vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-2-95-109vestifm-709Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSАб набліжэнні функцыі | sin |s x рацыянальнымі трыганаметрычнымі аператарамі ФеераOn the approximation of the | sin |s x function by rational trigonometric operators of the Fejér typeКазлоўскаяН. Ю.KazlouskayaN. Yu.

Казлоўская Наталля Юр’еўна – аспірант кафедры фундаментальнай і прыкладной матэматыкі і інфарматыкі

вул. Ажэшкі, 22, 230023, Гродна

Natallia Yu. Kazlouskaya – Postgraduate Student of the Department of Fundamental and Applied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

Kozlowskaya_Natalya@tut.byРоўбаЯ. А.RovbaYa. A.

Роўба Яўген Аляксеевіч – доктар фізіка-матэматычных навук, прафесар, загадчык кафедры фундаментальнай і прыкладной матэматыкі і інфарматыкi

вул. Ажэшкі, 22, 230023, Гродна

Yaugeni A. Rovba – Dr. Sc. (Physics and Mathematics),Professor, Head of the Department of Fundamental andApplied Mathematics

22, Ozheshko Str., 230023, Grodno

rovba.ea@gmail.comГродзенскі дзяржаўны ўніверсітэт імя Янкі КупалыУanka Kupala State University of Grodno20230607202359295109Copyright © Казлоўская Н.Ю., Роўба Я.А., 20232023Казлоўская Н.Ю., Роўба Я.А.Kazlouskaya N.Y., Rovba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/709

Апраксімацыя з дапамогай трыганаметрычных шэрагаў Фур’е з’яўляецца добра распрацаваным кірункам тэорыі набліжэння паліномамі. Метады набліжэння рацыянальнымі трыганаметрычнымі шэрагамі Фур’е даследаваны ў меньшай ступені. У прыватнасці, рацыянальныя трыганаметрычныя аператары Феера ў рацыянальнай апраксімацыі са свабоднымі полюсамі не выкарыстоўваліся. У рабоце даследуецца апраксімацыя функцыі | sin | , (0;2), ∈ s x s рацыянальнымі трыганаметрычнымі аператарамі Феера. Атрымана інтэгральнае прадстаўленне астатку набліжэння функцыі, якая разглядаецца, азначаным метадам. Знойдзена ацэнка такіх набліжэнняў у пунктах аналітычнасці функцыі | sin |s x пры ўмове паўнаты адпаведнай сістэмы рацыянальных функцый. На прыкладзе набліжэння рацыянальнымі функцыямі Феера з двума геаметрычна рознымі полюсамі паказана, што парадак раўнамернага набліжэння ў гэтым выпадку вышэйшы за парадак набліжэння трыганаметрычнымі паліномамі. У якасці выніку атрымана асімптатычная ацэнка раўнамернага набліжэння трыганаметрычнымі сумамі Феера ў полінаміяльным выпадку. 

Approximation by trigonometric Fourier series is a well-developed branch of the theory of approximation by polynomials. Methods of approximation by rational trigonometric Fourier series have not been researched so deeply yet. In particular, rational trigonometric operators of the Fejér type have not been used in the rational approximation with free poles. In this paper, we consider the approximation of the function | sin | , (0;2), ∈ s x s by rational trigonometric operators of the Fejér type. An integral representation of the remainder for the above-mentioned approximation is obtained. An estimate of approximations is found in the points of analyticity of the function | sin |s x under the condition that the corresponding system of rational functions is complete. It is shown that the order of uniform approximation in the case of approximation by rational Fejér functions with two geometrically different poles is higher than the order of approximation by trigonometric polynomials. As a result, an asymptotic estimation of the uniform approximation by trigonometric Fejér sums in the polynomial case is obtained. 

