vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-3-300-311vestifm-666Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSЧастное решение задачи для системы уравнений из механики с негладкими условиями КошиA particular solution of a problem for a system of equations from mechanics with nonsmooth Cauchy conditionКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Виктор Иванович Корзюк – академик Национальной академии наук Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск ;пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Viktor I. Korzyuk – Academician of the NationalAcademy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics andMathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk;  4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0002-1482-9106РудькоЯ. В.RudzkoJ. V.

Рудько Ян Вячеславович – магистр (математикаи компьютерные науки)

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

an V. Rudzko – Master of Mathematics and ComputerScience

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

janycz@yahoo.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетBelarusian State University;Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский государственный университетBelarusian State University202212102022583300311Copyright © Корзюк В.И., Рудько Я.В., 20222022Корзюк В.И., Рудько Я.В.Korzyuk V.I., Rudzko J.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/666

Изучается смешанная задача в четверти плоскости для системы дифференциальных уравнений, описывающих колебания в однородных релаксирующих стержнях постоянного поперечного сечения, которые соответствуют модели Максвелла. На нижнем основании задаются условия Коши, причем одно из них имеет разрыв первого рода в точке. На боковой границе задается гладкое граничное условие. Система порождает уравнение Клейна – Гордона – Фока. Частное решение строится двумя способами: в явном аналитическом виде, с продолжением функции, и методом характеристик как решение интегрального уравнения, без продолжения функции. Устанавливаются условия, при которых решение обладает достаточной степенью гладкости.

In this article, we study a mixed problem in a quarter-plane for a system of differential equations, which describes vibrations in a string from viscoelastic material, which corresponds to Maxwell material. At the bottom of the boundary, the Cauchy conditions are specified, and one of them has a discontinuity of the first kind at one point. A smooth boundary condition is set at the side boundary. The Klein – Gordon – Fock equation is derived for one of the system’s functions. We find a particular solution in two ways. The first method builds it in an explicit analytical form (with a continuation of one function), and the second one constructs it as a solution of an integral equation using the method of characteristics (without continuation of one function). Conditions are established under which the solution has sufficient smoothness.

