vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-4-279-290vestifm-742Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSИсследование устойчивости неявной разностной схемы для нелинейного уравнения переносаStability investigation of an implicit difference scheme for a nonlinear transport equationЧуйкоМ. М.ChuikoM. M.

Чуйко Михаил Матвеевич – кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела вычислительной математики 

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

Mikhail M. Chuiko – Ph. D. (Physics and Mathematics), Leading Researcher of the Department of Computational Mathematics 

11, Surganov Str., 220072, Minsk, Republic of Belarus

mikhail.chuiko@gmail.comКоролёваО. М.KorolyovaO. M.

Королёва Ольга Михайловна – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

пр. Независимости, 65, 220013, Минск

Olga M. Korolyova – Ph. D. (Physics and Mathematics), Associate Professor of the Department of Higher Mathematics,

65, Nezalezhnosti Ave., 220013, Minsk, Republic of Belarus

 

 

korolyovaola@gmail.comИнститут математики Национальной академии наук БеларусиInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusБелорусский национальный технический университетBelarusian National Technical University202305012024594279290Copyright © Чуйко М.М., Королёва О.М., 20242024Чуйко М.М., Королёва О.М.Chuiko M.M., Korolyova O.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/742

Исследуется устойчивость по начальным данным в равномерной норме неявной разностной схемы, аппроксимирующей нелинейное уравнение переноса. Для реализации разностной схемы использован итерационный процесс. Доказана сходимость итерационного процесса и устойчивость разностной схемы в случае начальных данных, гарантирующих отсутствие ударных волн. В случае возникновения ударных волн получены оценки роста пространственных производных на каждом временном слое. Построен адаптивный вычислительный алгоритм решения уравнения переноса при формировании ударных волн.

In this paper, we investigate the stability with respect to initial data in the uniform norm of an implicit difference scheme approximating a nonlinear transport equation. An iterative process is used to implement the difference scheme. The convergence of the iterative process and the stability of the difference scheme are proven in the case of initial data guaranteeing the absence of shock waves. In the case of the occurrence of shock waves, estimates of the growth of spatial derivatives at each time layer are obtained. An adaptive computational algorithm for solving the transfer equation during the formation of shock waves is built.

