vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-1-7-17vestifm-699Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО модулярности решетки бэровских σ-локальных формацийOn the modularity of the lattice of Baer-σ-local formationsВоробьевН. Н.Vorob’evN. N.

Воробьев Николай Николаевич – доктор физикоматематических наук, доцент, профессор кафедры математики

Московский пр., 33, 210038, Витебск

Nikolay N. Vorob’ev – Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Professor at the Department of Mathematics

33, Moscow Ave., 210038, Vitebsk

vornic2001@mail.ruВитебский государственный университет имени П. М. МашероваVitebsk State University named after P. M. Masherov202301042023591717Copyright © Воробьев Н.Н., 20232023Воробьев Н.Н.Vorob’ev N.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/699

Все рассматриваемые группы конечны. Формацией называется класс групп, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и подпрямых произведений. Символом σ обозначают некоторое разбиение множества всех простых чисел. В работе В. Г. Сафонова, И. Н. Сафоновой, А. Н. Скибы (Commun. Algebra. 2020. Vol. 48, № 9. P. 4002–4012) определена обобщенная формационная σ-функция как отображение f : σ È {Ø} → {формации групп}, где f(Ø) ≠ ∅. При помощи обобщенной формационной σ-функции определены обобщенно локальные формации – так называемые бэровские σ-локальные формации. Множество всех таких формаций образует решетку по включению. В настоящей работе установлены свойства алгебраичности и модулярности этой решетки.

Throughout this paper, all groups are finite. A group class closed under taking homomorphic images and finite subdirect products is called a formation. The symbol σ denotes some partition of the set of all primes. V. G. Safonov, I. N. Safonova, A. N. Skiba (Commun. Algebra. 2020. Vol. 48, № 9. P. 4002–4012) defined a generalized formation σ-function. Any function f of the form f : σ È {Ø} → {formations of groups}, where f(Ø) ≠ ∅, is called a generalized formation σ-function. Generally local formations or so-called Baer-σ-local formations are defined by means of generalized formation σ-functions. The set of all such formations partially ordered by set inclusion is a lattice. In this paper it is proved that the lattice of all Baerσ-local formations is algebraic and modular.

