vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2022-58-4-389-397vestifm-688Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКвазиклассическая аппроксимация функциональных интегралов, содержащих центробежный потенциалSemiclassical approximation of functional integrals containing the centrifugal potentialМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник.

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Victor B. Malyutin – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Chief Researcher, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus.

11, Surganov Str., 220072, Minsk

malyutin@im.bas-net.byНуржановБ. О.NurjanovB. O.

Нуржанов Бердах Орынбаевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Каракалпакский государственный университет имени Бердаха.

ул. Университетская, 9, 100174, Ташкент; ул. Ч. Абдирова, 1, 230112, Нукус

Berdakh O. Nurjanov – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Institute of Mathematics named after V.I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Karakalpak State University named after Berdakh

9, University Str., 100174, Tashkent; 1, Ch. Abdirov Str., 230112, Nukus

nurjanov@list.ruИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusИнститут математики имени В.И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Каракалпакский государственный университет имени БердахаInstitute of Mathematics named after V. I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Karakalpak State University named after Berdakh202201012023584389397Copyright © Малютин В.Б., Нуржанов Б.О., 20232023Малютин В.Б., Нуржанов Б.О.Malyutin V.B., Nurjanov B.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/688

Рассматривается важный для приложений класс функциональных интегралов по условной мере Винера: интегралы, которые записываются с помощью функционала действия с членами, соответствующими кинетической и потенциальной энергии. Для указанного класса интегралов разработан подход к квазиклассической аппроксимации, который основывается на разложении действия относительно классической траектории. В разложении действия используются только слагаемые с нулевой и второй степенью. Проводится численный анализ точности квазиклассической аппроксимации для функциональных интегралов, содержащих центробежный потенциал.

In this paper, we consider the class of functional integrals with respect to the conditional Wiener measure, which is important for applications. These integrals are written using the action functional containing terms corresponding to kinetic and potential energies. For the considered class of integrals an approach to semiclassical approximation is developed. This approach is based on the decomposition of the action with respect to the classical trajectory. In the expansion of the action, only terms with degrees zero and two are used. A numerical analysis of the accuracy of the semiclassical approximation for functional integrals containing the centrifugal potential is done.

