vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-3-263-279vestifm-663Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSК теории интерполирования функций на множествах матриц с адамаровым умножениемOn the theory of interpolation of functions on sets of matrices with the Hadamard multiplicationhttps://orcid.org/0000-0002-8029-1842ИгнатенкоМ. В.IgnatenkoM. V.

Игнатенко Марина Викторовна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедрывеб-технологий и компьютерного моделирования

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Marina V. Ignatenko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of WebTechnologies and Computer Simulation Departmen

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

ignatenkomv@bsu.byЯновичЛ. А.YanovichL. A.

Янович Леонид Александрович – член-корреспондент Национальной академии наук Беларуси, докторфизико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Leonid A. Yanovich – Corresponding Member of theNational Academy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physicsand Mathematics), Professor, Chief Researcher

11, Surganov Str., 220072, Minsk

yanovich@im.bas-net.byБелорусский государственный университетBelarusian State UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus202212102022583263279Copyright © Игнатенко М.В., Янович Л.А., 20222022Игнатенко М.В., Янович Л.А.Ignatenko M.V., Yanovich L.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/663

Работа посвящена проблеме интерполяции функций, заданных на множествах матриц с умножением в смысле Адамара, и содержит некоторые известные сведения об умножении матриц по Адамару и его свойствах. Для функций, заданных на множествах квадратных и прямоугольных матриц, приведены различные интерполяционные многочлены лагранжева типа, содержащие как операцию матричного умножения в смысле Адамара, так и обычное произведение матриц. В случае аналитических функций, определенных на множествах квадратных матриц с адамаровым умножением, рассмотрены некоторые аналоги тригонометрических интерполяционных формул лагранжева типа. Приведены матричные аналоги сплайнов и интеграла Коши на множествах матриц с умножением по Адамару. Рассмотрено некоторое его применение в теории интерполирования. Доказаны теоремы о сходимости отдельных интерполяционных процессов Лагранжа для аналитических функций, заданных на множестве матриц с умножением в смысле Адамара. Полученные результаты основаны на применении некоторых известных положений теории интерполирования скалярных функций. Изложение материала иллюстрируется рядом примеров.

This article is devoted to the problem of interpolation of functions defined on sets of matrices with multiplication in the sense of Hadamard and is mainly an overview. It contains some known information about the Hadamard matrix multiplication and its properties. For functions defined on sets of square and rectangular matrices, various interpolation polynomials of the Lagrange type, containing both the operation of matrix multiplication in the Hadamard sense and the usual matrix product, are given. In the case of analytic functions defined on sets of square matrices with the Hadamard multiplication, some analogues of the Lagrange type trigonometric interpolation formulas are considered. Matrix analogues of splines and the Cauchy integral are given on sets of matrices with the Hadamard multiplication. Some of its applications in the theory of interpolation are considered. Theorems on the convergence of some Lagrange interpolation processes for analytic functions defined on a set of matrices with multiplication in the Hadamard sense are proved. The results obtained are based on the application of some well-known provisions of the theory of interpolation of scalar functions. Data presentation is illustrated by a number of examples.