конечная группаформацияобобщенная формационная σ-функциябэровская σ-локальная формацияполная решетка формациймодулярная решеткаалгебраическая решеткаfinite groupformationgeneralized formation σ-functionBaer-σ-local formationcomplete lattice of formationsmodular latticealgebraic latticeРабота выполнена при финансовой Acknowledgements. The author’s research was supporподдержке Государственной программы научных иссле- ted by the State Program of Scientific Research “Konvergentдований «Конвергенция-2025» (№ 20210495). siya-2025” (no. 20210495).ReferencesШеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. – 272 с.Shemetkov L. A. Formations of Finite Groups. Moscоw, Nauka Publ., 1978. 272 p. (in Russian).Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. – М.: Наука, Гл. ред. физ.мат. лит., 1989. – 256 с.Shemetkov L. A., Skiba A. N. Formations of Algebraic Systems. Moscоw, Nauka Publ., 1989. 256 p. (in Russian).Скиба, А. Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба. – Минск: Беларус. навука, 1997. – 240 с.Skiba A. N. Algebra of Formations. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 1997. 240 p. (in Russian).Скиба, А. Н. Кратно L-композиционные формации конечных групп / А. Н. Скиба, Л. А. Шеметков // Укр. мат. журн. – 2000. – Т. 52, № 6. – С. 783–797. https://doi.org/10.1007/BF02591784Skiba A. N., Shemetkov L. A. Multiply L-composite formations of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2000, vol. 52, no. 6, pp. 898–913. https://doi.org/10.1007/BF02591784Чжан Чи. О -замкнутых классах конечных групп / Чжан Чи, А. Н. Скиба // Укр. мат. журн. – 2018. – Т. 70, № 12. – С. 1707–1716. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Zhang Chi, Skiba A. N. On -closed classes of finite groups. Ukrainian Mathematical Journal, 2018, vol. 70, no. 12, pp. 1966–1977. https://doi.org/10.1007/s11253-019-01619-6Zhang Chi. On n-multiply σ-local formations of finite groups / Zhang Chi, V. G. Safonov, A. N. Skiba // Commun. Algebra. – 2019. – Vol. 47, № 3. – P. 957–968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875Zhang Chi, Safonov V. G., Skiba A. N. On n-multiply σ-local formations of finite groups. Communications in Algebra, 2019, vol. 47, no. 3, pp. 957–968. https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1498875Safonov, V. G. On Baer-σ-local formations of finite groups / V. G. Safonov, I. N. Safonova, A. N. Skiba // Commun. Algebra. – 2020. – Vol. 48, № 9. – P. 4002–4012. https://doi.org/10.1080/00927872.2020.1753760Safonov V. G., Safonova, I. N., Skiba A. N. On Baer-σ-local formations of finite groups. Communications in Algebra, 2020, vol. 48, no. 9, pp. 4002–4012. https://doi.org/10.1080/00927872.2020.1753760Skiba, A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2015. – Vol. 436. – P. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010Skiba A. N. On σ-subnormal and σ-permutable subgroups of finite groups. Journal of Algebra, 2015, vol. 436, pp. 1–16. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010Safonov, V. G. On one generalization of σ-local and Baer-local formations / V. G. Safonov, I. N. Safonova, A. N. Skiba // Проблемы физики, математики и техники. – 2019. – № 4 (41). – С. 65–69.Safonov V. G., Safonova, I. N., Skiba A. N. On one generalization of σ-local and Baer-local formations. Problemy fiziki matematiki i tekhniki = Problems of Physics, Mathematics and Technics, 2019, no. 4 (41), pp. 65–69.Skiba, A. N. Some characterizations of finite σ-soluble PσT-groups / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2018. – Vol. 495. – P. 114–129. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.11.009Skiba A. N. Some characterizations of finite σ-soluble PσT-groups. Journal of Algebra, 2018, vol. 495, pp. 114–129. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.11.009Skiba, A. N. On sublattices of the subgroup lattice defined by formation Fitting sets / A. N. Skiba // J. Algebra. – 2020. – Vol. 550. – P. 69–85. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.12.013Skiba A. N. On sublattices of the subgroup lattice defined by formation Fitting sets. Journal of Algebra, 2020, vol. 550, pp. 69–85. https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2019.12.013Общая алгебра: в 2 т. / В. А. Артамонов [и др.]; под общ. ред. Л. А. Скорнякова. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – Т. 2. – 480 с.Artamonov V. A., Saliĩ V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shul’geǐfer E. G. General Algebra. Vol. 2. Moscоw, Nauka Publ., 1991. 480 p. (in Russian).Скиба, А. Н. О локальных формациях длины 5 / А. Н. Скиба // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп: тр. Гомел. семинара / Ин-т математики АН БССР; под ред. М. И. Салука. – Минск: Наука и техника, 1986. – С. 135–149.Skiba A. N. On local formations of length 5. Arifmeticheskoe i podgruppovoe stroenie konechnykh grupp: trudy Gomel’skogo seminara [Arithmetical and Subgroup Construction of Finite Groups. Works of Gomel Seminar]. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1986, pp. 135–149 (in Russian).