vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-1-18-36vestifm-700Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО численно-аналитическом методе построения экстремальных полиномов комплексного аргументаOn a numerical-analytical method for constructing extremal polynomials of a complex argumentТрубниковЮ. В.TrubnikovYu. V.

Трубников Юрий Валентинович – доктор физико- математических наук, профессор, профессор кафедры инженерной физики

пр. Московский, 33, 210038, Витебск

Yurii V. Trubnikov – Dr. Sc. (Physics and Mathema- tics), Professor, Professor of the Department of Engineering Physics

Vitebsk State University named after P. M. Masherov

yurii_trubnikov@mail.ruЧернявскийМ. М.ChernyavskyM. M.

Чернявский Михаил Михайлович – преподаватель кафедры инженерной физики

пр. Московский, 33, 210038, Витебск

Mikhail M. Chernyavsky – Lecturer at the Department of Engineering Physics

Vitebsk State University named after P. M. Masherov

Витебский государственный университет имени П. М. МашероваVitebsk State University named after P. M. Masherov2023030420235911836Copyright © Трубников Ю.В., Чернявский М.М., 20232023Трубников Ю.В., Чернявский М.М.Trubnikov Y.V., Chernyavsky M.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/700

Разработан численно-аналитический метод построения экстремальных в чебышевской норме по- линомов, заданных на квадрате комплексной плоскости. Такие полиномы являются естественным обобщением классических полиномов Чебышева первого рода. Классические условия Чебышева об альтернансе не распространяются на комплексную ситуацию, а критерий Колмогорова и критерий Иванова – Ремеза трудно проверяемы для установления свойства экстремальности конкретных полиномов в комплексном случае. С помощью разработанной авторами субдифференциальной конструкции вычислены явно экстремальные полиномы на квадратах в комплексной плоскости. Методы исследования – методы математического и функционального анализа с использованием системы компьютерной математики Maple 2021, методы теории функций и некоторые общие результаты теории оптимизации.

This article is devoted to the development of a numerical-analytical method for constructing extremes in the Chebyshev norm polynomials, given on the square of the complex plane. The studied polynomials are a generalization of the classical Chebyshev polynomials of the first kind. In the complex case there are no classical Chebyshev alternance conditions, and the Kolmogorov criterion along with the Ivanov – Remez criterion are difficult to prove for establishing the extremality property of specific polynomials. On the basis of the subdifferential construction developed by the authors of the article the extremal polinomials on the squares of the complex plane are calculated in an explicit way. The basic research methods are the methods of functional and complex mathematical analysis, as well as the Maple 2021 computer mathematics system. Methods of function theory and some general results of optimization theory are also used.