рацыянальная апраксімацыярацыянальныя трыганаметрычныя аператары Феераасімптатычныя ацэнкімажаранта раўнамерных набліжэнняўrational approximationrational trigonometric operators of the Fejér typeasymptotic estimatesmajorant of uniform approximationReferencesFejér, L. Untersuchungen über Fouriersche Reihen / L. Fejér // Math. Ann. – 1904. – Vol. 58, № 1–2. – P. 51‒69. https://doi.org/10.1007/bf01447779Fejér L. Untersuchungen über Fouriersche Reihen. Mathematische Annalen, 1904, vol. 58, no. 1‒2, pp. 51‒69. https://doi.org/10.1007/bf01447779Lebesgue, H. Sur les intégrales singulières / H. Lebesgue // Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques. – 1909. – Vol. 1, № 1. – P. 25–117. https://doi.org/10.5802/afst.257Lebesgue H. Sur les intégrales singulières. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques, 1909, vol. 1, pp. 25–117. https://doi.org/10.5802/afst.257Bernstein, S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne / S. Bernstein // Mem. Acad. Roy. Belgique. – 1912. – Vol. 4, № 4. – P. 1–104.Bernstein S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne. Mémoires de lʼAcadémie Royale des Sciences, Lettres et Beaux Arts de Belgique, 1912, vol. 4, no. 4, pp. 1–104.Zygmund, A. On the degree of approximation of functions by Fejér means / A. Zygmund // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 51, № 4. – P. 274–278. https://doi.org/10.1090/s0002-9904-1945-08332-3Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejér means. Bulletin of the American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 4, pp. 274–278. https://doi.org/10.1090/s0002-9904-1945-08332-3Джрбашян, М. М. К теории рядов Фурье по рациональным функциям / М. М. Джрбашян // Изв. Акад. наук Армян. ССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1956. – Т. 9, № 7. – С. 3‒28.Dzhrbashian M. M. To Fourier series theory about rational functions. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Seriya fiziko-matematicheskikh nauk [Proceedings of the Academy of Sciences of the Armenian SSR. Series of Physical and Mathematical Sciencies], 1956, vol. 9, no. 7, pp. 3‒28 (in Russian).Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1979. – 179 с.Rusak V. N. Rational Functions as Approximation Apparatus. Minsk, BSU, 1979. 179 p. (in Russian).Petrushev, P. P. Rational approximation of real functions / P. P. Petrushev, V. A. Popov. – Cambridge University Press, 1988. – 384 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781107340756Petrushev P. P., Popov V. A. Rational Approximation of Real Functions. Cambridge University Press, 1988. 384 p. https://doi.org/10.1017/cbo9781107340756Ровба, E. А. Интерполяция и ряды Фурье в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106 с.Rovba E. A. Interpolation and Fourier Series in Rational Approximation. Grodno, Grodno State University, 2001. 106 p. (in Russian).Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Мат. сб. – 1971. – Т. 86 (128), № 2 (10). – С. 314–324.Lungu K. N. On best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Matematicheskii sbornik Sbornik: Mathematics, 1971, vol. 86 (128), no. 2 (10), pp. 314–324 (in Russian).Лунгу, К. Н. О наилучших приближениях рациональными функциями с фиксированным числом полюсов / К. Н. Лунгу // Сиб. мат. журн. – 1984. – Т. 15, № 2. – С. 151–160.Lungu K. N. On best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Sibirskii matematicheskii zhurnal = Siberian Mathematical Journal, 1984, vol. 15, no. 2, pp. 151–160 (in Russian).Ровба, Е. А. О приближении рациональными функциями с заданным числом полюсов / Е. А. Ровба // Современные проблемы теории функций: материалы Всесоюз. шк. по теории функций, Баку, 21 мая – 1 июня 1977 г. – Баку, 1980. – С. 234–239.Rovba E. A. On approximation by rational functions with a given number of poles. Sovremennye problemy teorii funktsii: materialy Vsesoyuznoi shkoly po teorii funktsii [Modern Problems of the Theory of Functions: Materials All-Union. schools on the theory of functions]. Baku, 1980, pp. 234–239 (in Russian).Старовойтов, А. П. Аппроксимация рациональными функциями с заданным числом полюсов / А. П. Старовойтов. Минск: Белорус. гос. ун-т., 1984. – 23 с.Starovoitov A. P. Approximation by Rational Functions with a Given Number of Poles. Minsk, BSU, 1984. 23 p. (in Russian).Поцейко, П. Г. Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба, К. А. Смотрицкий // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2020. –№ 2. – С. 6–27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Patseika P. G., Rovba Ya. A., Smatrytski K. A. On one rational integral operator of Fourier –Chebyshev type and approximation of Markov functions. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2020, no. 2, pp. 6–27 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27Поцейко, П. Г. Суммы Фейера рационального ряда Фурье – Чебышева и аппроксимации функции |x|s / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3. – С. 18-34. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-18-34Patseika P. G., Rovba Ya. A. Fejer means of rational Fourier-Chebyshev series and approximation of function |x|s]. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 3, pp. 18–34 (in Russian). https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-18-34Казлоўская, Н. Ю. Аб набліжэннях рацыянальнымі трыганаметрычнымі аператарамі Феера на класах Ліпшыца / Н. Ю. Казлоўская // Весн. Гродзен. дзярж.ун-та імя Янкі Купалы. Сер. 2, Матэматыка. Фізіка. Інфарматыка, вылічальная тэхніка і кіраванне. – 2022. – Т. 12, № 2. – С. 13–22.Kazlouskaya N. Ju. On the approximation by rational trigonometric operators of Fejér type on Lipschitz classes. Vesnіk Grodzenskaga dzyarzhaўnaga ўnіversіteta іmya Yankі Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fіzіka. Іnfarmatyka, vylіchal'naya tekhnіka і kіravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol, 2022, vol. 12, no. 2, pp. 13–22 (in Belarussian).Казлоўская, Н. Ю. Аб апраксімацыі функцыі |sin x|s частковымі сумамі трыганаметрычных рацыянальных шэрагаў Фур’е / Н. Ю. Казлоўская, Я. А. Роўба // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 2021. – Т. 65, № 1. – С. 11–17. https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-1-11-17Kazlouskaya N. Yu., Rouba Ya. A. Approximation of the function |sin x|s by the partial sums of the trigon-mometric rational fourier series. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 2021, vol. 65, no. 1, pp. 11–17 (in Belarussian). https://doi.org/10.29235/1561-8323-2021-65-1-11-17Ахиезер, Н. И. Лекции по теории аппроксимации / Н. И. Ахиезер – М.: Наука, 1965. – 408 с.Ahiezer N. I. Lectures on Approximation Theory. Moscow, Nauka Publ., 1965. 408 p. (in Russian).Эрдейи, А. Асимптотические разложения: пер. с англ. / А. Эрдейи. – М.: Физматгиз, 1962. – 128 с.Erdelyi A. Asymptotic Expansions. Dover Publ., 1956. 128p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.