модель Максвеллауравнение Клейна – Гордона – Фокаметод характеристикчастное решениесмешанная задачаMaxwell materialKlein – Gordon – Fock equationmethod of characteristicsparticular solutionmixed problemReferencesЛазарян, В. А. О динамических усилиях в упряжных приборах однородных поездов при сопротивлениях относительным перемещениям экипажей / В. А. Лазарян // Тр. Днепропетр. ин-та инженеров ж.-д. транспорта. – 1950. – Вып. 20. – С. 3–32.Lazaryan V. A. On dynamic forces in harness devices of homogeneous trains with resistance to relative movements of carriages. Trudy Dnepropetrovskogo instituta inzhenerov zheleznodorozhnogo transporta = Proceedings of the Dnepropetrovsk Institute of Railway Engineers, 1950, no. 20, pp. 3–32 (in Russian).Маврин, А. И. К теории ударного погружения свай / А. И. Маврин // Изв. вузов (строительство и архитектура). – 1967. – № 8. – С. 24–28.Mavrin A. I. To the theory of shock piling. Izvestiya vuzov (stroitel’stvo i arkhitektura) = News of Higher Educational Institutions (Building and Architecture), 1967, no. 8, pp. 24–28 (in Russian).Boussinesq, J. Du choc longitudinal d’une barre élastique prismatique fixée à un bout et heurtée à l’autre / J. Boussinesq // Comptes Rendus. – 1883. – Vol. 97, № 2. – P. 154–157.Boussinesq J. Du choc longitudinal d’une barre élastique prismatique fixée à un bout et heurtée à l’autre. Comptes Rendus, 1883, vol. 97, no. 2, pp. 154–157 (in French).Гайдук, С. И. О некоторых задачах, связанных с теорией поперечного удара по стержням / С. И. Гайдук // Дифференц. уравнения. – 1977. – Т. 13, № 7. – С. 1233–1243.Gayduk S. I. On some problems related to the theory of transverse impact on rods. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1977, vol. 13, no. 7, pp. 1233–1243 (in Russian).Гайдук, С. И. О единственности решения одной задачи из волновой теории механического удара / С. И. Гайдук, Г. М. Заяц // Дифференц. уравнения. – 1989 – Т. 25, № 5. – С. 833–839.Gayduk S. I., Zayats G. M. On the uniqueness of the solution of one problem from the wave theory of mechanical shock. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1989, vol. 25, no. 5, pp. 833–839 (in Russian).Гайдук, С. И. Математическое рассмотрение одной задачи о продольном ударе по релаксирующему стержню / С. И. Гайдук // Дифференц. уравнения. – 1976. – T. 12, № 4. – C. 668–685.Gayduk S. I. Mathematical consideration of one problem of longitudinal collision on a relaxing string. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1976, vol. 12, no. 4, pp. 668–685 (in Russian).Гайдук, С. И. Задача о продольных колебаниях конечного упруго-вязкого стержня / С. И. Гайдук // Дифференц. уравнения. – 1966. – T. 2, № 8. – C. 1061–1071.Gayduk S. I. The problem of longitudinal vibrations of a finite viscoelastic string. Differentsial’nye uravneniya = Differential Equations, 1966, vol. 2, no. 8, pp. 1061–1071 (in Russian).Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. – М.: Стройиздат, 1968. – 418 с.Rzhanitsyn A. R. Theory of Creep. Мoscow, Stroiizdat Publ., 1968. 418 p. (in Russian).Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов: в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – 5-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2003. – Т. 7: Теория упругости. – 264 с.Landau L. D., Lifshitz E. M. Theoretical Physics: in 10 vol. Vol. 7. Elasticity theory. 5th ed. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 264 p. (in Russian).Пикулин, В. П. Практический курс по уравнениям математической физики / В. П. Пикулин, С. И. Похожаев. – 2-е изд., стер. – М.: МЦНМО, 2004. – 208 с.Pikulin V. P., Pokhozhaev S. I. Practical Course on Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2004. 208 p. (in Russian).Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. – 24-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – Т. 2. – 848 с.Smirnov V. I. Higher Mathematics Course. Vol. 2. 24th ed. Saint Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2008. 848 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Решение задачи Коши для телеграфного уравнения методом характеристик / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, Ю. В. Шейко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2011. – № 4. – С. 48–54.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Sheiko Yu. V. Solution of the Cauchy problem for the telegraph equation by the method of characteristics. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2011, no. 4, pp. 48–54 (in Russian).Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – 13-е изд. – М.: Наука, 1986. – 545 с.Bronstein I. N., Semendyaev K. A. A Guide to Mathematics for Engineers and College Students. 13th ed. Moscow, Nauka Publ., 1986. 545 p. (in Russian).Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981. – 448 с.Bitsadze A. V. Some Classes of Partial Differential Equations. Moscow, Nauka Publ., 1981. 448 p. (in Russian).Chen, J. Analytical solution for time-fractional telegraph equation by the method of separating variables / J. Chen, F. Liu, V. Ahn // J. Math. Anal. Appl. – 2008. –Vol. 338, № 2. – P. 1364–1377. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.023Chen J., Liu F., Ahn V. Analytical solution for time-fractional telegraph equation by the method of separating variables. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 338, no. 2, pp. 1364–1377. https://doi.org/10.1016/j. jmaa.2007.06.023Smirnov, I. N. Mixed problems for the telegraph equation in case of a system consisting of two segments with different densities and elasticities but equal impedances / I. N. Smirnov // Doklady Mathematics. – 2010. – Vol. 82, № 3. – P. 887– 891. https://doi.org/10.1134/s106456241006013xSmirnov I. N. Mixed problems for the telegraph equation in case of a system consisting of two segments with different densities and elasticities but equal impedances. Doklady Mathematics, 2010, vol. 82, no. 3, pp. 887–891. https://doi. org/10.1134/s106456241006013xКорзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1108–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. doi.org/10.1134/s0012266114080084Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в криволинейной полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2014. – Т. 58, № 3. – С. 9–15.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the first mixed problem for Klein – Gordon – Fock equation in the curvilinear half-strip. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2014, vol. 58, no. 3, pp. 9–15 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 1. – С. 77–88.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficient. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 77–85. doi.org/10.1134/ S0012266117010074Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 391–403. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the halfstrip with curve derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіkamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 391–403 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391403Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 7–21. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with characteristic oblique derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіkamatematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 7–21 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Giusti, A. Dispersive Wave Solutions of the Klein-Gordon equation in Cosmology [Electronic resource] / A. Giusti. – Università di Bologna, 2013. – Mode of access: https://amslaurea.unibo.it/id/eprint/6148. – Date of access: 02.03.2021.Giusti A. Dispersive Wave Solutions of the Klein-Gordon equation in Cosmology. Università di Bologna, 2013. 64 p. Available at: http://amslaurea.unibo.it/6148/ (accessed 02 March 2021).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для одномерного волнового уравнения с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, С. И. Пузырный // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2016. – № 2. – С. 22–31.Korzyuk V. I., Puzyrnyi S. I. Classical solution of mixed problems for the one-dimensional wave equation with Cauchy nonsmooth conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 2, pp. 22–31 (in Russian).Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Наука, 1979. – 392 с.Godunov S. K. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, Nauka Publ., 1979. 392 p. (in Russian).Strikwerda, J. C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations / J. C. Strikwerda. – 2nd ed. – Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004. – 435 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898717938Strikwerda J. C. Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. 2nd ed. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2004. 435 p. https://doi.org/10.1137/1.9780898717938Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. –2-е изд., испр. и доп. – Москва: URSS, 2021. – 480 с.Korzyuk V. I. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, URSS Publ., 2021. 480 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом / В. И. Корзюк, Я. В. Рудько // Дифференц. уравнения. – 2022. – Т. 58, № 2. – С. 174–184. https://doi. org/10.31857/S0374064122020042Korzyuk V. I., Rudzko J. V. Classical Solution of the First Mixed Problem for the Telegraph Equation with a Nonlinear Potential. Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 2, pp. 175–186. https://doi.org/10.1134/s0012266122020045Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с неоднородными условиями согласования / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 1. – С. 7–13. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-1-7-13Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution for the first mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with inhomogeneous matching conditions. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 1, pp. 7–13 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-1-7-13Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск: БГУ, 2017. – Ч. 2. – 50 с.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical Solutions of Problems for Hyperbolic Equations. Part 2. Minsk, Belarusian State University, 2017. 50 p. (in Russian).Weisstein, E. W. Confluent Hypergeometric Limit Function [Electronic resource] / E. W. Weisstein // Wolfram MathWorld. – Mode of access: https://mathworld.wolfram.com/ConfluentHypergeometricLimitFunction.html. – Date of access: 02.03.2021.Weisstein E. W. Confluent Hypergeometric Limit Function. Wolfram MathWorld. Available at: https://mathworld. wolfram.com/ConfluentHypergeometricLimitFunction.html (accessed 02 March 2021).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.