vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-4-358-369vestifm-685Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSГиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение с линейными функциями в коэффициентахA hypersingular integro-differential equation with linear functions in coefficientsШилинА. П.ShilinA. P.

Шилин Андрей Петрович – кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики и математической физики.

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Andrey P. Shilin – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics and Mathematical Physics, Belarusian State University.

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

a.p.shilin@gmail.comБелорусский государственный университетBelarusian State University202201012023584358369Copyright © Шилин А.П., 20232023Шилин А.П.Shilin A.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/685

Исследовано новое линейное интегро-дифференциальное уравнение произвольного порядка, которое задано на замкнутой кривой, расположенной на комплексной плоскости. Коэффициенты уравнения являются переменными и имеют специальный вид. Характерной особенностью выступает наличие линейных функций в коэффициентах. Уравнение сведено к последовательному решению краевой задачи Римана на исходной кривой и двух линейных дифференциальных уравнений. Возникшая краевая задача Римана относится к случаю хорошо изученных задач. Дифференциальные уравнения решаются для аналитических функций в областях, на которые исходная кривая делит комплексную плоскость. Найдены соответствующие фундаментальные системы решений, после чего применяется метод вариации произвольных постоянных. На полученные решения накладываются ограничения, чтобы добиться их аналитичности. Все возникающие условия разрешимости исходного уравнения записаны явно, а при их выполнении в явном виде записывается само решение. Приведен пример, показывающий наличие случаев, когда выполняются все условия разрешимости.

In this paper, we investigated a new linear integro-differential equation of arbitrary order given on the closed curve located on a complex plane. The coefficients of the equation are variables and have a special form. The characteristic feature is the presence of linear functions in the coefficients. The equation is reduced to the consecutive solution of a Riemann boundary value problem on an initial curve and two linear differential equations. Differential equations are solved for analytic functions in areas into which the initial curve separates a complex plane. The corresponding fundamental systems of solutions are found, after that the arbitrary-constant variation method is applied. To achieve the analyticity of the obtained solutions the restrictions are imposed. All the arising conditions of resolvability of the input equation are written down explicitly, and if they are carried out then the solution is written in an explicit form. We represent the example demonstrating the existence of the cases when all conditions of resolvability are satisfied.

интегро-дифференциальное уравнениегиперсингулярный интегралкраевая задача Риманалинейное дифференциальное уравнениеопределительintegro-differential equationhypersingular integralRiemann boundary problemlinear differential equationdeterminantReferencesАдамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа: пер. с фр. / Ж. Адамар. – М.: Наука, 1978. – 352 с.Hadamard J. Le Problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires hyperboliques. Paris, Hermann et Cie Éditeurs, 1932. 560 p. (in French).Бойков, И. В. Аналитические и численные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков // Динам. системы. – 2019. – T. 9, № 3. – С. 244–272.Boykov I. V. Analytical and numerical methods for solving hypersingular integral equations. Dinamicheskie sistemy [Dynamic Systems], 2019, vol. 9, no. 3, pp. 244–272 (in Russian).Зверович, Э. И. Обобщение формул Сохоцкого / Э. И. Зверович // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. физ.-мат. навук. – 2012. – № 2. – С. 24–28.Zverovich E. I. Generalization of Sohotsky formulas. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2012, no. 2, pp. 24–28 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение гиперсингулярного интегро-дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами / Э. И. Зверович // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2010. – T. 54, № 6. – С. 5–8.Zverovich E. I. Solution of the hypersingular integro-differential equation with constant coefficients. Doklady Nacionalnoi Akademii Nauk Belarusi = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus, 2010, vol. 54, no. 6, pp. 5–8 (in Russian).Зверович, Э. И. Решение интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными и гиперсингулярными интегралами специального вида / Э. И. Зверович, А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 404–407. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Zverovich E. I., Shilin A. P. Integro-differential equations with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 404–407 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-404-407Шилин, А. П. О решении одного интегро-дифференциального уравнения с сингулярным и гиперсингулярным интегралами / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 3. – С. 298–309. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Shilin A. P. On the solution of one integro-differential equation with singular and hypersingular integrals. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 3, pp. 298–309 (in Russian). https://doi. org/10.29235/1561-2430-2020-56-3-298-309Шилин, А. П. Гиперсингулярное интегро-дифференциальное уравнение эйлерова типа / А. П. Шилин // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 1. – С. 17–29. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Shilin A. P. A hypersingular integro-differential equations of the Euler type. Vestsi Natsyianal’nai akademii navuk Belarusi. Seryia fizika-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 1, pp. 17–29 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-1-17-29Шилин, А. П. Гиперсингулярные интегро-дифференциальные уравнения со степенными множителями в коэффициентах / А. П. Шилин // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3. – С. 48–56. https:// doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56Shilin A. P. Hypersingular integro-differential equation with power factors in coefficients. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 3, pp. 48–56 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-48-56.Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – М.: Наука, 1977. – 640 с.Gakhov F. D. Boundary Value Problems. Moscow, Nauka Publ., 1977. 640 p. (in Russian).Зайцев, В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Handbook of Ordinary Differential Equations. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001. 576 p. (in Russian).Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: пер. с нем. / Э. Камке. – СПб.: Лань, 2003. – 576 с.Kamke E. Handbook of Ordinary Differential Equations. Saint Peterburg, Lan’ Publ., 2003. 576 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.