vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-3-318-326vestifm-668Research ArticleФИЗИКАPHYSICSТемная материя и движение тел в космосеDark matter and motion of bodies in spaceРябушкоА. П.RyabushkoA. P.

Рябушко Антон Петрович – доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики

пр. Независимости, 65, 220141, Минск

Anton P. Ryabushko – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor of the Department of Higher Mathematics

65, Nezavisimosti Ave., 220141, Minsk

tatyana-zhur@mail.ruЖурТ. А.ZhurT. A.

Жур Татьяна Антоновна – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики факультета предпринимательства и управления

пр. Независимости, 99, 220023, Минск

Tatyana A. Zhur – Ph. D. (Physics and Mathematics), Assistant Professor of the Department of Higher Mathematicsof the Faculty of Entrepreneurship and Management

99, Nezavisimosti Ave., 220023, Minsk

tatyana-zhur@mail.ruБелорусский национальный технический университетBelarusian National Technical UniversityБелорусский государственный аграрный технический университетBelarusian State Agrarian Technical University202212102022583318326Copyright © Рябушко А.П., Жур Т.А., 20222022Рябушко А.П., Жур Т.А.Ryabushko A.P., Zhur T.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/668

Исследуется степень влияния гравитационного поля темной материи на законы движения тел в среде в ограниченной задаче двух тел, когда пробное тело (планета, астероид, искусственный спутник звезды, в частности, Солнца и т. д.) обладает собственным вращением, т. е. собственным угловым моментом импульса. Исследование проведено в рамках постньютоновского приближения общей теории относительности. В соответствии с новейшими экспериментальными данными приняты гипотезы об усредненных плотностях темной материи ρТ.М и видимой материи ρвид в планетарных системах. В частности, в Солнечной системе принято: ρТ.М ≈ 2,8 · 10–19 г · см–3, ρвид ≈ 3 · 10–20 г · см–3 и ρΣ = ρвид + ρТ.М ≈ 3,1 · 10–19 г · см–3. В постньютоновском приближении общей теории относительности выведено уравнение траектории вращающегося пробного тела при учете ρΣ и получены рабочие формулы, дающие законы вековых изменений направления вектора собственного углового момента импульса пробного тела и модуля этого вектора. Показано, что учет ρТ.М. изменяет величину смещения периастра. В Солнечной системе, например, при учете только ρвид все планеты, кроме Плутона, имеют в постньютоновском приближении общей теории относительности прямое смещение перигелия. При учете ρΣ планеты от Меркурия до Сатурна включительно имеют прямое смещение перигелиев, а Уран, Нептун, Плутон – обратное (против хода планет по орбите). Также происходит вековое изменение эксцентриситета орбиты. Выведена формула, с помощью которой можно вычислять вековое отклонение поступательного движения вращающегося тела от движения в плоскости. Учет ρΣ это отклонение усиливает. Подчеркивается, что все отмеченные эффекты для планетарных систем в окрестностях нейтронных звезд, радиопульсаров и прочих плотных объектов могут быть на много порядков больше, чем в Солнечной системе.

This paper investigates the degree of influence of the gravitational field of dark matter on the laws of motion of bodies in a medium in a restricted two-body problem, when a test body (planet, asteroid, artificial satellite of a star, in particular, the Sun, etc.) has its own rotation, i. e. own angular momentum impulse. The study was carried out within the framework of the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. In accordance with the latest experimental data, hypotheses about the average densities of dark matter ρD.M. and visible matter ρvis. in planetary systems are accepted. In particular, in the Solar system the following is accepted: ρD.M ≈ 2,8 · 10–19 g · cm–3, ρvis ≈ 3 · 10–20 g · cm–3 and ρΣ = ρvis + ρD.M ≈ 3,1 · 10–19 g · cm–3. In the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity, the equation for the trajectory of a rotating test body with respect to ρΣ is derived, and working formulas are obtained that give the laws of secular changes in the direction of the vector of the proper angular momentum impulse of the test body and the modulus of this vector. It is shown that accounting ρD.M changes the magnitude of the periastron shift. For example, in the Solar System when taking into account ρvis, all the planets except Pluto have a directly shifted perihelion in the post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. When taking into account ρΣ the planets from Mercury to Saturn included, they have a direct shift of perihelion, and Uranus, Neptune, Pluto have the reverse (against the planets in orbit). There is also a secular change in the eccentricity of the orbit. The formula is derived that can be used to calculate the secular deviation of the translational motion of a rotating body from motion in a plane. Accounting ρΣ enhances deviation. It is emphasized that all the noted effects for planetary systems in the vicinity of neutron stars, radio pulsars and other dense objects can be many orders of magnitude greater than in the solar system.