Скиба, А. Н. Кратно w-локальные формации и классы Фиттинга конечных групп / А. Н. Скиба, Л. А. Шеметков // Мат. тр. – 1999. – Т. 2, № 2. – С. 114–147.Skiba A. N., Shemetkov L. A. Multiply w-local formations and Fitting classes of finite groups. Siberian Advances in Mathematics, 2000, vol. 10, no. 2, pp. 112–141.Воробьев, Н. Н. Алгебра классов конечных групп: монография / Н. Н. Воробьев. – Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2012. – 322 с.Vorob’ev N. N. Algebra of Classes of Finite Groups. Vitebsk, Vitebsk University Press, 2012. 322 p. (in Russian).Ballester-Bolinches, A. On lattices of p-local formations of finite groups / A. Ballester-Bolinches, L. A. Shemetkov // Math. Nachr. – 1997. – Vol. 186. – P. 57–65. https://doi.org/10.1002/mana.3211860103Ballester-Bolinches A., Shemetkov L. A. On lattices of p-local formations of finite groups. Mathematische Nachrichten, 1997, vol. 186, pp. 57–65. https://doi.org/10.1002/mana.3211860103Safonov, V. G. On a question of the theory of totally saturated formations of finite groups / V. G. Safonov // Algebra Colloq. – 2008. – Vol. 15, № 1. – P. 119–128. https://doi.org/10.1142/S1005386708000126Safonov V. G. On a question of the theory of totally saturated formations of finite groups. Algebra Colloquium, 2008, vol. 15, no. 1, pp. 119–128. https://doi.org/10.1142/S1005386708000126Safonov, V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups / V. G. Safonov // Commun. Algebra. – 2007. – Vol. 35, № 11. – P. 3495–3502. https://doi.org/10.1080/00927870701509354Safonov V. G. On modularity of the lattice of totally saturated formations of finite groups. Communications in Algebra, 2007, vol. 35, no. 11, pp. 3495–3502. https://doi.org/10.1080/00927870701509354Шабалина, И. П. О решетке t-замкнутых n-кратно w-локальных формаций конечных групп / И. П. Шабалина // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2003. – № 1. – С. 28–30.Shabalina I. P. On the lattice of t-closed n-multiply w-local formations of finite groups. Vestsі Natsyyanalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2003, no. 1, pp. 28–30 (in Russian).Щербина, В. В. О подрешетках решетки частично тотально насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щер бина, В. Г. Сафонов // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. – 2019. – Т. 51, № 1. – С. 64–87. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-1-64-87Shcherbina V. V., Safonov V. G. On sublattices of the lattice of partially totally saturated formations of finite groups. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics Physics, 2019, vol. 51, no. 1, pp. 66–89. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-1-66-89Щербина, В. В. О некоторых свойствах решетки частично тотально насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щербина, В. Г. Сафонов // Науч. ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. – 2019. – Т. 51, № 2. – С. 227–244. https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-2-227-244Shcherbina V. V., Safonov V. G. On some properties of the lattice of totally saturated formations of finite groups. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathematics Physics, 2019, vol. 51, no. 2, pp. 227–244 (in Russian). https://doi.org/10.18413/2075-4639-2019-51-2-227-244Shemetkov, L. A. On lattices of formations of finite groups / L. A. Shemetkov, A. N. Skiba, N. N. Vorobʼev // Algebra Colloq. – 2010. – Vol. 17, № 4. – P. 557–564. https://doi.org/10.1142/S1005386710000532Shemetkov L. A., Skiba A. N., Vorob’ev N. N. On lattices of formations of finite groups. Algebra Colloquium, 2010, vol. 17, no. 4, pp. 557–564. https://doi.org/10.1142/S1005386710000532Shemetkov, L. A. On laws of lattices of partially saturated formations / L. A. Shemetkov, A. N. Skiba, N. N. Vorobʼev // Asian-Eur. J. Math. – 2009. – Vol. 02, № 01. – P. 155–169. https://doi.org/10.1142/S1793557109000133Shemetkov L. A., Skiba A. N., Vorob’ev N. N. On laws of lattices of partially saturated formations. Asian-European Journal of Mathematics, 2009, vol. 02, no. 01, pp. 155–169. https://doi.org/10.1142/S1793557109000133Tsarev, A. A. On the lattice of all totally composition formations of finite groups / A. A. Tsarev // Ric. Mat. – 2019. – Vol. 68, № 2. – P. 693–698. https://doi.org/10.1007/s11587-019-00433-3Tsarev A. A. On the lattice of all totally composition formations of finite groups. Ricerche di Matematica, 2019, vol. 68, no. 2, pp. 693–698. https://doi.org/10.1007/s11587-019-00433-3Tsarev, A. A. Lattices of composition formations of finite groups and laws / A. A. Tsarev, N. N. Vorobʼev // J. Algebra Appl. – 2018. – Vol. 17, № 05. – P. 1850084-1–1850084-17. https://doi.org/10.1142/S0219498818500846Tsarev A. A., Vorob’ev N. N. Lattices of composition formations of finite groups and laws. Journal of Algebra and Its Applications, 2018, vol. 17, no. 05, pp. 1850084-1–1850084-17. https://doi.org/10.1142/S0219498818500846Tsarev, A. A. On a question of the theory of partially composition formations / A. A. Tsarev, N. N. Vorobʼev // Algebra Colloq. – 2014. – Vol. 21, № 3. – P. 