vestifmИзвестия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наукProceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series1561-24302524-2415The Republican Unitary Enterprise Publishing House "Belaruskaya Navuka"10.29235/1561-2430-2023-59-4-302-307vestifm-744Research ArticleМАТЕМАТИКАMATHEMATICSКвазиклассическая аппроксимация кратных функциональных интеграловThe semiclassical approximation of multiple functional integralsМалютинВ. Б.MalyutinV. B.

Малютин Виктор Борисович – доктор физико-математических наук, заведующий отделом

ул. Сурганова, 11, 220072, Минск

 

malyutin@im.bas-net.byНуржановБ. О.NurjanovB. O.

Нуржанов Бердах Орынбаевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Каракалпакский государственный университет имени Бердаха

ул. Университетская, 9, 100174, Ташкент;ул. Ч. Абдирова, 1, 230112, Нукус, Республика Узбекистан

Berdakh O. Nurjanov – Ph. D. (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Institute of Mathematics named after V. I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan ; Karakalpak State University named after Berdakh

9, University Str., 100174, Tashkent, Republic of Uzbekistan; 1, Ch. Abdirov Str., 230112, Nukus, Republic of Uzbekistan 

Институт математики Национальной академии наук Беларуси;Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusИнститут математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Каракалпакский государственный университет имени БердахаInstitute of Mathematics named after V. I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; Karakalpak State University named after Berdakh202305012024594302307Copyright © Малютин В.Б., Нуржанов Б.О., 20242024Малютин В.Б., Нуржанов Б.О.Malyutin V.B., Nurjanov B.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/744

Исследуется квазиклассическая аппроксимация кратных функциональных интегралов. Интегралы определяются через лагранжиан и действие. Из всех возможных траекторий наибольший вклад в интеграл дает классическая x̅cl, для которой действие S принимает экстремальное значение. Классическая траектория находится как решение многомерного уравнения Эйлера – Лагранжа. Для вычисления функциональных интегралов используется разложение действия относительно классической траектории, которое может интерпретироваться как разложение по степеням постоянной Планка. Приводятся численные результаты для квазиклассической аппроксимации двукратных функциональных интегралов.

In this paper, we study the semiclassical approximation of multiple functional integrals. The integrals are defined through the Lagrangian and the action. Of all possible trajectories, the greatest contribution to the integral is given by the classical trajectory x̅cl for which the action S takes an extremal value. The classical trajectory is found as a solution of the multidimensional Euler – Lagrange equation. To calculate the functional integrals, the expansion of the action with respect to the classical trajectory is used, which can be interpreted as an expansion in powers of Planck’s constant. The numerical results for the semiclassical approximation of double functional integrals are given.

кратные функциональные интегралыквазиклассическая аппроксимациядействиеклассическая траекторияmultiple functional integralssemiclassical approximationactionclassical trajectoryReferencesFeynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 365 p.Feynman R. P., Hibbs A. R. Quantum Mechanics and Path Integrals. New York, McGraw-Hill, 1965. 365 p.Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. New York, Springer-Verlag, 1981. 417 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0121-9Glimm J., Jaffe A. Quantum Physics. A Functional Integral Point of View. New York, Springer-Verlag, 1981. 417 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0121-9Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. New York, Academic Press, 1979. 295 p. https://doi.org/10.1016/s0079-8169(08)x6061-1Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. New York, Academic Press, 1979. 295 p. https://doi.org/10.1016/s0079-8169(08)x6061-1Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional Integration and Semiclassical Expansions. Dordrecht, Springer, 1982. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Langouche F., Roekaerts D., Tirapegui E. Functional Integration and Semiclassical Expansions. Dordrecht, Springer, 1982. 315 p. https://doi.org/10.1007/978-94-017-1634-5Wio H. S. Application of Path Integration to Stochastic Process: An Introduction. World Scientific Publishing Company, 2013. 176 p.Wio H. S. Application of Path Integration to Stochastic Process: An Introduction. World Scientific Publishing Company, 2013. 176 p.Ayryan E. A., Egorov A. D., Kulyabov D. S., Malyutin V. B., Sevastyanov L. A. Application of functional integrals to stochastic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s2070048217030024Ayryan E. A., Egorov A. D., Kulyabov D. S., Malyutin V. B., Sevastyanov L. A. Application of functional integrals to stochastic equations. Mathematical Models and Computer Simulations, 2017, vol. 9, pp. 339–348. https://doi.org/10.1134/s2070048217030024Kleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets. Singapore, World Scientific Publishing, 2004. 1504 p. https://doi.org/10.1142/9789812562197_fmatterKleinert H. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics Polymer Physics, and Financial Markets. Singapore, World Scientific Publishing, 2004. 1504 p. https://doi.org/10.1142/9789812562197_fmatterEgorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Springer, 1993. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Egorov A. D., Sobolevsky P. I., Yanovich L. A. Functional Integrals: Approximate Evaluation and Applications. Dordrecht, Springer, 1993. 400 p. https://doi.org/10.1007/978-94-011-1761-6Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 p. (in Russian).Egorov A. D., Zhidkov Е. P., Lobanov Yu. Yu. Introduction to Theory and Applications of Functional Integration. Мoscow, Fizmatlit Publ., 2006. 400 p. (in Russian).Мalyutin V. B., Nurjanov B. О. Semiclassical approximation of functional integrals. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 2, pp. 166–174 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-166-174Мalyutin V. B., Nurjanov B. О. Semiclassical approximation of functional integrals. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2020, vol. 56, no. 2, pp. 166–174 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2020-56-2-166-174Malyutin V. B., Nurjanov B. O. Semiclassical approximation of functional integrals containing the centrifugal potential. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2022, vol. 58, no. 4, pp. 389–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-389–397Malyutin V. B., Nurjanov B. O. Semiclassical approximation of functional integrals containing the centrifugal potential. Vestsі Natsyianal’nai akademіі navuk Belarusі. Seryia fіzіka-matematychnykh navuk = Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics series, 2022, vol. 58, no. 4, pp. 389–397 (in Russian). https://doi.org/10.29235/1561-2430-2022-58-4-389–397. Berezin I. S., Zhidkov N. P. Calculation Methods. Vol. 2. Мoscow, Fizmatlit Publ., 1959. 620 p. (in Russian).. Berezin I. S., Zhidkov N. P. Calculation Methods. Vol. 2. Мoscow, Fizmatlit Publ., 1959. 620 p. (in Russian).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.