общая теория относительностиньютоновское и постньютоновское приближениятемная материяпробное телозадача двух телgeneral theory of relativityNewtonian and post- Newtonian approximationsdark mattertest bodytwobody problemReferencesСтроение звездных систем / под ред. П. Н. Холопова. – М.: Иностр. лит., 1962. – 628 с.Flügge S. (ed.). Handbuch der Physik. Bd. 53 Astrophysik IV: Sternsysteme. Berlin, Springer.-Verl., 1959. https://link. springer.com/book/10.1007/978-3-642-45932-0Zwicky, F. Catalogue of Galaxies and Clusters of Galaxies / F. Zwicky, E. Herzog, P. Wild. – Pasadena, 1968.Zwicky F., Herzog E., Wild P. Catalogue of Galaxies and Clusters of Galaxies. Pasadena, 1968.Зельдович, Я. Б. Строение и эволюция Вселенной / Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. – М.: Наука, 1975. – 736 с.Zeldovich Y. B., Novikov I. D. Structure and Evolution of the Universe. Moscow, Naukа Publ., 1975. 736 p. (in Russian).Стражев, В. И. К тайнам Вселенной / В. И. Стражев. – Минск: РИВШ, 2006. – 160 с.Strazhev V. I. To the Secrets of the Universe. Minsk: National Institute of Higher Education, 2006. 160 p.Гнедин, Ю. Н. Темная материя во Вселенной: современное состояние проблемы / Ю. Н. Гнедин, М. Ю. Пиотрович // Тр. Ин-та прикладной астрономии РАН. – 2008. – № 18. – С. 137–160.Gnedin U. N., Piotrovich M. U. Dark Matter in the Universe: Current State of the Problem. Trudy Instituta prikladnoi astronomii RAN = Transactions of the Institute of Applied Astronomy RAS, 2008, no. 18, pp. 137–160 (in Russian).Khlopov, M. Y. Composite dark matter and puzzles of dark matter searches / M. Y. Khlopov, A. G. Mayorov, E. Y. Soldatov // Int. J. Mod. Phys D. – 2010. – Vol. 19, № 8–10. – P. 1385–1395. https://doi.org/10.1142/s0218271810017962Khlopov M. Y. Composite dark matter and puzzles of dark matter searches. International Journal of Modern Physics D, 2010, vol. 19, no. 8–10, pp. 1385–1395. https://doi.org/10.1142/s0218271810017962Гальпер, А. М. Гамма-астрономия и темная материя / А. М. Гальпер // Земля и Вселенная. – 2012. – № 5. – С. 3–17.Galper A. M. Gamma-astronomy and Dark Matter. Zemlya i Vselennaya [Earth and Universe], 2012, no. 5, pp. 3–17 (in Russian).Засов, А. В. О связи распределения нейтрального водорода с темной массой в галактиках / А. В. Засов, Н. А. Терехова // Письма в астрон. журн. – 2013. – Т. 39, № 5. – С. 323.Zasov A. V., Terehova N. A. The relationship between the neutral hydrogen and dark mass in the galaxies. Astronomy Letters, 2013, vol. 39, no. 5, pp. 291–297. https://doi.org/10.1134/s106377371305006xАсадов, В. А. Решение проблемы скрытой массы в скоплениях галактик / В. А. Асадов // Проблемы соврем. науки и образования. – 2017. – № 16 (98). – С. 10–13.Asadov V. A. The solution of the hidden mass problem in clusters of galaxies. Problemy sovremennoi nauki i obrazovaniya = Problems of modern Science and Education, 2017, no. 16 (98), pp. 10–13 (in Russian).Розгачева, И. К. Нужна ли темная материя в галактиках? / И. К. Розгачева, А. А. Агапов // Астрон. журн. – 2018. – Т. 95, № 9. – С. 585–590.Rozgacheva I. K., Agapov A. A. Is Dark Matter Needed in Galaxies? Astronomy Reports, 2018, vol. 62, no. 9, pp. 551– 556. https://doi.org/10.1134/s106377291809007xВозможности детектирования субгало из темной материи телескопом гамма-400 / А. Е. Егоров [и др.] // Ядер. физика. – 2018. – Т. 81, № 3. – С. 360–365.Egorov A. E., Galper A. M., Topchiev N. P., Leonov A. A., Suchkov S. I., Kheymits M. D., Yurkin U. T. Detactability of Dark Matter Subhalos by Means of the GAMMA-400 Telescope. Physics of Atomic Nuclei, 2018, vol. 81, no. 3, pp. 373– 378. https://doi.org/10.1134/s1063778818030110Бураго, С. Г. Опытное свидетельство о космической газообразной темной материи Вселенной / С. Г. Бураго // Естеств. и техн. науки. – 2019. – № 3 (129). – С. 28–32. https://doi.org/10.25633/etn.2019.03.15Burago S. G. Experimental evidence of the cosmic gaseous dark matter of the universe. Estestvennye i tekhnicheskie nauki = Natural and Technical Sciences, 2019, no. 3 (129), pp. 28–32 (in Russian). https://doi.org/10.25633/etn.2019.03.15Бураго, С. Г. Звезды и планеты в континууме темной материи и темной энергии / С. Г. Бураго // Актуал. проблемы соврем. науки. – 2020. – № 2 (111). – С. 51–57.Burago S. G. Stars and planets in the dark matter and dark energy continuum. Aktual’nye problemy sovremennoi nauki [Actual Problems of modern Science], 2020, no. 2 (111), pp. 51–57 (in Russian).Sofue, Y. Rotation curve of the Milky Way and the dark matter density / Y. Sofue // Galaxies. – 2020. – Vol. 8, № 2. – P. 37. https://doi.org/10.3390/galaxies8020037Sofue Y. Rotation curve of the Milky Way and the dark matter density. Galaxies, 2020, vol. 8, no. 2, pp. 37. https:// doi.org/10.3390/galaxies8020037Kumar, A. Observational constraints on holographic dark energy model with matter creation / A. Kumar, C. P. Singh // Astrophys. Space Sci. – 2020. – Vol. 365, № 5. – P. 84. https://doi.org/10.1007/s10509-020-03799-1Kumar A. Observational constraints on holographic dark energy model with matter creation. Astrophysics and Space Science, 2020, vol. 365, no. 5, pp. 84. https://doi.org/10.1007/s10509-020-03799-1Лукаш, В. Н. Темная материя: от начальных условий до образования структуры Вселенной / В. Н. Лукаш, Е. В. Михеева // Успехи физ. наук. – 2007. – Т. 177, № 9. – С. 1023–1028.Lukash V. N., Mikheeva E. V. Dark matter: from initial conditions to structure formation in the universe. Uspekhi fizicheskikh nauk = Physics–Uspekhi, 2007, vol. 177, no. 9, pp. 1023–1028 (in Russian).Питьев, Н. П. Ограничения на темную материю в Солнечной системе / Н. П. Питьев, Е. В. Питьева // Письма в астрон. журн. – 2013. – Т. 39, № 3. – С. 163–172.Pitjev N. P., Pitjeva E. V. Constraints on dark matter in the solar system. Astronomy Letters, 2013, vol. 39, no. 3, pp. 141–149. https://doi.org/10.1134/s1063773713020060Васенин, И. М. О средней плотности материи во Вселенной и темной энергии / И. М. Васенин, В. Л. Гойко // Изв. высш. учеб. заведений. Физика. – 2017. – Т. 60, № 6. – С. 32–36.Vasenin I. M., Goiko V. L. On the Mean Density of Matter in the Universe and Dark Energy. Russian Physics Journal, 2017, vol. 60, no. 6, pp. 958–963. https://doi.org/10.1007/s11182-017-1164-xРябушко, А. П. Точки ρ-либрации в задаче трех тел / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2021. – Т. 57, № 3. – С. 330–346. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-3-330-346Ryabushko A. P., Zhur T. A. ρ-Libration point in the three body problem. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 3, pp. 330–346 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-3-330-346Рябушко, А. П. Релятивистские уравнения поступательного движения вращающейся частицы в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фiз.-мат. навук. – 1997. – № 3. – С. 68–70.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic equations of translational motion of rotation particle in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1997, no. 3, pp. 68–70 (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское поступательное движение вращающейся частицы в среде / Т. А. Жур, И. Т. Неманова, А. П. Рябушко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 1998. – № 1. – С. 79–83.Zhur T. A., Nemanova I. T., Ryabushko A. P. Relativistic translational motion of the rotating particle in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1998, no. 1, pp. 79–83 (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское вращение частицы в среде / Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.- мат. навук. – 1998. – № 3. – С. 82–85.Zhur T. A. Relativistic rotation of the particle in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1998, no. 3, pp. 82–85 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские уравнения поступательного движения двух вращающихся тел сравнимых масс в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2001. – № 3. – С. 64–68.