vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-1-37-50vestifm-701Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКлассическое решение задачи для системы уравнений из механики с негладкими условиями КошиClassical solution of a problem for a system of equations from mechanics with nonsmooth Cauchy conditionsКорзюкВ. И.KorzyukV. I.

Виктор Иванович Корзюк – академик Национальной академии наук Беларуси, доктор физико-математических наук, профессор

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

пр. Независимости, 4, 220030, Минск

Viktor I. Korzyuk – Academician of the NationalAcademy of Sciences of Belarus, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

11, Surganov Str., 220072, Minsk

4, Nezavisimosti Ave., 220030, Minsk

korzyuk@bsu.byhttps://orcid.org/0000-0002-1482-9106РудькоЯ. В.RudzkoJ. V.

Рудько Ян Вячеславович – аспирант, магистр (математика и компьютерные науки)

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Jan V. Rudzko – Postgraduate Student, Master of Mathematics and Computer Science

11, Surganov Str., 220072, Minsk

janycz@yahoo.comИнститут математики Национальной академии наук Беларуси; Белорусский государственный университетInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus; Belarusian State UniversityИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus2023030420235913750Copyright © Корзюк В.И., Рудько Я.В., 20232023Корзюк В.И., Рудько Я.В.Korzyuk V.I., Rudzko J.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/701

Изучается смешанная задача в четверти плоскости для одной системы дифференциальных уравнений, описывающая колебания в однородных релаксирующих стержнях постоянного поперечного сечения, которые соответствуют модели Максвелла. На нижнем основании задаются условия Коши, причем одно из них имеет разрыв первого рода в точке. На боковой границе задается гладкое граничное условие. Для одной из функций системы выводится смешанная задача для уравнения Клейна – Гордона – Фока. Решение строится методом характеристик в неявном аналитическом виде как решение интегрального уравнения. Доказывается единственность и устанавливаются условия, при которых существует кусочно-гладкое решение. Для второй функции системы рассматривается задача Коши. Устанавливаются условия, при которых решение системы обладает достаточной степенью гладкости. 

In this article, we study a mixed problem in a quarter-plane for one system of differential equations, which describes vibrations in the string from viscoelastic material, which corresponds to the Maxwell model. At the bottom of the boundary, we pose the Cauchy conditions, and one of them has a discontinuity of the first kind at one point. We set a smooth boundary condition on the lateral boundary. We derive the Klein – Gordon – Fock equation for one function of the studied system. We use the method of characteristics to build the classical solution as a solution of some integral equation. We prove the uniqueness and establish conditions under which a piecewise smooth solution exists. The Cauchy problem is considered the system’s second function. We determine the conditions under which the solution of the system has sufficient smoothness