устойчивостьразностная схемаитерационный процессударная волнаstabilitydifference schemeiteration processshock waveReferencesСамарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. – М.: Наука, 1997. – 380 с.Samarskii A. A. Theory of Difference Schemes. New York, Marcel Deccer Inc., 2001. 761 p. https://doi. org/10.1201/9780203908518Thomée, V. Stability theory for partial difference operators / V. Thomée // SIAM Rev. – 1969. – Vol. 11, № 2. – P. 152–195. https://doi.org/10.1137/1011033Thomée V. Stability theory for partial difference operators. SIAM Review, 1969, vol. 11, no. 2, pp. 152–195. https://doi. org/10.1137/1011033Tadmor, E. Stability analysis of finite-difference, pseudospectral and Fourier-Galerkin approximations for time-dependent problems / E. Tadmor // SIAM Rev. – 1987. – Vol. 29, № 4. – P. 525–555. https://doi.org/10.1137/1029110Tadmor E. Stability analysis of finite-difference, pseudospectral and Fourier-Galerkin approximations for time-dependent problems. SIAM Review, 1987, vol. 29, no. 4, pp. 525–555. https://doi.org/10.1137/1029110Matus, P. Stability of difference schemes for nonlinear time-dependent problems / P. Matus // Comput. Meth. Appl. Math. – 2003. – Vol. 3, № 2. – P. 313–329. https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0020Matus P. Stability of difference schemes for nonlinear time-dependent problems. Computational Methods in Applied Mathematics, 2003, vol. 3, no. 2, pp. 313–329. https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0020Матус, П. П. Об устойчивости монотонной разностной схемы для уравнения Бюргерса / П. П. Матус, Г. Л. Марцинкевич // Дифференц. уравнения. – 2005. – Т. 41, № 7. – С. 955–960.Matus P. P., Marcinkiewicz G. L. On the stability of a monotone difference scheme for the Burgers equation. Differential Equations, 2005, vol. 41, no. 7, pp. 1003–1009. https://doi.org/10.1007/s10625-005-0241-zZhang, Q. The pointwise estimates of a conservative difference scheme for Burgers’ equation / Q. Zhang, X. Wang, Z. Z. Sun // Numer. Methods Partial Diff. Equat. – 2020. – Vol. 36, № 6. – P. 1611–1628. https://doi.org/10.1002/num.22494Zhang Q., Wang X., Sun Z. Z. The pointwise estimates of a conservative difference scheme for Burgers’ equation. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2020, vol. 36, no. 6, pp. 1611–1628. https://doi.org/10.1002/num.22494Matus, P. Stability of the difference schemes for the equations of weakly compressible liquid / P. Matus, O. Korolyova, M. Chuiko // Comput. Meth. Appl. Math. – 2007. – Vol. 7, № 3. – P. 208–220. https://doi.org/10.2478/cmam-2007-0012Matus P., Korolyova O., Chuiko M. Stability of the difference schemes for the equations of weakly compressible liquid. Computational Methods in Applied Mathematics, 2007, vol. 7, no. 3, pp. 208–220. https://doi.org/10.2478/cmam-2007-0012Матус, П. П. Исследование устойчивости и сходимости разностных схем для политропного газа c дозвуковыми течениями / П. П. Матус, М. М. Чуйко // Дифференц. уравнения. – 2009. – Т. 45, № 7. – С. 1053–1064.Matus P. P., Chuiko M. M. Investigation of the stability and convergence of difference schemes for a polytropic gas with subsonic flows. Differential Equations, 2009, vol. 45, no. 7, pp. 1074–1085. https://doi.org/10.1134/S0012266109070143Matus, P. Nonlinear stability of the difference schemes for equations of isentropic gas dynamics / P. Matus, A. Kolodynska // Comput. Meth. Appl. Math. – 2008. – Vol. 8, № 2. – P. 155–170. https://doi.org/10.2478/cmam-2008-0011Matus P., Kolodynska A. Nonlinear stability of the difference schemes for equations of isentropic gas dynamics. Computational Methods in Applied Mathematics, 2008, vol. 8, no. 2, pp. 155–170. https://doi.org/10.2478/cmam-2008-0011Tadmor, E. Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems / E. Tadmor // Acta Numer. – 2003. – Vol. 12. – P. 451–512 https://doi.org/10.1017/S0962492902000156Tadmor E. Entropy stability theory for difference approximations of nonlinear conservation laws and related time-dependent problems. Acta Numerica, 2003, vol. 12, pp. 451–512 https://doi.org/10.1017/S0962492902000156Bressan, A. On the convergence of Godunov scheme for nonlinear hyperbolic systems / A. Bressan, H. K. Jensen // Chin. Ann. Math. – 2000. – Vol. 21, № 3. – P. 269–284. https://doi.org/10.1142/S0252959900000303Bressan A., Jensen H. K. On the convergence of Godunov scheme for nonlinear hyperbolic systems. Chinese Annals of Mathematics, 2000, vol. 21, no. 3, pp. 269–284. https://doi.org/10.1142/S0252959900000303Королёва, О. М. Исследование устойчивости неявных разностных схем для уравнений слабосжимаемой жидкости / О. М. Королёва, М. М. Чуйко, Н. В. Денисенко. // Вес. Нац. акад. навук Беларусі. Сер. фіз.-мат. навук. – 2009. – № 4. – С. 35–42.Korolyova O. M., Chuiko M. M., Denisenko N. V. Stability investigation of implicit difference schemes for equations of weakly compressible liquid. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2009, no. 4, рр. 35–42 (in Russian).Годунов, С. К. Уравнения математической физики / C. К. Годунов. – М.: Наука, 1971. – 392 с.Godunov S. K. Equations of Mathematical Physics. Moscow, Nauka Publ., 1979. 391 p. (in Russian).Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон. – М.: Мир, 1985. – 414 с.Jones W. B., Thron W. J. Continued Fraction. Analitical Theory and Application. Addison-Wesley Publishing Company, 1980. 428 p.. Beardon, A. F. Worpitzky’s Theorem on continued fractions / A. F. Beardon // J. Comput. Appl. Math. – 2001. – Vol. 131. – P. 143–148. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00318-6. Beardon A. F. Worpitzky’s Theorem on continued fractions. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2001, vol. 131, no. 1–2, pp. 143–148. https://doi.org/10.1016/s0377-0427(00)00318-6

The authors declare that there are no conflicts of interest present.