vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-3-183-200vestifm-729Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSО рациональных приближениях интегралов Пуассона на отрезке суммами Фейера интегральных операторов Фурье – ЧебышеваOn rational approximations of Poisson integrals on the interval by Fejer sums of Fourier – Chebyshev integral operatorshttps://orcid.org/0000-0001-7835-0500ПоцейкоП. Г.PatseikaP. G.

Павел Геннадьевич Поцейко, кандидат физико-математических наук, доцент

кафедра фундаментальной и прикладной математики

230023

ул. Ожешко, 22

Гродно

Pavel G. Patseika, Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor

Department of Fundamental and Applied Mathematics

230023

22, Azheshki Str.

Grodno

pahamatby@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-1265-1965РовбаЕ А.RoubaYa. A.

Евгений Алексеевич Ровба, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой

кафедра фундаментальной и прикладной математики

230023

ул. Ожешко, 22

Гродно

Yauheni A. Rouba, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Head of the Department

Department of Fundamental and Applied Mathematics

230023

22, Azheshki Str.

Grodno

rovba.ea@gmail.comГродненский государственный университет имени Янки КупалыYanka Kupala State University of Grodno202302102023593183200Copyright © Поцейко П.Г., Ровба Е.А., 20232023Поцейко П.Г., Ровба Е.А.Patseika P.G., Rouba Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/729

   Изучаются аппроксимации суммами Фейера рациональных интегральных операторов Фурье – Чебышева с ограничениями на число геометрически различных полюсов. В качестве объекта исследований выступает класс функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке [–1, 1]. Установлены интегральные представления приближений и оценки сверху равномерных приближений. В случае, когда граничная функция имеет на отрезке [–1, 1] степенную особенность, найдены оценки сверху поточечных и равномерных приближений, асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Подробно исследуется задача об аппроксимации интегралов Пуассона при двух геометрически различных полюсах аппроксимирующей рациональной функции. В этом случае найдены оптимальные значения параметров, при которых достигается наибольшая скорость равномерных приближений изучаемым методом. В случае, когда интеграл Пуассона является представлением функции |x|s, s ∈ (0, 1], оценки равномерных приближений являются выше соответствующих полиномиальных аналогов. В качестве следствия получены асимптотические выражения точных верхних граней отклонений сумм Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева на классах интегралов Пуассона на отрезке, а также оценки равномерных приближений функций, задаваемых интегралами Пуассона на отрезке, с граничной функцией, имеющей степенную особенность, суммами Фейера полиномиальных рядов Фурье – Чебышева.

   Approximations of the Fejér sums of the Fourier – Chebyshev rational integral operators with restrictions on numerical geometrically different poles are herein studied. The object of research is the class of functions defined by Poisson integrals on the segment [–1, 1]. Integral representations of approximations and upper estimates of uniform approximations are established. In the case when the boundary function has a power singularity on the segment [–1, 1], upper estimates of pointwise and uniform approximations are found, and the asymptotic representation of the majorant of uniform approximations is found. As a separate problem, approximations of Poisson integrals for two geometrically different poles of the approximating rational function are considered. In this case, the optimal values of the parameters at which the highest rate of uniform approximations by the studied method is achieved are found. If the function |x|s, s ∈ (0, 1], is approximated, then this rate is higher than the corresponding polynomial analogues. Consequently, asymptotic expressions of the exact upper bounds of the deviations of Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series on classes of Poisson integrals on a segment are obtained. Estimates of uniform approximations by Fejer sums of polynomial Fourier – Chebyshev series of functions given by Poisson integrals on a segment with a boundary function having a power singularity are also obtained.