экстремальный полиномполиномы Чебышева первого родабанахово пространстволинейный функционалсубградиенткритерий оптимальностичисленно-аналитическое решениеextremal polynomialChebyshev polynomials of the first kindBanach spacelinear functionalsubgradientoptimality criterionnumerical-analytical solutionИсследование выполнено в рамках Государственной программы научных исследований «Конвергенция-2025» (№ 20210494).The research was carried out within the framework of the State Program of Scientific Research “Convergence-2025” (no. 20210494).ReferencesТрубников, Ю. В. О приближенных и точных полиномах типа Чебышева в комплексной области / Ю. В. Трубников // Таврич. вестн. информатики и математики. – 2003. – № 2. – С. 45–56.Trubnikov Yu. V. On approximate and exact polynomials of Chebyshev type in the complex domain. Tavricheskii vestnik informatiki i matematiki = Tauride Bulletin of Informatics and Mathematics, 2003, no. 2, pp. 45–56 (in Russian).Дзядык, В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В. К. Дзядык. – М.: Наука, 1977. – 512 с.Dzyadyk V. K. Introduction to the Theory of Uniform Approximation of Functions by Polynomials. Moscow, Nauka Publ., 1977. 512 p. (in Russian).Трубников, Ю. В. Экстремальные конструкции в негладком анализе и операторные уравнения с аккретивными нелинейностями / Ю. В. Трубников. – М.: Астропресс-ХХI, 2002. – 256 с.Trubnikov Yu. V. Extremal Constructions in Nonsmooth Analysis and Operator Equations with Accretive Nonlinearities. Moscow, Astropress-XXI Publ., 2002. 256 p. (in Russian).Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач / А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. – М.: Наука, 1974. – 480 с.Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Theory of Extremal Problems. Moscow, Nauka Publ., 1974. 480 p. (in Russian).Трубников, Ю. В. Субдифференциал и экстремальные конструкции / Ю. В. Трубников // Докл. АН БССР. – 1990. – Т. 34, № 6. – С. 505–507.Trubnikov Yu. V. Subdifferential and extreme constructions. Doklady akademii nauk BSSR [Reports of the Academy of Sciences of the BSSR], 1990, vol. 5, no. 6, pp. 505–507 (in Russian).Трубников, Ю. В. Об одном методе нахождения чебышевских итерационных параметров / Ю. В. Трубников // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 1999. – № 4. – С. 5–9.Trubnikov Yu. V. On one method for finding Chebyshev iterative parameters. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 1999, no. 4, pp. 5–9 (in Russian).Трубников, Ю. В. Движение корней экстремальных полиномов / Ю. В. Трубников, И. А. Орехова, Сунь Байюй // Весн. Віцеб. дзярж. ун-та. – 2012. – № 3. – С. 5–14.Trubnikov Yu. V., Orekhova I. A., Syn Baiyi. Movement of the roots of extreme polynomials. Vesnik Vicebskaga dzjarzhawnaga universitjeta = Bulletin of Vitebsk State University, 2012, no. 3, pp. 5–14 (in Russian).Красносельский, М. А. Позитивные линейные системы / М. А. Красносельский, Е. А. Лифшиц, А. В. Соболев. – М.: Наука, 1985. – 255 с.Krasnoselʼskii M. A., Lifshits E. A., Sobolev A. V. Positive Linear Systems. Moscow, Nauka Publ., 1985. 255 p. (in Russian).Kozjakin, V. S. Some remarks on the method of minimal residues / V. S. Kozjakin, M. A. Krasnosel’ski // Numer. Funct. Anal. Optim. – 1982. – Vol. 4, № 3. – P. 211–239. https://doi.org/10.1080/01630568208816115Kozjakin V. S., Krasnoselʼski M. A. Some remarks on the method of minimal residues. Numerical Functional Analysis and Optimization, 1994, vol. 4, no. 3, pp. 211–239. https://doi.org/10.1080/01630568208816115Zabrejko, A. P. Chebyshev Polynomial Iterations and Approximate Solutions of Linear Operator Equations / A. P. Zabrejko, P. P. Zabrejko // Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen. – 1994. – Vol. 13, № 4. – P. 667–681. https://doi.org/10.4171/zaa/484Zabrejko A. P., Zabrejko P. P. Chebyshev Polynomial Iterations and Approximate Solutions of Linear Operator Equations. Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen, 1994, vol. 13, no. 4, pp. 667–681. https://doi.org/10.4171/zaa/484Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский [и др.]