функциональные интегралыквазиклассическая аппроксимацияцентробежный потенциалдействиеклассическая траекторияfunctional integralssemiclassical approximationcentrifugal potentialactionclassical trajectoryReferencesFeynman, R. P. Quantum Mechanics and Path Integrals / R. P. Feynman, A. R. Hibbs. – New York: McGraw-Hill, 1965. – 365 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 365 p.Glimm, J. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View / J. Glimm, A. Jaffe. – New York: Springer-Verlag, 1981. – 417 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0121-9Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. New York, Springer-Verlag, 1981. 417 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0121-9Simon, B. Functional Integration and Quantum Physics / B. Simon. – New York: Academic Press, 1979. – 295 p. https://doi.org/10.1016/s0079-8169(08)x6061-1Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. New York, Academic Press, 1979. 295 p. https://doi. org/10.1016/s0079-8169(08)x6061-1Roepstorff, G. Path Integral Approach to Quantum Physics: An Introduction / G. Roepstorff. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1994. – 387 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-57886-1Roepstorff G. Path Integral Approach to Quantum Physics: An Introduction. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1994. 387 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-57886-1Боголюбов, Н. Н. Введение в теорию квантованных полей / Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. – М.: Наука, 1984. – 600 с.Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introduction to the Theory of Quantized Fields. Moscow, Nauka Publ., 1984. 600 p. (in Russian).Васильев, А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике / А. Н. Васильев. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1976. – 295 с.Vasiliev А. N. Functional Methods in Quantum Field Theory and Statistics. Leningrad, Leningrad University Press, 1976. 295 p. (in Russian).Попов, В. Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике / В. Н. Попов. – М.: Атомиздат, 1976. – 256 с.Popov V. N. Path Integrals in Quantum Field Theory and Statistical Physics. Moscow, Atomizdat Publ., 1976. 256 p. (in Russian).Kleinert, H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets / H. Kleinert. – Singapore: World Scientific Publishing, 2004. – 1504 p. https://doi.org/10.1142/9789812562197_fmatterKleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets. Singapore, World Scientific Publishing, 2004. 1504 p. https://doi.org/10.1142/9789812562197_fmatterLangouche, F. Functional Integration and Semiclassical Expansions / F. Langouche, D. Roekaerts, E. Tirapegui. – Dordrecht: Springer, 1982. – 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional Integration and Semiclassical Expansions. Dordrecht, Springer, 1982. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Wio, H. S. Path Integration to Stochastic Process: An Introduction / H. S. Wio. – World Scientific Publishing Company, 2013. https://doi.org/10.1142/8695Wio H. S. Path Integration to Stochastic Process: An Introduction. World Scientific Publishing Company, 2013. https://doi.org/10.1142/8695Risken, H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications / H. Risken. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1984. – 454 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96807-5Risken H. The Fokker-Planck Equation: Methods of Solution and Applications. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1984. 454 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-96807-5Применение функциональных интегралов к стохастическим уравнениям / Э. А. Айрян [и др.] // Мат. моделирование. – 2016. – T. 28, № 11. – C. 113–125.Аyryan E. А., Еgorov А. D., Кulyabov D. S., Мalyutin V. B., Sevastianov L. А. Application of functional integrals to stochastic equations. Matematicheskoe modelirovanie = Mathematical Models and Computer Simulations, 2016, vol. 28, no. 11, pp. 113–125 (in Russian).Мазманишвили, А. С. Континуальное интегрирование как метод решения физических задач / А. С. Мазманишвили. – Киев: Наук. думка, 1987. – 224 с.Маzmanishvili А. S. Continual Integration as a Method for Solving Physical Problems. Kyiv, Naukova dumka Publ., 1987. 224 p. (in Russian).Hnatic, M. Field theoretic technique for irreversible reaction processes / M. Hnatic, J. Honkonen, T. Lucivjansky // Phys. Part. Nucl. – 2013. – Vol. 44, № 2. – P. 316–348. https://doi.org/10.1134/s1063779613020160Hnatic M., Honkonen J., Lucivjansky T. Field theoretic technique for irreversible reaction processes. Physics of Particles and Nuclei, 2013, vol. 44, no. 2, pp. 316–348. https://doi.org/10.1134/s1063779613020160Кройц, М. Кварки, глюоны и решетки / М. Кройц. – М.: Мир, 1987. – 189 с.Creutz M. Quarks, Gluons and Lattices. Cambridge University Press, 1983. 169 p.Creutz, M. A statistical approach to quantum mechanics / M. Creutz, B. Freedman // Ann. Phys. – 1981. – Vol. 132, № 2. – P. 427–462. https://doi.org/10.1016/0003-4916(81)90074-9Creutz M., Freedman B. A statistical approach to quantum mechanics. Annals of Physics, 1981, vol. 132, no. 2, pp. 427–462. https://doi.org/10.1016/0003-4916(81)90074-9Shuryak, E. V. Testing Monte Carlo methods for path integrals in some quantum mechanical problems / E. V. Shuryak, O. V. Zhirov // Nucl. Phys. B. – 1984. – Vol. 242, № 2. – P. 393–406. https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90401-2Shuryak E. V., Zhirov O. V. Testing Monte Carlo methods for path integrals in some quantum mechanical. Nuclear Physics B, 1984, vol. 242, no. 2, pp. 393–406. https://doi.org/10.1016/0550-3213(84)90401-2Янович, Л. A. Приближенное вычисление континуальных интегралов по гауссовым мерам / Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1976. – 382 с.Yanovich L. A. Approximate Evaluation of Continual Integrals with respect to Gaussian Measures. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1976. 382 p. (in Russian).Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б. С. Елепов [и др.]. – Новосибирск: Наука, 1980. – 174 с.Elepov B. S., Kronberg А. А., Мikhailov G. А., Sabelfeld K. K. Solution of Boundary Value Problems by Monte-Carlo Method. Novosibirsk, Nauka Publ., 1980. 174 p. (in Russian).Сабельфельд, К. К. О приближенном вычислении винеровских континуальных интегралов методом Монте-Карло / К. К. Сабельфельд // Журн. вычисл. математики и мат. физики. – 1979. – Т. 19, № 1. – C. 29–43.Sabelfeld K. K. Approximate evaluation of Wiener continual integrals by Monte-Carlo method. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1979, vol. 19, no. 1, pp. 27–43. https://doi.org/10.1016/0041-5553(79)90064-8Eгоров, A. Д. Приближенные методы вычисления континуальных интегралов / А. Д. Eгоров, П. И. Соболевский, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1985. – 309 с.Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Approximate Methods of Evaluation of Continual Integrals. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1985. 309 p. (in Russian).Egorov, A. D. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications / A. D. Egorov, P. I. Sobolevsky, L. A. Yanovich. – Dordrecht: Kluwer Academic Pablishers, 1993. – 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Pablishers, 1993. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Егоров, А. Д. Введение в теорию и приложения функционального интегрирования / А. Д. Егоров, Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов. – М.: Физматлит, 2006. – 400 с.Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 р. (in Russian).Ковальчик, И. М. Обобщенный винеровский интеграл и некоторые его приложения / И. М. Ковальчик, Л. А. Янович. – Минск: Наука и техника, 1989. – 221 с.Коvalchik I. М., Yanovich L. А. Generalized Wiener Integral and Some of its Applications. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1989. 221 p. (in Russian).Жидков, Е. П. Метод приближенного континуального интегрирования в задачах математической физики / Е. П. Жидков, Ю. Ю. Лобанов // Физика элементарных частиц и атомного ядра (ЭЧАЯ). – 1996. – Т. 27, вып. 1. – C. 173–242.Zhidkov E. P., Lobanov Yu. Yu. Method of approximate functional integration in the problems of mathematical physics. Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei (PEPAN), 1996, vol. 27, no. 1, pp. 173–242 (in Russian).Малютин, В. Б. Квазиклассическая аппроксимация функциональных интегралов / В. Б. Малютин, Б. О. Нуржанов // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2020. – Т. 56, № 2. – С. 166–174. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-166-174Malyutin V. B., Nurjanov B. O. Semiclassical approximation of functional integrals. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 2, pp. 166–174. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-166-174Setare, M. R. Solution of the Dirac equation for the Davidson potential / M. R. Setare, S. Haidari // Int. J. Theor. Phys. – 2009. – Vol. 48, № 11. – P. 3249–3256. https://doi.org/10.1007/s10773-009-0128-5Setare M. R., Haidari S. Solution of the Dirac equation for the Davidson potential. International Journal of Theoretical Physics, 2009, vol. 48, no. 11, pp. 3249–3256. https://doi.org/10.1007/s10773-009-0128-5Бом, Д. Квантовая теория: пер. с англ. / Д. Бом. – М.: Наука, 1965. – 727 с.Bohm D. Quantum Theory. New York, Prentice-Hall, 1951. 646 p.Березин, И. С. Методы вычислений: в 2 т. / И. С. Березин, Н. П. Жидков. – М.: Физматлит, 1959. – Т. 2. – 620 с.Berezin I. S., Zhidkov N. P. Calculation Methods. Vol. 2. Moscow, Fizmatlit Publ., 1959. 620 p. (in Russian).Schulmann, L. S. Techniques and Applications of Path Integration / L. S. Schulmann. – New York: John Wiley & Sons, 1981.Schulmann L. S. Techniques and Applications of Path Integration. New York, John Wiley & Sons, 1981.Grosche, C. Classification of solvable Feynman path integrals / C. Grosche, F. Steiner // Proceedings of the IV International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Tutzing, Germany, 1992 / eds.: H. Grabert [et al.]. – Singapore: World Scientific, 1993. – P. 276–288.Grosche C., Steiner F. Classification of solvable Feynman path integrals. Grabert H., Inomata A., Schulman L. S., Weiss U. (eds.). Proceedings of the IV International Conference on Path Integrals from meV to MeV, Tutzing, Germany 1992. Singapore, World Scientific, 1993, pp. 276–288.Bennati, E. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results / E. Bennati, M. Rosa-Clot, S. Taddei // Int. J. Theor. Appl. Finan. – 1999. – Vol. 02, № 04. – P. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200Bennati E., Rosa-Clot M., Taddei S. A path integral approach to derivative security pricing I: formalism and analytical results. International Journal of Theoretical and Applied Finance, 1999, vol. 02, no. 04, pp. 381–407. https://doi.org/10.1142/s0219024999000200

The authors declare that there are no conflicts of interest present.