437–447. https://doi.org/10.1142/S1005386714000388Tsarev A. A., Vorob’ev N. N. On a question of the theory of partially composition formations. Algebra Colloquium, 2014, vol. 21, no. 3, pp. 437–447. https://doi.org/10.1142/S1005386714000388Воробьев, Н. Н. Тождества решеток частично композиционных формаций / Н. Н. Воробьев, А. Н. Скиба, А. А. Царев // Сиб. мат. журн. – 2011. – Т. 52, № 5. – С. 1011–1024. https://doi.org/10.1134/S0037446611050059Vorob’ev N. N., Skiba A. N., Tsarev A. A. Laws of the lattices of partially composition formations. Siberian Mathematical Journal, 2011, vol. 52, no. 5, pp. 802–812. https://doi.org/10.1134/S0037446611050059Воробьев, Н. Н. О модулярности решетки t-замкнутых n-кратно w-композиционных формаций / Н. Н. Воробьев, А. А. Царев // Укр. мат. журн. – 2010. – Т. 62, № 4. – С. 453–463. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0368-9Vorob’ev N. N., Tsarev A. A. On the modularity of the lattice of t-closed n-multiply w-composite formations. Ukrainian Mathematical Journal, 2010, vol. 62, no. 4, pp. 518–529. https://doi.org/10.1007/s11253-010-0368-9Жизневский, П. А. О модулярности и индуктивности решетки всех t-замкнутых n-кратно w-композиционных формаций конечных групп / П. А. Жизневский // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. – 2010. – № 1 (58). – С. 185–191.Zhiznevsky P. A. On modularity and inductance of the lattice of all t-closed n-multiply w-composition formations of finite groups. Izvestiya Gomel’skogo gosudarstvennogo universiteta imeni F. Skoriny = Proceedings of the Francisk Scorina Gomel State University, 2010, no. 1 (58), pp. 185–191 (in Russian).Tsarev, A. A. Algebraic lattices of partially saturated formations of finite groups / A. A. Tsarev // Afr. Mat. – 2020. – Vol. 31, № 3–4. – P. 701–707. https://doi.org/10.1007/s13370-019-00753-5Tsarev A. A. Algebraic lattices of partially saturated formations of finite groups. Afrika Matematika, 2020, vol. 31, no. 3–4, pp. 701–707. https://doi.org/10.1007/s13370-019-00753-5Сафонов, В. Г. Об алгебраичности решетки t-замкнутых тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Алгебра и логика. – 2006. – Т. 45, № 5. – С. 620–626. https://doi.org/10.1007/s10469-006-0032-5Safonov V. G. The property of being algebraic for the lattice of all t-closed totally saturated formations. Algebra and Logic, 2006, vol. 45, no. 5, pp. 353–356. https://doi.org/10.1007/s10469-006-0032-5Шабалина, И. П. Алгебраичность решетки t-замкнутых n-кратно w-локальных формаций / И. П. Шабалина // Изв. Гомел. гос. ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры – 18. – 2002. – № 5 (14). – С. 59–67.Shabalina I. P. Algebraic lattices of t-closed n-multiply w-local formations. Izvestiya Gomel’skogo gosudarstvennogo universiteta imeni F. Skoriny. Voprosy algebry – 18 = Proceedings of the Francisk Scorina Gomel State University. Algebra Questions – 18, 2002, no. 5 (14), pp. 59–67 (in Russian).Щербина, В. В. Алгебраичность решетки t-замкнутых тотально w-насыщенных формаций конечных групп / В. В. Щербина // Уфим. мат. журн. – 2020. – Vol. 12, № 1. – С. 83–91. https://doi.org/10.13108/2020-12-1-82Shcherbina V. V. Algebraicity of lattice of t-closed totally w-saturated formations of finite groups. Ufimskii Matematicheskii Zhurnal, 2020, vol. 12, no. 1, pp. 82–90. https://doi.org/10.13108/2020-12-1-82Tsarev, A. A. Algebraic lattices of solvably saturated formations and their applications / A. A. Tsarev, A. V. Kukharev // Bol. Soc. Mat. Mex. – 2020. – Vol. 26, № 3. – P. 1003–1014. https://doi.org/10.1007/s40590-020-00290-3Tsarev A. A., Kukharev A. V. Algebraic lattices of solvably saturated formations and their applications. Boletìn de la Sociedad Matemática Mexicana, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 1003–1014. https://doi.org/10.1007/s40590-020-00290-3Щербина, В. В. О двух задачах теории частично тотально композиционных формаций конечных групп / В. В. Щербина // Приклад. математика & физика. – 2020. – Т. 52, № 1. – С. 18–32. https://doi.org/10.18413/2687-09592020-52-1-18-32Shcherbina V. V. On two problems of the theory of partially totally composition formations of finite groups. Applied Mathematics & Physics, 2020, vol. 52, no. 1, pp. 18–32 (in Russian). https://doi.org/10.18413/2687-0959-2020-52-1-18-32Воробьев, Н. Н. О наименьшем задании бэровской формации / Н. Н. Воробьев, А. В. Чечуев // Весн. Вiцеб. дзярж. ун-та. – 2022. – № 3 (116). – С. 15–18.Vorob’ev N. N., Chachuyeu A. V. On the smallest definition of a Baer formation. Vesnik Vitsebskaga dzyarzhaunaga universiteta = Vestnik of Vitebsk State University, 2022, no. 3 (116), pp. 15–18 (in Russian).Skiba, A. N. On the lattices of saturated and solubly saturated formations of finite groups / A. N. Skiba, N. N. Vorob’ev // Southeast Asian Bull. Math. – 2013. – Vol. 37, № 5. – P. 771–780.Skiba A. N., Vorob’ev N. N. On the lattices of saturated and solubly saturated formations of finite groups. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 2013, vol. 37, no. 5, pp. 771–780.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.