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic equations of translational motion of two rotating bodies of comparable mass in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2001, no. 3, pp. 64–68 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистское поступательное движение двух вращающихся тел сравнимых масс в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2003. – № 3. – С. 68–73.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic translational motion of two rotating bodies of comparable mass in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2003, no. 3, pp. 68–73 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские уравнения вращательного движение двух вращающихся тел в среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2004. – № 1. – С. 80–83.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic equations of rotational motion of two rotating bodies in the environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2004, no. 1, pp. 80–83 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские собственные вращения двух тел в гравитирующей среде / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2004. – № 2. – С. 61–65.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Relativistic proper rotations of two bodies in the gravitational environment. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2004, no. 2, pp. 61–65 (in Russian).Рябушко, А. П. Риманово пространство-время, определяемое неоднородным газопылевым шаром с гравитирующим центром, в общей теории относительности / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2005. – № 4. – С. 77–85.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Riemannian space-time, defined by an inhomogeneous gas-dust ball with the gravitational center, in general relativity. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2005, no. 4, pp. 77–85 (in Russian).Рябушко, А. П. Ньютоновские и релятивистские эффекты движения тела в гравитационном поле неоднородной среды. I. Ньютоновское приближение ОТО / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2007. – № 2. – С. 86–90.Ryabushko A. P., Zhur T. A. Relativistic effects of the motion of the body in the gravitational field of an inhomogeneous environment. I. Newtonian approximation of the general theory of relativity. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2007, no. 2, pp. 86–90 (in Russian).Рябушко, А. П. Ньютоновские и релятивистские эффекты движения тела в гравитационном поле неоднородной среды. II. Постньютоновское приближение ОТО / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2009. – № 1. – С. 70–75.Ryabushko A. P., Zhur T. A. Relativistic effects of the motion of the body in the gravitational field of an inhomogeneous environment. II. Post-Newtonian approximation of the general theory of relativity. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2009, no. 1, pp. 70–75 (in Russian).Рябушко, А. П. Pioneer anomaly как реликтовое ускорение пробного тела в Солнечной системе / А. П. Рябушко, Т. А. Жур // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2009. – № 3. – С. 99–104.Ryabushko A. P., Zhur T. A. Pioneer anomaly as the relict acceleration of a test body in the Solar system. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2009, no. 3, pp. 99–104 (in Russian).Ryabushko, A. P. Motion of Bodies and Its Stability in the General Relativity Theory / A. P. Ryabushko, T. A. Zhur, I. T. Nemanova // AIP Conf. Proc. – 2010. – Vol. 1205, № 1. – P. 148–154. https://doi.org/10.1063/1.3382322Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Motion of Bodies and Its Stability in the General Relativity Theory. AIP Conference Proceedings, 2010. vol. 1215, no. 1, pp. 148–154. https://doi.org/10.1063/1.3382322Рябушко, А. П. Метрика риманова пространства-времени, порожденного неоднородной средой с притягивающим центром / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 1. – С. 96–100.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. Metric of the riemann space-time due to the gravitating center surrounded by a nonhomogeneous medium. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2012, no. 1, pp. 96–100 (in Russian).