модель Максвеллауравнение Клейна – Гордона – Фокаметод характеристикклассическое решениесмешанная задачаMaxwell materialKlein – Gordon – Fock equationmethod of characteristicsclassical solutionmixed problemReferencesКорзюк, В. И. Частное решение задачи для системы уравнений из механики с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, Я. В. Рудько // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2022. – Т. 58, № 3. – С. 300–311. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-3-300-311Korzyuk V. I., Rudzko J. V. A particular solution of a problem for a system of equations from mechanics with nonsmooth Cauchy conditions. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2022, vol. 58, no. 3, pp. 300–311 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-3-300-31Ржаницын, А. Р. Теория ползучести / А. Р. Ржаницын. – М.: Стройиздат, 1968. – 418 с.Rzhanitsyn A. R. Theory of Creep. Moscow, Stroiizdat Publ., 1968. 418 p. (in Russian).Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учеб. пособие для вузов: в 10 т. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – 5-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2003. – Т. 7: Теория упругости. – 264 с.Landau L. D., Lifshitz E. M. Theoretical Physics: in 10 vol. Vol. 7. Elasticity theory. 5th ed. Moscow, Fizmatlit Publ., 2003. 264 p. (in Russian).Greiner, W. Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations / W. Greiner. – 3rd ed. – Berlin; Heidelberg: SpringerVerlag, 2000. – 424 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-04275-5Greiner W. Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations. 3rd ed. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2000. 424 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-04275-5Polyanin, A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists / A. D. Polyanin. – New York: Chapman and Hall/CRC, 2001. – 800 p. https://doi.org/10.1201/9781420035322Polyanin A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. New York, Chapman and Hall/CRC, 2001. 800 p. https://doi.org/10.1201/9781420035322Harrington, R. F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields / R. F. Harrington. – New York: Wiley-IEEE-Press, 2001. – 496 p. https://doi.org/10.1109/9780470546710Harrington R. F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. New York, Wiley-IEEE-Press, 2001. 496 p. https://doi.org/10.1109/9780470546710Араманович, И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Араманович, В. И. Левин. – 2-е изд. – М.: Наука, 1969. – 288 с.Aramanovich I. G., Levin V. I. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, Nauka Publ., 1969. 288 p. (in Russian).Пикулин, В. П. Практический курс по уравнениям математической физики / В. П. Пикулин, С. И. Похожаев. – 2-е изд. – М.: МЦНМО, 2004. – 208 с.Pikulin V. P., Pohozaev S. I. Equations in Mathematical Physics: A practical course. Basel, Springer, 2001. 207 p. https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0268-0Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. – 24-е изд. – СПб.: БХВ-Петербург, 2008. – Т. 2. – 848 с.Smirnov V. I. A Course of Higher Mathematics. Integration and Functional Analysis. Oxford, Pergamon Press, 1964, pp. 367–631. https://doi.org/10.1016/b978-1-4831-9747-0.50010-8Корзюк, В. И. Решение задачи Коши для телеграфного уравнения методом характеристик / В. И. Корзюк, И. С. Козловская, Ю. В. Шейко // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2011. – № 4. – С. 48–54.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S., Sheiko Yu. V. Solution of the Cauchy problem for the telegraph equation by the method of characteristics. Vestsі Natsyianalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics serie, 2011, no. 4, pp. 48–54 (in Russian).Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. – 13-е изд. – М.: Наука, 1986. – 545 с.Bronshtein I. N., Semendyayev K. A., Musiol G., Mühlig H. Handbook of Mathematics. Berlin, Heidelberg, SpringerVerlag, 2015. XLIV, 1207 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46221-8Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицадзе. – М.: Наука, 1981. – 448 с.Bitsadze A. V. Some Classes of Partial Differential Equations. New York, Gordon and Breach, 1988. 520 p.Chen, J. Analytical solution for time-fractional telegraph equation by the method of separating variables / J. Chen, F. Liu, V. Ahn // J. Math. Anal. Appl. – 2008. –Vol. 338, № 2. – P. 1364–1377. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.023Chen J., Liu F., Ahn V. Analytical solution for time-fractional telegraph equation by the method of separating variables. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 338, no. 2, pp. 1364–1377. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.023Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2014. – Т. 50, № 8. – C. 1108–1117.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for the Klein-Gordon-Fock equation in a half-strip. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 8, pp. 1098–1111. doi.org/10.1134/s0012266114080084Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока в полуполосе с косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2018. – Т. 54, № 4. – С. 391–403. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391-403Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation in the halfstrip with curve derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2018, vol. 54, no. 4, pp. 391–403 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2018-54-4-391403Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с характеристическими косыми производными в граничных условиях / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Вес. Нац. акад. навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2019. – Т. 55, № 1. – С. 7–21. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with characteristic oblique derivatives at boundary conditions. Vestsі Natsyianalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2019, vol. 55, no. 1, pp. 7–21 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2019-55-1-7-21Smirnov, I. N. Mixed problems for the telegraph equation in case of a system consisting of two segments with different densities and elasticities but equal impedances / I. N. Smirnov // Doklady Mathematics. – 2010. – Vol. 82, № 3. – P. 887– 891. https://doi.org/10.1134/s106456241006013xSmirnov I. N. Mixed problems for the telegraph equation in case of a system consisting of two segments with different densities and elasticities but equal impedances. Doklady Mathematics, 2010, vol. 82, no. 3, pp. 887–891. https://doi.org/10.1134/s106456241006013xКорзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения Клейна – Гордона – Фока в криволинейной полуполосе / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2014. – Т. 58, № 3. – С. 9–15.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution to the first mixed problem for Klein – Gordon – Fock equation in the curvilinear half-strip. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2014, vol. 58, no. 3, pp. 9–15 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Дифференц. уравнения. – 2017. – Т. 53, № 1. – С. 77–88.Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficient. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 1, pp. 77–85. doi.org/10.1134/S0012266117010074Giusti, A. Dispersive Wave Solutions of the Klein-Gordon equation in Cosmology [Electronic resource] / A. Giusti. – Università di Bologna, 2013. – Mode of access: https://amslaurea.unibo.it/id/eprint/6148. – Date of access: 02.03.2021.Giusti A. Dispersive Wave Solutions of the Klein-Gordon equation in Cosmology. Università di Bologna, 2013. 64 p. Available at: http://amslaurea.unibo.it/6148/ (accessed 02 March 2021).Корзюк, В. И. Классические решения задач для гиперболических уравнений: курс лекций: в 10 ч. / В. И. Корзюк, И. С. Козловская. – Минск: БГУ, 2012. – Ч. 3. – 52 с.Korzyuk V. I., Kozlovskaya I. S. Classical Solutions of Problems for Hyperbolic Equations. Part 3. Minsk, Belarusian State University, 2022. 52 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Уравнения математической физики / В. И. Корзюк. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: URSS, 2021. – 480 с.Korzyuk V. I. Equations of Mathematical Physics. 2nd ed. Moscow, URSS Publ., 2021. 480 p. (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение смешанной задачи для одномерного волнового уравнения с негладким вторым условием Коши / В. И. Корзюк, Я. В. Рудько // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2021. – Т. 57, № 1. – С. 23–32. https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-1-23-32Korzyuk V. I., Rudzko J. V. The classical solution of the mixed problem for the one-dimensional wave equation with the nonsmooth second initial condition. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matem-atychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2021, vol. 57, no. 1, pp. 23–32 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2021-57-1-23-32Корзюк, В. И. Классическое решение смешанных задач для одномерного волнового уравнения с негладкими условиями Коши / В. И. Корзюк, С. И. Пузырный // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2016. – № 2. – С. 22–31.Korzyuk V. I., Puzyrnyi S. I. Classical solution of mixed problems for the one-dimensional wave equation with Cauchy nonsmooth conditions. Vestsі Natsyianalʼnai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2016, no. 2, pp. 22–31 (in Russian).Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для уравнения типа Клейна – Гордона – Фока с неоднородными условиями согласования / В. И. Корзюк, И. И. Столярчук // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2019. – Т. 63, № 1. – С. 7–13. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-1-7-13Korzyuk V. I., Stolyarchuk I. I. Classical solution for the first mixed problem for the Klein – Gordon – Fock type equation with inhomogeneous matching conditions. Doklady Natsionalʼnoi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2019, vol. 63, no. 1, pp. 7–13 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-1-7-13Корзюк, В. И. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом / В. И. Корзюк, Я. В. Рудько // Дифференц. уравнения. – 2022. – Т. 58, № 2. – С. 174–184. https://doi.org/10.31857/S0374064122020042Korzyuk V. I., Rudzko J. V. Classical Solution of the First Mixed Problem for the Telegraph Equation with a Nonlinear Potential. Differential Equations, 2022, vol. 58, no. 2, pp. 175–186. https://doi.org/10.1134/s0012266122020045

The authors declare that there are no conflicts of interest present.