vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-3-213-223vestifm-731Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSОб управляемости, наблюдаемости и оптимизации дискретных нестационарных линейных систем ВольтерраOn the сontrollability, observability, and optimization of discrete nonstationary linear Volterra systemsАстровскийА.AstrovskiiA. I.

Анатолий Иванович Астровский, доктор физи-ко-математических наук, профессор, профессор кафедры

кафедра высшей математики

220070

Партизанский пр., 26

Минск

Anatoly. I. Astrovskii, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Professor of the Department

Department of Higher Mathematics

220070

26, Partizansky Ave.

Minsk

aastrov53@gmail.comГорячкинВ. В.GoryachkinV. V.

Владимир Викторович Горячкин, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры

кафедра технологий программирования

220030

пр. Независимости, 4

Минск

Vladimir V. Goryachkin, Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Associate Professor of theDepartment

Department of Programming Technologies

220030

4, Nezavisimosti Ave.

Minsk

gorvv@bsu.byДымковМ. П.DymkovM. P.

Михаил Пахомович Дымков, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры

кафедра высшей математики

220070

Партизанский пр., 26

Минск

Mikhail P. Dymkov, Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor

Department of Higher Mathematics

220070

26, Partizansky Ave.

Minsk

dymkov_m@bseu.byБелорусский государственный экономический университетBelarusian State Economic UniversityБелорусский государственный университетBelarusian State University202303102023593213223Copyright © Астровский А.И., Горячкин В.В., Дымков М.П., 20232023Астровский А., Горячкин В.В., Дымков М.П.Astrovskii A.I., Goryachkin V.V., Dymkov M.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/731

   Исследуются дискретные нестационарные линейные системы уравнений типа Вольтерра, существенной особенностью которых является зависимость каждого последующего состояния от всей предыстории процесса. Получено представление решений таких систем в форме Коши с учетом управляющих воздействий. Установлены необходимые и достаточные условия точечной управляемости, точечной управляемости по выходу и наблюдаемости, а также исследована линейно-квадратичная задача оптимизации рассматриваемых систем уравнений Вольтерра.

   In this article, we study discrete nonstationary linear dynamic systems of Volterra type. An essential feature of such kind of systems is that their current states depend on the previous states of this system. The formula Cauchy, which gives us the solution of linear Volterra systems with the control inputs, is obtained. The necessary and sufficient conditions of the pointwise controllability, pointwise output controllability, and observability are proven. Also the linear-quadratic optimization problem for the nonstationary Volterra control systems is studied.