рациональные интегральные операторысуммы Фейераклассы интегралов Пуассонаасимптотические оценкиравномерные приближенияrational integral operatorsFeyer sumsclasses of Poisson integralsasymptotic estimatesuniform approximationsReferencesНикольский, С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем / С. М. Никольский // Известия АН СССР. Сер. мат. – 1946. – Т. 10, № 3. – С. 207–256.Nikol’skii S. M. Approximation of functions by trigonometric polynomials on average. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya = Mathematics of the USSR. Izvestiya, 1946, vol. 10, no. 3, pp. 207–256 (in Russian).Стечкин, С. Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций / С. Б. Стечкин // Тр. МИАН СССР. – 1980. – Т. 145. – С. 126–151.Stechkin S. B. Estimation of the remainder of the Fourier series for differentiable functions. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1980, vol. 145, pp. 126–151 (in Russian).Степанец, А. И. Решение задачи Колмогорова – Никольского для интегралов Пуассона непрерывных функций / А. И. Степанец // Мат. сб. – 2001. – Т. 192, № 1. – С. 113–138. doi: 10.4213/sm538Stepanets A. I. Solution of the Kolmogorov – Nikolsky problem for Poisson integrals of continuous functions. Matematicheskii sbornik = Sbornik: Mathematics, 2001, vol. 192, no. 1, pp. 113–138 (in Russian). doi: 10.1070/sm2001v192n01abeh000538Serdyuk, A. S. Asymptotic behavior of best approximations of classes of Poisson integrals of functions from Hω / A. S. Serdyuk, I. V. Sokolenko // J. Approxim. Theory. – 2011. – Vol. 163, iss. 11. – P. 1692–1706. doi: 10.1016/j.jat.2011.06.008Serdyuk A. S., Sokolenko I. V. Asymptotic behavior of best approximations of classes of Poisson integrals of functions from Hω. Journal of Approximation Theory, 2011, vol. 163, no. 11, pp. 1692–1706. doi: 10.1016/j.jat.2011.06.008Новиков, О. А. Приближение интегралов Пуассона линейными методами / О. А. Новиков, О. Г. Ровенская, Ю. В. Козаченко // Працi IПММ НАН України. – 2017. – Т. 31. – С. 92–108.Novikov O. A., Rovenskaya O. G., Kozachenko Yu. V. Approximation of Poisson integrals by linear methods. Pratsi IPMM NAN Ukraini = Proceedings of IAMM of the NAS of Ukraine, 2017, vol. 31, pp. 92–108 (in Russian).Ровенська, О. Г. Наближення класiв iнтегралiв Пуассона повторнiмi сумами Фейера / О. Г. Ровенська // Буковин. мат. журн. – 2020. – Т. 8, № 2. – С. 114–121. doi: 10.31861/bmj2020.02.10Rovens’ka O. G. Approximation of the class of the Poisson integral by repeated Fejer sums. Bukovins’kii matematicheskii zhurnal = Bukovinian Mathematical Journal, 2020, vol. 8, no. 2, pp. 114–121 (in Ukrainian). doi: 10.31861/bmj2020.02.10Fejer, L. Untersuchungen uber Fouriersche Reihen / L. Fejer // Math. Ann. – 1904. – Vol. 58, iss. 1–2. – P. 51–69.Fejer L. Untersuchungen uber Fouriersche Reihen. Mathematische Annalen, 1904, vol. 58, no. 1–2, pp. 51–69 (in German).Lebesgue, H. Sur les integrales singulieres / H. Lebesgue // Annales de la faculte des sciences de Toulouse, 3e serie. – 1909. – Vol. 1. – P. 25–117.Lebesgue H. Sur les integrales singulieres. Annales de la faculte des sciences de Toulouse 3e serie, 1909, vol. 1, pp. 25–117 (in French).Bernstein, S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne / S. Bernstein. – Bruxelles: M. Hayez. Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1912. – 104 p.Bernstein S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degre donne. Bruxelles, M. Hayez, Imprimeur de l’academie royale de Belgique, 1912. 104 p. (in French).Никольский, С. М. Об асимптотическом поведении остатка при приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. М. Никольский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1940. – Т. 4, № 6. – С. 501–508.Nikol’skii S. M. On the asymptotic behavior of the remainder when approximating functions satisfying the Lipschitz condition by Feyer sums. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya = Mathematics of the USSR. Izvestiya, 1940, vol. 4, no. 6, pp. 501–508 (in Russian).Zygmund, A. On the degree of approximation of functions by Fejer means / A. Zygmund // Bulletin of the American Mathematical Society. – 1945. – Vol. 51, iss. 4. – P. 274–278. doi: 10.1090/s0002-9904-1945-08332-3Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejer means. Bulletin of the American Mathematical Society, 1945, vol. 51, no. 4, pp. 274–278. doi: 10.1090/s0002-9904-1945-08332-3Ефимов, А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера / А. В. Ефимов // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1958. – Т. 22, № 1. – С. 81–116.Efimov A. V. On the approximation of certain classes of continuous functions by Fourier sums and Feyer sums. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya = Mathematics of the USSR. Izvestiya, 1958, vol. 22, no. 1, pp. 81–116 (in Russian).Стечкин, С. Б. О приближении периодических функций суммами Фейера / С. Б. Стечкин // Тр. МИАН СССР. – 1961. – Т. 62. – С. 48–60.Stechkin S. B. On the approximation of periodic functions by Feyer sums. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova = Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1961. vol. 62, pp. 48–60 (in Russian).Теляковский, С. А. О приближении функций, удовлетворяющих условию Липшица, суммами Фейера / С. А. Теляковский // Укр. мат. журн. – 1969. – Т. 21, № 3. – С. 334–343.Telyakovskii S. A. On the approximation of functions satisfying the Lipschitz condition by Feyer sums. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 1969, vol. 21, no. 3, pp. 334–343 (in Russian).Мартынюк, В. Т. Точные константы приближения периодических функций операторами Фейера / В. Т. Мартынюк // Укр. мат. журн. – 1990. – Т. 42, № 1. – С. 75–83.Martynyuk V. T. Exact constants of approximation of periodic functions by Feyer operators. Ukrainskii matematicheskii zhurnal = Ukrainian Mathematical Journal, 1990, vol. 42, no. 1, pp. 75–83 (in Russian).Новиков, О. А. Приближение классов интегралов Пуассона суммами Фейера / О. А. Новиков, О. Г. Ровенская // Компьютер. исслед. и моделирование. – 2015. – Т. 7, № 4. – С. 813–819. doi: 10.20537/2076-7633-2015-7-4-813-819Novikov O. A., Rovenskaya O. G. Approximation of classes of Poisson integrals by Feyer sums. Komp’yuternye issledovaniya i modelirovanie = Computer Research and Modeling, 2015, vol. 7, no. 4, pp. 813–819 (in Russian). doi: 10.20537/2076-7633-2015-7-4-813-819Novikov, O. O. Approximation of periodic analytic functions by Fejer sums / O. O. Novikov, O. G. Rovenska // Matematychni Studii. – 2017. – Vol. 47, № 2. – P. 196–201. doi: 10.15330/ms.47.2.196-201Novikov O. O., Rovenska O. G. Approximation of periodic analytic functions by Fejer sums. Matematychni Studii, 2017, vol. 47, no. 2, pp. 196–201. doi: 10.15330/ms.47.2.196-201Ровенская, О. Г. О приближении средними Фейера классов аналитических периодических функций / О. Г. Ровенская, О. А. Новиков // Чебышев. сб. – 2020. – Т. 21, № 4. – С. 218–226. doi: 10.22405/2226-8383-2020-21-4-218-226Rovenska O. G., Novikov O. O. On approximation by Fejer means of classes of analytic periodic functions. Chebyshevskii sbornik = Chebyshevskii Sbornik, 2020, vol. 21, no. 4, pp. 218–226 (in Russian). doi: 10.22405/2226-8383-2020-21-4-218-226Русецкий, Ю. И. О приближении непрерывных на отрезке функций суммами Абеля – Пуассона / Ю. И. Русецкий // Сиб. мат. журн. – 1968. – Т. 9, № 1. – С. 136–144.Rusetskii Yu. I. On the approximation of continuous functions on a segment by Abel – Poisson sums. Siberian Mathematical Journal, 1968, vol. 9, no. 1, pp. 103–109. doi: 10.1007/BF02196661Жигалло, Т. В. Приближение функций, удовлетворяющих условию Липшица на конечном отрезке вещественной оси, интегралами Пуассона – Чебышева / Т. В. Жигалло // Проблемы управления и информатики. – 2018. – № 3. – С. 1–14.Zhigallo T. V. Approximation of Functions Holding the Lipschitz Conditions on a Finite Segment of the Real Axis by the Poisson–Chebyshev Integrals. Journal of Automation and Information Sciences, 2018, vol. 50, no. 5, pp. 34–48 doi: 10.1615/jautomatinfscien.v50.i5.40Русак, В. Н. Об одном методе приближения рациональными функциями / В. Н. Русак // Вес. Акад. навук БССР. Сер. фіз.