Рябушко, А. П. Движение пробного тела в римановом пространстве-времени, порожденном неоднородной средой с притягивающим центром / А. П. Рябушко, Т. А. Жур, И. Т. Неманова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 89–92.Ryabushko A. P., Zhur T. A., Nemanova I. T. The motion of a test body in the riemann space-time due to the gravitating center surrounded by a nonhomogeneous medium. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2012, no. 2, pp. 89–92 (in Russian).Рябушко, А. П. Гравитационное поле притягивающего центра, окруженного пылевидным облаком, в постньютоновском приближении общей теории относительности / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1983. – Т. 27, № 10. – С. 889–892.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. The Gravitational Field of an Attractive Center Surrounded by a Dusty Cloud in the Post-Newtonian Approximation of the General Theory of Relativity. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1983, vol. 27, no. 10, pp. 889–892 (in Russian).Рябушко, А. П. Релятивистские эффекты движения пробных тел в газопылевом шаре с притягивающим центром / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1984. – Т. 28, № 9. – С. 806–809.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. Relativistic Effects of the Motion of Test Bodies in the Gas-Dust Ball with an Attractive Center. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1984, vol. 28, no. 9, pp. 806–809 (in Russian).Рябушко, А. П. Гравитационное поле газопылевого шара с двумя притягивающими центрами в общей теории относительности / А. П. Рябушко, И. Т. Неманова // Докл. Акад. наук БССР. – 1987. – Т. 31, № 8. – С. 519–522.Ryabushko A. P., Nemanova I. T. The gravitational field of the gas-dust ball with two attractive centers in the general theory of relativity. Doklady Akademii nauk BSSR = Doklady of the Academy of Sciences of BSSR, 1987, vol. 31, no. 8, pp. 519–522 (in Russian).Засов, А. В. Общая астрофизика / А. В. Засов, К. А. Постнов. – Фрязино: Век-2, 2011. – 576 с.Zasov A. V., Postnov K. A. General Astrophysics. Fryazino, Vek-2 Publ., 2011. 576 p. (in Russian).Study of the anomalous acceleration of Pioneer 10 and 11 / J. D. Anderson [et al.] // Phys. Rev. D. – 2002. – Vol. 65, № 8. – P. 1–50. https://doi.org/10.1103/physrevd.65.082004Anderson J. D., Laing P. A., Lau E. I., Liu A. S., Nieto M. M., Turyshev S. G. Study of the anomalous acceleration of Pioneer 10 and 11. Physical Review D, 2002, vol. 65, no. 8, pp. 1–50. https://doi.org/10.1103/physrevd.65.082004Nieto, M. M. Directly measured limit on the interplanetary matter density from Pioneer 10 and 11 / M. M. Nieto, S. G. Turyshev, J. D. Anderson // Phys. Lett. B. – 2005. – Vol. 613, № 1–2. – P. 11–19. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2005.03.035Nieto M. M., Turysher S. G., Anderson J. D. Directly measured limit on the interplanetary matter density from Pioneer 10 and 11. Physics Letters B, 2005, vol. 613, no. 1–2, pp. 11–19. https://doi.org/10.1016/j.physletb.2005.03.035Кононович, Э. В. Общий курс астрономии / Э. В. Кононович, В. И. Мороз. – М.: Эдиториал УРСС, 2004. – 544 с.Kononovich E. V., Moroz V. I. General Course of Astronomy. Moscow, Editorial URSS Publ., 2004. 544 p. (in Russian).Жур, Т. А. Релятивистское движение вращающихся тел в среде: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.04.02 / Т. А. Жур. – Минск, 1999. – 18 с.Zhur T. A. Relativistic Motion of Rotating Bodies in the environment. Minsk, 1999. 18 p. (in Russian).Фок, В. А. Теория пространства, времени и тяготения / В. А. Фок. – М.: Физматгиз, 1961. – 564 с.Fock V. A. The Theory of Space, Time and Gravity. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961. 564 p. (in Russian).Рябушко, А. П. Движение тел в общей теории относительности / А. П. Рябушко. – Минск: Выш. шк., 1979. – 240 с.Ryabushko A. P. Motion of Bodies in the General Theory of Relativity. Minsk, Vysheishaya shkola Publ., 1979. 240 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.