. – М.: Наука, Гл. ред. физ.- мат. лит., 1969. – 455 с.Krasnoselʼski M. A., Vainikko G. M., Zabrejko P. P., Rutitskii Ya. B., Stetsenko V. Ya. Approximate Solution of Operator Equations. Moscow, Nauka Publ., 1969. 455 p. (in Russian).Лебедев, В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В. И. Лебедев. – М.: Физматлит, 2000. – 296 с.Lebedev V. I. Functional Analysis and Computational Mathematics. Moscow, Fizmatlit Publ., 2000. 296 p. (in Russian).Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский; пер. с пол. С. Н. Киро. – М.: Наука, 1983. – 384 с.Pashkovsky S. Computational Applications of Polynomials and Chebyshev Series. Moscow, Nauka Publ., 1983. 384 p. (in Russian).Коллатц, Л. Теория приближений / Л. Коллатц, В. Крабс. – М.: Мир, 1969. – 447 с.Collatz L., Krabs W. Approximationstheorie. Wiesbaden, Vieweg+Teubner Verlag, 1973. 209 p. https://doi.org/10.1007/978-3-322-94885-4Чернявский, М. М. О численном методе нахождения экстремального полинома седьмой степени, определенного на квадрате комплексной плоскости / М. М. Чернявский, Ю. В. Трубников // Наука – образованию, производству, экономике: материалы 74-й Регион. науч.-практ. конф. преподавателей, науч. сотрудников и аспирантов, Витебск, 18 февр. 2022 г. / Витеб. гос. ун-т; редкол.: Е. Я. Аршанский (гл. ред.) [и др.]. – Витебск: ВГУ им. П. М. Машерова, 2022. – С. 50–52.Chernyavsky М. М., Trubnikov Yu. V. On a numerical method for finding an extremal polynomial of the seventh degree defined on a square of the complex plan. Materialy 74 Regional’noi nauchno-prakticheskoi konferencii prepodavatelei, nauchnyh sotrudnikov i aspirantov «Nauka – obrazovaniyu, proizvodstvu, ekonomike» [Materials of the 74th Regional scientific and practical conference of teachers, researchers and postgraduates “Science for education, production, economics”]. Vitebsk, Vitebsk State University named after P. M. Masherov, 2022, pp. 50–52 (in Russian).Трубников, Ю. В. Экстремальные полиномы комплексного аргумента высоких степеней / Ю. В. Трубников, М. М. Чернявский // XX Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ – 2022): материалы Междунар. науч. конф., Новополоцк, 31 мая – 3 июня 2022 г.: в 2 ч. – Новополоцк: ПГУ, 2022. – Ч. 2. – С. 101–103.Trubnikov Yu. V., Chernyavsky М. М. Extremal polynomials of a complex argument of high degrees. Materialy XX Mezhdunarodnoi nauchnoi konferencii po differencial’nym uravneniyam «Eruginskie chteniya – 2022». T. 2 [Materials of the XX International scientific conference on differential equations “Eruginskie chteniya – 2022”. Vol. 2]. Novopolotsk, Euphrosyne Polotskaya State University of Polotsk, 2022, pp. 50–52 (in Russian).Трубников, Ю. В. Экстремальные полиномы третьей степени комплексного аргумента / Ю. В. Трубников, И. А. Орехова, Сунь Байюй // Вес. Віцеб. дзярж. ун-та. – 2012. – № 6 (72). – С. 13–18.Trubnikov Yu. V., Orekhova I. A., Syn Baiyi. Extreme third degree polynomials of complex argument. Vesnik Vicebskaga dzjarzhawnaga universitjeta = Bulletin of Vitebsk State University, 2012, no. 6 (72), pp. 13–18 (in Russian).Трубников, Ю. В. Построение экстремального полинома третьей степени специального вида, заданного на прямоугольнике комплексной плоскости / Ю. В. Трубников, И. А. Орехова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.- мат. навук. – 2013. – № 1. – С. 13–21.Trubnikov Yu. V., Orekhova I. A. Construction of the extreme third degree polynomial assigned on the rectangle of the complex plane. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2013, no. 1, pp. 13–21 (in Russian).Трубников, Ю. В. Об экстремальных полиномах третьей степени комплексного аргумента / Ю. В. Трубников, И. А. Орехова // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2014. – № 2. – С. 40–47.Trubnikov Yu. V., Orekhova I. A. On the extreme third-degree polynomials with complex argument. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2014, no. 2, pp. 40–47 (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.