-мат. навук. – 1978. – № 3. – С. 15–20.Rusak V. N. On one method of approximation by rational functions. Vestsі akademіі navuk BSSR. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of BSSR. Physics and Mathematics series, 1978, vol. 3, pp. 15–20 (in Russian).Ровба, Е. А. Рациональные интегральные операторы на отрезке / Е. А. Ровба // Вестн. БГУ. Сер. 1, Физика. Математика. Информатика. – 1996. – № 1. – С. 34–39.Rovba E. A. Rational integral operators on a segment. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika = Bulletin of the Belarusian State University. Series 1, Physics. Mathematics. Informatics: scientific and theoretical journal, 1996, no. 1, pp. 34–39 (in Russian).Смотрицкий, К. А. О приближении выпуклых функций рациональными интегральными операторами на отрезке / К. А. Смотрицкий // Вестн. БГУ. Сер. 1. Математика и информатика. – 2005. – № 3. – С. 64–70.Smotritskii K. A. On the approximation of convex functions by rational integral operators on a segment. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika = Bulletin of the Belarusian State University. Series 1, Physics. Mathematics. Informatics: scientific and theoretical journal, 2005, no. 3, pp. 64–70 (in Russian).Ровба, Е. А. Об одном прямом методе в рациональной аппроксимации / Е. А. Ровба // Докл. Акад. наук БССР. – 1979. – Т. 23, № 11. – С. 968–971.Rovba E. A. On one direct method in rational approximation. Doklady Akademii nauk BSSR [Doklady of the Academy of Sciences of BSSR], 1979, vol. 23, no. 11, pp. 968–971 (in Russian).Поцейко, П. Г. Приближения на классах интегралов Пуассона рациональными интегральными операторами Фурье – Чебышева / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Сиб. мат. журн. – 2021. – Т. 62, № 2. – С. 362–386. doi: 10.33048/smzh.2021.62.209Potseiko P. G., Rovba E. A. Approximations on classes of Poisson integrals by rational Fourier – Chebyshev integral operators. Siberian Mathematical Journal, 2021, vol. 62, no. 2, pp. 292–312. doi: 10.1134/s0037446621020099Русак, В. Н. Рациональные функции как аппарат приближения / В. Н. Русак. – Минск: БГУ, 1979. – 178 с.Rusak V. N. Rational Functions as an Approximation Apparatus. Minsk, BSU, 1979. 178 p. (in Russian).Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 5-е изд., стер. – М.: Нау ка, 1977. – 735 с.Tikhonov A. N. Samarskii A. A. Equations of Mathematical Physics. Moscow, Nauka Publ., 1977. 735 p. (in Russian).Поцейко, П. Г. О рациональных аппроксимациях функции Маркова на отрезке суммами Фейера с фиксированным количеством полюсов / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Тр. ин-та математики. – 2022. – Т. 30, № 1–2. – С. 57–77.Potseiko P. G., Rovba E. A. On rational approximations of the Markov function on an interval by Fejйr sums with a fixed number of poles. Trudy instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2022, vol. 30, no. 1–2, pp. 57–77 (in Russian).Поцейко, П. Г. Суммы Фейера рационального ряда Фурье – Чебышева и аппроксимации функции |x|s / П. Г. Поцейко, Е. А. Ровба // Журн. Белорус. гос. ун-та. Математика. Информатика. – 2019. – № 3. – С. 18–34. doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34Potseiko P. G., Rovba E. A. Feyer sums of the rational Fourier – Chebyshev series and approximations of the function |x|s. Zhurnal Belorusskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Informatika = Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics, 2019, no. 3, pp. 18–34 (in Russian). doi: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34

The authors declare that there are no conflicts of interest present.