дискретные нестационарные линейные системы Вольтерраформула Кошиточечная управляемостьточечная управляемость по выходунаблюдаемостьлинейно-квадратичная оптимизацияdiscrete nonstationary linear Volterra systemsformula Cauchypointwise controllabilitypointwise controllability for outputobservabilitylinear-quadratic optimizationReferencesГайшун, И. В. Управляемость систем, описываемых линейными дискретными уравнениями Вольтерpа / И. В. Гайшун, М. П. Дымков // Автоматика и телемеханика. – 2000. – № 7. – С. 88–100.Gaishun I. V., Dymkov M. P. Controllability of systems described by linear discrete Volterra equations. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 2000, no. 7, pp. 88–100 (in Russian).Kolmanovskii, V. B. Asymptotic properties of the solutions for some discrete Volterra equations / V. B. Kolmanovskii, E. Castellanos-Velasco // Dynamic Syst. Appl. – 2005. – Vol. 14 (2). – P. 197–224.Kolmanovskii V. B., Castellanos­Velasco E. Asymptotic properties of the solutions for some discrete Volterra equations. Dynamic Systems and Applications, 2005, vol. 14 (2), pp. 197–224.Гайшун, И. В. Многопараметрические системы управления / И. В. Гайшун. – Минск: Наука и техника, 1996. – 199 с.Gaishun I. V. Multiparametric Control Systems. Minsk, Nauka i tekhnika Publ., 1996. 199 p. (in Russian).Дымков, М. П. Экстремальные задачи в многопараметрических системах управления / М. П. Дымков. – Минск: БГЭУ, 2005. – 363 с.Dymkov M. P. Extreme Problems in Multiparametric Control Systems. Minsk: BSEU, 2005. 363 p. (in Russian).Exponential stability of repetitive discrete linear processes / M. Dymkov [et al.] // Int. J. Control. – 2002. – Vol. 75, № 12. – P. 861–869. doi: 10.1080/00207170210131997Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. Exponential stability of repetitive discrete linear processes. International Journal of Control, 2002, vol. 75, no. 12, pp. 861–869. doi: 10.1080/00207170210131997Z-transform and Volterra operator based approach to controllability and observability of discrete linear repetitive processes / M. Dymkov [et al.] // Multidimensional Syst. Signal Process. – 2003. – Vol. 14, № 4. – P. 365–395.Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. Z­transform and Volterra operator based approach to controllability and observability of discrete linear repetitive processes. Multidimensional Systems and Signal Processing, 2003, vol. 14, no. 4, pp. 365–395.Control Theory for a Class of 2D Continuous-Discrete Linear Systems / M. Dymkov [et al.] // Int. J. Control. – 2004. – Vol. 77, № 9. – P. 847–860. doi: 10.1080/00207170410001726796Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Galkowski K., Owens D. H. Control Theory for a Class of 2D Continuous­-Discrete Linear Systems. International Journal of Control, 2004. vol. 77, no. 9, pp. 847–860. doi: 10.1080/00207170410001726796Optimal Control of Non-Stationary Differential Repetitive Processes / M. Dymkov [et al.] // Int. J. Integral Equat. Operator Theory. – 2008. – Vol. 60, № 2. – P. 201–216. doi: 10.1007/s00020-008-1554-0Dymkov S., Dymkov M., Rogers E., Galkowski K. Optimal Control of Non­Stationary Differential Repetitive Processes. International Journal of Integral Equations and Operator Theory, 2008, vol. 60, no. 2, pp. 201–216. doi: 10.1007/s00020-008-1554-0Дымков, М. П. Линейно-квадратичные задачи оптимизации композитных дискретных 2-D систем управления / М. П. Дымков, И. В. Гайшун // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 2. – C. 71–83.Dymkov M. P., Gaishun I. V. Linear­quadratic optimization problems of composite discrete 2­D control systems. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 2002, no. 2, pp. 71–83 (in Russian).Гайшун, И. В. Системы с дискретным временем / И. В. Гайшун. – Минск: Ин-т математики НАН Беларуси, 2001. – 400 с.Gaishun I. V. Systems with Discrete Time. Minsk, Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2001. 400 p. (in Russian).Астровский, А. И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем / А. И. Астровский. – Минск: МИУ, 2007. – 220 с.Astrovskii A. I. Observability of Linear Nonstationary Systems. Minsk, MIU, 2007. 220 p. (in Russian).Астровский, А. И. О взаимосвязи основных понятий наблюдаемости для линейных дискретных детерминированных систем в банаховых пространствах / А. И. Астровский // Докл. Акад. наук Беларуси. – 1993. – Т. 37, № 6. – С. 11–14.Astrovskii A. I. On the relationship of the basic concepts of observability for linear discrete deterministic systems in Banach spaces. Doklady Akademii nauk Belarusi = Doklady of the Academy of Sciences of Belarus, 1993, vol. 37, no. 6, pp. 11–14 (in Russian).Астровский, А. И. Равномерно точечная наблюдаемость линейных нестационарных систем // А. И. Аст­ровский // Докл. Нац. акад. наук Беларуси. – 1999. – Т. 43, № 3. – С. 9–12.Astrovskii A. I. Uniformly point observability of linear nonstationary systems. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi = Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus, 1999, vol. 43, no. 3, pp. 9–12 (in Russian).Астровский, А. И. Связь между каноническими формами линейных дифференциальных систем наблюдения и каноническими формами их дискретных аппроксимаций / А. И. Астровский, И. В. Гайшун // Дифференц. уравнения. – 2011. – Т. 47, № 7. – С. 954–962.Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Relationship between Canonical Forms of Linear Differential Observation Systems and Canonical Forms of Their Discrete Approximations. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 7, pp. 963–971. doi: 10.1134/s0012266111070056Астровский, А. И. Линейные системы с квазидифференцируемыми коэффициентами: управляемость и наблюдаемость движений / А. И. Астровский, И. В. Гайшун. – Минск: Беларус. навука, 2013. – 213 с.Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Linear Systems with Quasi-Differentiable Coefficients: Controllability and Observability of Movements. Minsk, Belaruskaya navuka Publ., 2013. 213 p. (in Russian).Астровский, А. И. Равномерная и равномерно точечная наблюдаемость линейных нестационарных систем / А. И. Астровский // Весн. Гродзен. дзярж. ун­та iмя Янкi Купалы. Сер. 2. Матэматыка. Фiзiка. Iнфарматыка. Вылiч. тэхнiка i кiраванне. – 2016. – Т. 6, № 2. – С. 47–56.Astrovskii A. I. Uniform and uniformly point observability of linear nonstationary systems. Vesnik Grodzenskaga dzyar zhaunaga universiteta imya Yanki Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, Vylichal’naya tekhnika i kiravanne = Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and Сontrol, 2016, vol. 6, no. 2, pp. 47–56 (in Russian).Астровский, А. И. Дифференциальные уравнения в кольце с частными производными: свойства, условия наблюдаемости / А. И. Астровский, И. В. Гайшун // Дифференц. уравнения. – 2018. – Т. 54, № 6. – С. 821–826. doi: 10.1134/S0374064118060109Astrovskii A. I., Gaishun I. V. Differential Equations in a Partial Differential Rings: Basic Properties and Observability Conditions. Differential Equations, 2018, vol. 54, no. 6, pp. 1–6. doi: 10.1134/S0012266118060101Астровский, А. И. Формы Шварца для линейных дискретных систем наблюдения / А. И. Астровский // Тр. Ин­та математики. – 2016. – Т. 24, № 1. – С. 3–8.Astrovskii A. I. Schwartz forms for linear discrete observation systems. Trudy Instituta matematiki = Proceedings of the Institute of Mathematics, 2016, vol. 24, no. 1, pp. 3–8 (in Russian).Крахотко, В. В. Об управляемости дискретных линейных уравнений Вольтерра / В. В. Крахотко, В. В. Горячкин, В. В. Игнатенко // Информационные технологии : материалы 86-­й науч.­техн. конф. профессор.­преподавател. состава, науч. сотрудников и аспирантов, Минск, 31 янв. – 12 февр. 2022 г. – Минск, 2022. – С. 246–248.Krahotko V. V., Goryachkin V. V., Ignatenko V. V. On the controllability of discrete linear Volterra equations. Informatsionnye tekhnologii: materialy 86-i nauchno-tekhnicheskoi konferentsii professorsko-prepodavatel’skogo sostava, nauchnykh sotrudnikov i aspirantov, Minsk, 31 yanvarya – 12 fevralya 2022 g. [Information Technologies: Materials of the 86<sup>th</sup> Scientific and Technical Conference of the Teaching Staff, Researchers and Postgraduates, Minsk, January 31 – February 12, 2022]. Minsk, 2022, pp. 246–248 (in Russian).Гайшун, И. В. Условия разрешимости и управляемость линейных двухпараметрических дискретных систем / И. В. Гайшун, В. В. Горячкин // Дифференц. уравнения. – 1988. – Т. 24, № 12. – С. 2047–2051.Gaishun I. V., Goryachkin V. V. Solvability conditions and controllability of linear two-parameter discrete systems. Differential Equations, 1988, vol. 24, no. 12, pp. 2047–2051 (in Russian).Гайшун, И. В. К вопросу об управляемости и наблюдаемости двухпараметрических дискретных систем / И. В. Гайшун, В. В. Горячкин // Вес. Акад. навук БССР. Сер. физ.­мат. навук. – 1989. – № 4. – С. 3–8.Gaishun I. V., Goryachkin V. V. On the question of controllability and observability of two-parameter discrete systems. Vestsі Akademіі navuk BSSR. Seryya fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the Academy of Sciences of BSSR. Physics and Mathematics series, 1989, no. 4, pp. 3–8 (in Russian).Пакшин, П. В. Линейно­квадратичная параметризация стабилизирующих управлений в дискретных системах с двумерной динамикой / П. В. Пакшин, К. Галковский, Э. Роджерс // Автоматика и телемеханика. – 2011. – № 11. – C. 157–173.Pakshin P. V., Galkovsky K., Rogers E. Linear-quadratic parametrization of stabilizing controls in discrete-time 2D systems. Avtomatika i telemekhanika = Automation and Remote Control, 2011, vol. 72, no. 11, pp. 2364–2378. doi: 10.1134/s0005117911110117Лионс, Ж. Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж. Л. Лионс. – М.: Мир, 1972. – 144 с.Lyons J. L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 1971. 396 p.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.