функция от матрицумножение матриц по Адамаруинтерполирование лагранжева типааналитическая функциясплайн-интерполированиематричный интеграл Кошиfunction of matricesHadamard matrix multiplicationLagrangian type interpolationanalytic functionspline interpolationCauchy matrix integralReferencesМагнус, Я. Р. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике / Я. Р. Магнус, Х. Нейдеккер. – М.: Физматлит, 2002. – 496 с.Magnus J. R., Neidekker H. Matrix Differential Calculus with Applications to Statistics and Econometrics. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002. 496 p. (in Russian).Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств / М. Маркус, Х. Минк. – М.: Наука, 1972. – 232 с.Markus M., Mink H. Review on the Theory of Matrices and Matrix Inequalities. Moscow, Nauka Publ., 1972. 232 p. (in Russian).Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989. – 655 с.Horn R., Johnson C. Matrix Analysis. Moscow, Mir Publ., 1989. 655 p. (in Russian).Makarov, V. L. Methods of Operator Interpolation / V. L. Makarov, V. V. Khlobystov, L. A. Yanovich. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2010. – 517 с. – (Праці Ін-ту математики НАН України. – Vol. 83: Математика та ii застосування).Makarov V. L., Khlobystov V. V., Yanovich L. A. Methods of Operator Interpolation. Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. Vol. 83: Mathematics and its applications. Kiev, 2010. 516 p.Янович, Л. А. Основы теории интерполирования функций матричных переменных / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т математики. – Минск: Беларус. навука, 2016. – 281 c.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Bases of the Theory of Interpolation of Functions of Matrix Variables. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2016. 281 р. (in Russian).Янович, Л. А. О некоторых аналогах формул сплайн-интерполирования для функций матричной переменной / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2015. – Т. 59, № 4. – С. 17–24.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On some analogues of spline interpolation formulas for functions of a matrix variable. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2015, vol. 59, no. 4, pp. 17–24 (in Russian).Yanovich, L. A. Interpolation formulas for functions, defined on the sets of matrices with different multiplication rules / L. A. Yanovich, M. V. Ignatenko // Журн. обчисл. та прикл. матем. – 2016. – № 2 (122). – C. 140–158.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Interpolation formulas for functions, defined on the sets of matrices with different multiplication rules. Zhurnal obchislyuval’noї ta prikladnoї matematiki = Journal of Numerical & Applied Mathematics, 2016, no. 2 (122), рр. 140–158.Yanovich, L. A. On a spline-interpolation of functions with matrix variables / L. A. Yanovich, M. V. Ignatenko // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE-2015): Proc. of the 8th Int. Workshop, Minsk, Belarus, September 14–19, 2015 / Belarusian State University, Institute of Mathematics of the Belarusian National Academy of Sciences, Lomonosov Moscow State University; general editorship by S. V. Rogozin, M. V. Dubatovskaya. – UK, Cottenham: Cambridge Scientific Publishers, 2016. – P. 149–160.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. On a spline-interpolation of functions with matrix variables. Analytic Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE-2015): Proc. of the 8th Int. Workshop, Minsk, Belarus, September 14–19, 2015. UK, Cambridge Scientific Publishers, 2016, pp. 149–160.Игнатенко, М. В. О некоторых интерполяционных формулах для функций, заданных на множестве матриц с умножением по Адамару / М. В. Игнатенко, Л. А. Янович // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (AMADE-2015): тез. докл. 8-го Междунар. науч. семинара, посвящ. памяти проф. А. А. Килбаса, Минск, 14–19 сент. 2015 г. / Белорус. гос. ун-т; Ин-т математики НАН Беларуси; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова; под ред. С. В. Рогозина. – Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2015. – С. 40–41.Ignatenko M. V., Yanovich, L. A. On some interpolation formulas for functions defined on a set of matrices with Hadamard multiplication. Analiticheskiye metody analiza i differentsial’nykh uravneniy (AMADE-2015). Tezisy dokladov 8-go Mezhdunarodnogo nauchnogo seminara [Analytical Methods of Analysis and Differential Equations Abstract. Abstracts of the 8th International Scientific Seminar]. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2015, pp. 40–41 (in Russian).Янович, Л. А. Интерполяционные методы аппроксимации операторов, заданных на функциональных пространствах и множествах матриц / Л. А. Янович, М. В. Игнатенко; Нац. акад. наук Беларуси, Ин-т математики. – Минск: Беларус. навука, 2020. – 476 c.Yanovich L. A., Ignatenko M. V. Interpolation Methods for Approximation of Operators Defined on Function Spaces and Sets of Matrices. Minsk, Belaruskaya Navuka Publ., 2020. 476 р. (in Russian).Игнатенко, М. В. О сходимости интерполяционного процесса Лагранжа для функций, заданных на множестве матриц с адамаровым умножением / М. В. Игнатенко, Л. А. Янович // Математическое моделирование и новые образовательные технологии в математике: материалы респ. науч.-практ. конф., Брест, 23–24 апр. 2020 г. / Брест. гос. ун-т им. А. С. Пушкина; под общ. ред. А. И. Басика. – Брест: БрГУ, 2020. – С. 77–83.Ignatenko M. V., Yanovich L. A. On the convergence of the Lagrange interpolation process for functions defined on a set of matrices with Hadamard multiplication. Matematicheskoye modelirovaniye i novyye obrazovatel’nyye tekhnologii v matematike. Materialy respublikanskoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Mathematical Modeling and New Educational Technologies in Mathematics. Proceedings of the Republic Scientific-Practical Conference]. Brest, Brest State University, 2020, pp. 77–83 (in Russian).Крылов, В. И. Об определении наименьшей области, голоморфность в которой обеспечивает сходимость эрмитовского интерполирования при любой системе узлов / В. И. Крылов // Докл. АН СССР. – 1951. – Т. 78, № 5. – С. 857–859.Krylov V. I. On the determination of the smallest domain in which the holomorphism ensures the convergence of the Hermite interpolation for any system of nodes. Doklady academii nauk SSSR [Doklady of the Academy of Sciences of USSR], 1951, vol. 78, no. 5, pp. 857–859 (in Russian).Янович, Л. А. Сходимость интерполирования по скалярным матричным узлам в классе аналитических функций / Л. А. Янович, А. В. Тарасевич // Тр. Ин-та математики. – 2006. – Т. 14, № 2. – С. 102–111.Yanovich L. A., Tarasevich A. V. Convergence of interpolation with respect to scalar matrix nodes in the class of analytic functions. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2006, vol. 14, no. 2, pp. 102–111 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.