlag GmbH, 2007. – 819 p. https://doi.org/10.1002/9783527622313Schöll E., Schuster H. G. (eds.). Handbook of Chaos Control. Weinheim, Wiley VCH Verlag GmbH, 2007. 819 p. https://doi.org/10.1002/9783527622313Гинзбург, В. Л. О физике и астрофизике: ст. и выступ. / В. Л. Гинзбург. – М.: Наука, 1985. – 400 с.Ginzburg V. L. Physics and Astrophysics: A Selection of Key Problems. Pergamon, 1985. 140 p.Гинзбург, В. Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными (тридцать лет спустя, причем уже на пороге XXI века)? / В. Л. Гинзбург // Успехи физ. наук. – 1999. – Т. 169, № 4. – С. 419–441.Ginzburg V. L. What problems of physics and astrophysics seem now to be especially important and interesting (thirty years later, already on the verge of XXI century)? Physics-Uspekhi, 1999, vol. 42, no. 4, pp. 353–373. http://doi.org/10.1070/PU1999v042n04ABEH000562

The authors declare that there are no conflicts of interest present.